Uno sencillito:

Sea la sucesión

T(n) = (1 + a + a^2 + ... + a^n)/(1 - a + a^2 - ... + (-a)^n)

|a| < 1

¿Es mónotona u oscilante?

Si es oscilante, dar subsucesiones monótonas.

--

Antonio

Antonio González wrote:
> Uno sencillito:
>
> Sea la sucesión
>
> T(n) = (1 + a + a^2 + ... + a^n)/(1 - a + a^2 - ... + (-a)^n)
>
> |a| < 1
>
> ¿Es mónotona u oscilante?
>
> Si es oscilante, dar subsucesiones monótonas.

T(n) = ((1 - a^(n+1))/(1 - (-a)^(n+1)))((1+a)/(1 - a))

El factor (1 + a)/(1 - a) no cambia la posible monotonía de la sucesión, por
lo que podemos estudiar solo

U(n) = (1 - a^(n+1))/(1 - (-a)^(n+1))

Para n impar, U(n) = 1, constante. Para n = 2k par, no es constante, por lo
que la no es monótona. Tenemos que

U(2k) = (1 - a^(2k+1))/(1 + a^(2k+1))

Si a > 0, es menor que 1 y creciente. Si es a < 0, U(n) (y T(n)) es la
inversa multiplicativa de la correspondiente a |a|, por lo que es
decreciente.



--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Uno sencillito:
>
> Sea la sucesión
>
> T(n) = (1 + a + a^2 + ... + a^n)/(1 - a + a^2 - ... + (-a)^n)
>
> |a| < 1
>
> ¿Es mónotona u oscilante?
>
> Si es oscilante, dar subsucesiones monótonas.

T(n) = ((1 - a^(n+1))/(1 - (-a)^(n+1)))((1+a)/(1 - a))

El factor (1 + a)/(1 - a) no cambia la posible monotonía de la sucesión, por
lo que podemos estudiar solo

U(n) = (1 - a^(n+1))/(1 - (-a)^(n+1))

Para n impar, U(n) = 1, constante. Para n = 2k par, no es constante, por lo
que la no es monótona. Tenemos que

U(2k) = (1 - a^(2k+1))/(1 + a^(2k+1))

Si a > 0, es menor que 1 y creciente. Si es a < 0, U(n) (y T(n)) es la
inversa multiplicativa de la correspondiente a |a|, por lo que es
decreciente.



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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com