P(x) es un polinomio de coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y
P(24)=17.Sabiendo que P(n)=n+3 tiene dos soluciones enteras distintas
n_1 y n_2,hallar el producto de n_1*n_2.

Saludos
León-Sotelo

On 24 ene, 09:56, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> P(x) es un polinomio de coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y
> P(24)=17.Sabiendo que P(n)=n+3 tiene dos soluciones enteras distintas
> n_1 y n_2,hallar el producto de n_1*n_2.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Claramente P(x) = (x - 17)(x - 24)Q(x) + x - 7

Por tanto, si P(n) = n + 3 tendremos que :

(n - 17)(n - 24)Q(n) + n - 7 = n + 3

(n - 17)(n - 24)Q(n) = 10

Puesto que Q también debe tener coeficientes enteros y teniendo en
cuenta las posibles factorizaciones de 10 en en anillo de los enteros.

n - 17 = -5,-2,-1,1,2,5

De aquí obtenemos que n solo puede valer 19 ó 22 y por tanto el valor
pedido es
19·22 = 418

Saludos.

On 24 ene, 09:56, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> P(x) es un polinomio de coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y
> P(24)=17.Sabiendo que P(n)=n+3 tiene dos soluciones enteras distintas
> n_1 y n_2,hallar el producto de n_1*n_2.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Claramente P(x) = (x - 17)(x - 24)Q(x) + x - 7

Por tanto, si P(n) = n + 3 tendremos que :

(n - 17)(n - 24)Q(n) + n - 7 = n + 3

(n - 17)(n - 24)Q(n) = 10

Puesto que Q también debe tener coeficientes enteros y teniendo en
cuenta las posibles factorizaciones de 10 en en anillo de los enteros.

n - 17 = -5,-2,-1,1,2,5

De aquí obtenemos que n solo puede valer 19 ó 22 y por tanto el valor
pedido es
19·22 = 418

Saludos.

¿ Podría existir otro polinomio P(x) que satisfaga las condiciones
del enunciado y sea de una forma distinta al que has dado ?

Ciertamente, se ve a ojo que el que tú propones es perfecto pero,
¿ puede deducirse de manera "no heurística" ?

Saludos,

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:d42dd726-b657-45dd-8298-4308584763f2***q77g2000hsh.googlegroups.com...
On 24 ene, 09:56, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> P(x) es un polinomio de coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y
> P(24)=17.Sabiendo que P(n)=n+3 tiene dos soluciones enteras distintas
> n_1 y n_2,hallar el producto de n_1*n_2.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Claramente P(x) = (x - 17)(x - 24)Q(x) + x - 7

Por tanto, si P(n) = n + 3 tendremos que :

(n - 17)(n - 24)Q(n) + n - 7 = n + 3

(n - 17)(n - 24)Q(n) = 10

Puesto que Q también debe tener coeficientes enteros y teniendo en
cuenta las posibles factorizaciones de 10 en en anillo de los enteros.

n - 17 = -5,-2,-1,1,2,5

De aquí obtenemos que n solo puede valer 19 ó 22 y por tanto el valor
pedido es
19·22 = 418

Saludos.

¿ Podría existir otro polinomio P(x) que satisfaga las condiciones
del enunciado y sea de una forma distinta al que has dado ?

Ciertamente, se ve a ojo que el que tú propones es perfecto pero,
¿ puede deducirse de manera "no heurística" ?

Saludos,

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:d42dd726-b657-45dd-8298-4308584763f2***q77g2000hsh.googlegroups.com...
On 24 ene, 09:56, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> P(x) es un polinomio de coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y
> P(24)=17.Sabiendo que P(n)=n+3 tiene dos soluciones enteras distintas
> n_1 y n_2,hallar el producto de n_1*n_2.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Claramente P(x) = (x - 17)(x - 24)Q(x) + x - 7

Por tanto, si P(n) = n + 3 tendremos que :

(n - 17)(n - 24)Q(n) + n - 7 = n + 3

(n - 17)(n - 24)Q(n) = 10

Puesto que Q también debe tener coeficientes enteros y teniendo en
cuenta las posibles factorizaciones de 10 en en anillo de los enteros.

n - 17 = -5,-2,-1,1,2,5

De aquí obtenemos que n solo puede valer 19 ó 22 y por tanto el valor
pedido es
19·22 = 418

Saludos.

