Dada la función f(x)=(x^n).exp(-x) (n natural y mayor que 0), estudia
sus máximos y mínimos relativos según los valores de n.

Éste es mi problema.........
Saludos

Antonia escribió:
> Dada la función f(x)=(x^n).exp(-x) (n natural y mayor que 0), estudia
> sus máximos y mínimos relativos según los valores de n.
>
> Éste es mi problema.........

¿Qué dificultad tiene?

--

Antonio

Antonia escribió:
> Dada la función f(x)=(x^n).exp(-x) (n natural y mayor que 0), estudia
> sus máximos y mínimos relativos según los valores de n.
>
> Éste es mi problema.........

¿Qué dificultad tiene?

--

Antonio

Antonio González wrote:
> Antonia escribió:
>> Dada la función f(x)=(x^n).exp(-x) (n natural y mayor que 0),
>> estudia sus máximos y mínimos relativos según los valores de n.
>>
>> Éste es mi problema.........
>
> ¿Qué dificultad tiene?

Yo creo que la principal es el asunto del mensaje ... No hay que usar más
derivadas que la primera y la segunda, y esta última tampoco es necesaria.

Dado que la función es perfectamente continua y derivable, infinitas veces
incluso, todos los máximos y mínimos relativos se encuentran entre los ceros
de la primera derivada:

f'(x) = x^(n - 1)(n - x)e^(-x)

Para cualquier n > 1, un cero es x = n. Como la drerivada cambia de signo en
x = n, pasando de ser positiva a ser negativa al aumentar x, se trata de un
máximo relativo, de valor (n/e)^n.

Si n > 2, además tenemos otro punto crítico en x = 0. Para x próximos a
cero, pero mayores que cero, la derivada es positiva (para x < n), tanto si
n es par como si es impar.

Para x < 0, la deriva es negativa para n par, y positiva para n impar. Luego
para n par, la derivada pasa de ser negativa a positiva, por lo que tenemos
un mínimo, que vale 0. Para n impar, la derivada antes y después es
positiva, por lo que se trata de un punto de inflexión con tangente
horizontal, en el que la función vale 0 y es creciente.

Aqui aplicar el criterio aquel de la paridad del orden de la primera
derivada no nula, es un poco más liado. Pero con una función como f(x) =
e^(-1/x^2), perfectamente continua y derivable infinitas veces si definimos
f(0) = 0, es imposible ...

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Antonia escribió:
>> Dada la función f(x)=(x^n).exp(-x) (n natural y mayor que 0),
>> estudia sus máximos y mínimos relativos según los valores de n.
>>
>> Éste es mi problema.........
>
> ¿Qué dificultad tiene?

Yo creo que la principal es el asunto del mensaje ... No hay que usar más
derivadas que la primera y la segunda, y esta última tampoco es necesaria.

Dado que la función es perfectamente continua y derivable, infinitas veces
incluso, todos los máximos y mínimos relativos se encuentran entre los ceros
de la primera derivada:

f'(x) = x^(n - 1)(n - x)e^(-x)

Para cualquier n > 1, un cero es x = n. Como la drerivada cambia de signo en
x = n, pasando de ser positiva a ser negativa al aumentar x, se trata de un
máximo relativo, de valor (n/e)^n.

Si n > 2, además tenemos otro punto crítico en x = 0. Para x próximos a
cero, pero mayores que cero, la derivada es positiva (para x < n), tanto si
n es par como si es impar.

Para x < 0, la deriva es negativa para n par, y positiva para n impar. Luego
para n par, la derivada pasa de ser negativa a positiva, por lo que tenemos
un mínimo, que vale 0. Para n impar, la derivada antes y después es
positiva, por lo que se trata de un punto de inflexión con tangente
horizontal, en el que la función vale 0 y es creciente.

Aqui aplicar el criterio aquel de la paridad del orden de la primera
derivada no nula, es un poco más liado. Pero con una función como f(x) =
e^(-1/x^2), perfectamente continua y derivable infinitas veces si definimos
f(0) = 0, es imposible ...

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Gracias Ignacio.
Saludos

Gracias Ignacio.
Saludos