On 24 ene, 19:17, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> ¿ Podría existir otro polinomio P(x) que satisfaga las condiciones
> del enunciado y sea de una forma distinta al que has dado ?
>
> Ciertamente, se ve a ojo que el que tú propones es perfecto pero,
> ¿ puede deducirse de manera "no heurística" ?
>
> Saludos,
>
> "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el mensajenews:d42dd726-b657-45dd-8298-4308584763f2***q77g2000hsh.googlegroups.com...
> On 24 ene, 09:56, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > P(x) es un polinomio de coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y
> > P(24)=17.Sabiendo que P(n)=n+3 tiene dos soluciones enteras distintas
> > n_1 y n_2,hallar el producto de n_1*n_2.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Claramente P(x) = (x - 17)(x - 24)Q(x) + x - 7
>
> Por tanto, si P(n) = n + 3 tendremos que :
>
> (n - 17)(n - 24)Q(n) + n - 7 = n + 3
>
> (n - 17)(n - 24)Q(n) = 10
>
> Puesto que Q también debe tener coeficientes enteros y teniendo en
> cuenta las posibles factorizaciones de 10 en en anillo de los enteros.
>
> n - 17 = -5,-2,-1,1,2,5
>
> De aquí obtenemos que n solo puede valer 19 ó 22 y por tanto el valor
> pedido es
> 19·22 = 418
>
> Saludos.

Pero si lo único que hago es dividir el polinomio P(x) entre (x -17)(x
- 24) con lo que el resto tiene grado 1,es decir,es de la forma Ax +
B.Sustituye los valores que proporciona el enunciado y ya está.



Saludos.

On 24 ene, 19:17, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> ¿ Podría existir otro polinomio P(x) que satisfaga las condiciones
> del enunciado y sea de una forma distinta al que has dado ?
>
> Ciertamente, se ve a ojo que el que tú propones es perfecto pero,
> ¿ puede deducirse de manera "no heurística" ?
>
> Saludos,
>
> "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el mensajenews:d42dd726-b657-45dd-8298-4308584763f2***q77g2000hsh.googlegroups.com...
> On 24 ene, 09:56, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > P(x) es un polinomio de coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y
> > P(24)=17.Sabiendo que P(n)=n+3 tiene dos soluciones enteras distintas
> > n_1 y n_2,hallar el producto de n_1*n_2.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Claramente P(x) = (x - 17)(x - 24)Q(x) + x - 7
>
> Por tanto, si P(n) = n + 3 tendremos que :
>
> (n - 17)(n - 24)Q(n) + n - 7 = n + 3
>
> (n - 17)(n - 24)Q(n) = 10
>
> Puesto que Q también debe tener coeficientes enteros y teniendo en
> cuenta las posibles factorizaciones de 10 en en anillo de los enteros.
>
> n - 17 = -5,-2,-1,1,2,5
>
> De aquí obtenemos que n solo puede valer 19 ó 22 y por tanto el valor
> pedido es
> 19·22 = 418
>
> Saludos.

Pero si lo único que hago es dividir el polinomio P(x) entre (x -17)(x
- 24) con lo que el resto tiene grado 1,es decir,es de la forma Ax +
B.Sustituye los valores que proporciona el enunciado y ya está.



Saludos.

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:26d8021c-45a6-4f48-b421-224bf535eb2f***i29g2000prf.googlegroups.com...
On 24 ene, 19:17, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> ¿ Podría existir otro polinomio P(x) que satisfaga las condiciones
> del enunciado y sea de una forma distinta al que has dado ?
>
> Ciertamente, se ve a ojo que el que tú propones es perfecto pero,
> ¿ puede deducirse de manera "no heurística" ?
>
> Saludos,
>
> "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el
> mensajenews:d42dd726-b657-45dd-8298-4308584763f2***q77g2000hsh.googlegroups.com...
> On 24 ene, 09:56, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > P(x) es un polinomio de coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y
> > P(24)=17.Sabiendo que P(n)=n+3 tiene dos soluciones enteras distintas
> > n_1 y n_2,hallar el producto de n_1*n_2.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Claramente P(x) = (x - 17)(x - 24)Q(x) + x - 7
>
> Por tanto, si P(n) = n + 3 tendremos que :
>
> (n - 17)(n - 24)Q(n) + n - 7 = n + 3
>
> (n - 17)(n - 24)Q(n) = 10
>
> Puesto que Q también debe tener coeficientes enteros y teniendo en
> cuenta las posibles factorizaciones de 10 en en anillo de los enteros.
>
> n - 17 = -5,-2,-1,1,2,5
>
> De aquí obtenemos que n solo puede valer 19 ó 22 y por tanto el valor
> pedido es
> 19·22 = 418
>
> Saludos.

Pero si lo único que hago es dividir el polinomio P(x) entre (x -17)(x
- 24) con lo que el resto tiene grado 1,es decir,es de la forma Ax +
B.Sustituye los valores que proporciona el enunciado y ya está.


Lo que no me cuadraba era por qué el resto ( x - 7 ) tenía que ser
de grado 1. Pasé completamente por alto el detalle de que el resto de la
división de dos polinomios debe ser menor que el divisor
( a semejanza de lo que sucede en la división euclídea con los enteros )

Muchas gracias, perdón por la perogrullada y un saludo.

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:26d8021c-45a6-4f48-b421-224bf535eb2f***i29g2000prf.googlegroups.com...
On 24 ene, 19:17, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> ¿ Podría existir otro polinomio P(x) que satisfaga las condiciones
> del enunciado y sea de una forma distinta al que has dado ?
>
> Ciertamente, se ve a ojo que el que tú propones es perfecto pero,
> ¿ puede deducirse de manera "no heurística" ?
>
> Saludos,
>
> "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el
> mensajenews:d42dd726-b657-45dd-8298-4308584763f2***q77g2000hsh.googlegroups.com...
> On 24 ene, 09:56, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > P(x) es un polinomio de coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y
> > P(24)=17.Sabiendo que P(n)=n+3 tiene dos soluciones enteras distintas
> > n_1 y n_2,hallar el producto de n_1*n_2.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Claramente P(x) = (x - 17)(x - 24)Q(x) + x - 7
>
> Por tanto, si P(n) = n + 3 tendremos que :
>
> (n - 17)(n - 24)Q(n) + n - 7 = n + 3
>
> (n - 17)(n - 24)Q(n) = 10
>
> Puesto que Q también debe tener coeficientes enteros y teniendo en
> cuenta las posibles factorizaciones de 10 en en anillo de los enteros.
>
> n - 17 = -5,-2,-1,1,2,5
>
> De aquí obtenemos que n solo puede valer 19 ó 22 y por tanto el valor
> pedido es
> 19·22 = 418
>
> Saludos.

Pero si lo único que hago es dividir el polinomio P(x) entre (x -17)(x
- 24) con lo que el resto tiene grado 1,es decir,es de la forma Ax +
B.Sustituye los valores que proporciona el enunciado y ya está.


Lo que no me cuadraba era por qué el resto ( x - 7 ) tenía que ser
de grado 1. Pasé completamente por alto el detalle de que el resto de la
división de dos polinomios debe ser menor que el divisor
( a semejanza de lo que sucede en la división euclídea con los enteros )

Muchas gracias, perdón por la perogrullada y un saludo.