Hola.

En el trabajo, estoy intentando programar un tema que quizás sea más
de índole informático, pero quizás puedan ayudarme los matemáticos.

Sea la función hipergeométrica (Kummer) más simple:

Sumatorio(desde n=0 hasta infinito) [ alpha_n (x^n / n!) ], donde
definimos alpha_n de forma recurrente como sigue:

alpha_0 = 1

alpha_n = ( alpha_n+1 / alpha_n ) = (n -1/2) / (n+1).

El problema de esta serie es que para valores muy muy pequeños de n,
el ordenador se desborda. Para valores de x aproximados a 100 la
serie acaba convergiendo, pero se desborda el ordenador.

Para valores de x entre -30 y -40, la serie acaba convergiendo en 100
iteraciones, pero para valores de x menores que 100, uso una
aproximación que me da un error de 1/|x|, el cual es mucho (no pongo
la aproximación porque prácticamente me la estoy inventando).

¿Se puede "simplificar" esta serie para poder computarla mejor con un
error aceptable?.

Gracias.

Conchivgr***gmail.com wrote:
> Hola.
>
> En el trabajo, estoy intentando programar un tema que quizás sea más
> de índole informático, pero quizás puedan ayudarme los matemáticos.
>
> Sea la función hipergeométrica (Kummer) más simple:
>
> Sumatorio(desde n=0 hasta infinito) [ alpha_n (x^n / n!) ], donde
> definimos alpha_n de forma recurrente como sigue:
>
> alpha_0 = 1
>
> alpha_n = ( alpha_n+1 / alpha_n ) = (n -1/2) / (n+1).
>

No entiendo muy bien esa dedinición de alpha_n ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

> El problema de esta serie es que para valores muy muy pequeños de n,
> el ordenador se desborda. Para valores de x aproximados a 100 la
> serie acaba convergiendo, pero se desborda el ordenador.
>
> Para valores de x entre -30 y -40, la serie acaba convergiendo en 100
> iteraciones, pero para valores de x menores que 100, uso una
> aproximación que me da un error de 1/|x|, el cual es mucho (no pongo
> la aproximación porque prácticamente me la estoy inventando).
>
> ¿Se puede "simplificar" esta serie para poder computarla mejor con un
> error aceptable?.
>
> Gracias.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Conchivgr***gmail.com wrote:
> Hola.
>
> En el trabajo, estoy intentando programar un tema que quizás sea más
> de índole informático, pero quizás puedan ayudarme los matemáticos.
>
> Sea la función hipergeométrica (Kummer) más simple:
>
> Sumatorio(desde n=0 hasta infinito) [ alpha_n (x^n / n!) ], donde
> definimos alpha_n de forma recurrente como sigue:
>
> alpha_0 = 1
>
> alpha_n = ( alpha_n+1 / alpha_n ) = (n -1/2) / (n+1).
>

No entiendo muy bien esa dedinición de alpha_n ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

> El problema de esta serie es que para valores muy muy pequeños de n,
> el ordenador se desborda. Para valores de x aproximados a 100 la
> serie acaba convergiendo, pero se desborda el ordenador.
>
> Para valores de x entre -30 y -40, la serie acaba convergiendo en 100
> iteraciones, pero para valores de x menores que 100, uso una
> aproximación que me da un error de 1/|x|, el cual es mucho (no pongo
> la aproximación porque prácticamente me la estoy inventando).
>
> ¿Se puede "simplificar" esta serie para poder computarla mejor con un
> error aceptable?.
>
> Gracias.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 25 ene, 09:48, Conchi...***gmail.com wrote:
> Hola.
>
> En el trabajo, estoy intentando programar un tema que quizás sea más
> de índole informático, pero quizás puedan ayudarme los matemáticos..
>
> Sea la función hipergeométrica (Kummer) más simple:
>
> Sumatorio(desde n=0 hasta infinito) [ alpha_n (x^n / n!) ], donde
> definimos alpha_n de forma recurrente como sigue:
>
> alpha_0 = 1
>
> alpha_n = ( alpha_n+1 / alpha_n ) = (n -1/2) / (n+1).
>
> El problema de esta serie es que para valores muy muy pequeños de n,
> el ordenador se desborda. Para valores de x aproximados a 100 la
> serie acaba convergiendo, pero se desborda el ordenador.
>
> Para valores de x entre -30 y -40, la serie acaba convergiendo en 100
> iteraciones, pero para valores de x menores que 100, uso una
> aproximación que me da un error de 1/|x|, el cual es mucho (no pongo
> la aproximación porque prácticamente me la estoy inventando).
>
> ¿Se puede "simplificar" esta serie para poder computarla mejor con un
> error aceptable?.
>
> Gracias.

Perdón. Quise poner:

alpha_n = ( alpha_n / alpha_n+1 ) = (n -1/2) / (n+1).

Está basado en los polinomios de Laguerre.

Gracias.

On 25 ene, 09:48, Conchi...***gmail.com wrote:
> Hola.
>
> En el trabajo, estoy intentando programar un tema que quizás sea más
> de índole informático, pero quizás puedan ayudarme los matemáticos..
>
> Sea la función hipergeométrica (Kummer) más simple:
>
> Sumatorio(desde n=0 hasta infinito) [ alpha_n (x^n / n!) ], donde
> definimos alpha_n de forma recurrente como sigue:
>
> alpha_0 = 1
>
> alpha_n = ( alpha_n+1 / alpha_n ) = (n -1/2) / (n+1).
>
> El problema de esta serie es que para valores muy muy pequeños de n,
> el ordenador se desborda. Para valores de x aproximados a 100 la
> serie acaba convergiendo, pero se desborda el ordenador.
>
> Para valores de x entre -30 y -40, la serie acaba convergiendo en 100
> iteraciones, pero para valores de x menores que 100, uso una
> aproximación que me da un error de 1/|x|, el cual es mucho (no pongo
> la aproximación porque prácticamente me la estoy inventando).
>
> ¿Se puede "simplificar" esta serie para poder computarla mejor con un
> error aceptable?.
>
> Gracias.

Perdón. Quise poner:

alpha_n = ( alpha_n / alpha_n+1 ) = (n -1/2) / (n+1).

Está basado en los polinomios de Laguerre.

Gracias.

On 25 ene, 10:37, Conchi...***gmail.com wrote:
>
> Perdón. Quise poner:
>
> alpha_n = ( alpha_n / alpha_n+1 ) = (n -1/2) / (n+1).
>
> Está basado en los polinomios de Laguerre.


Sigue sin estar nada clara esa definición
Si quieres decir que

alpha_n = ( n - 1/2 ) / ( n + 1 )

entonces no tiene sentido dar una relación de recurrencia. Y si
quieres dar una relación de recurrencia, entonces tienes que expresar
alpha_{n+1} en función (explícita o implícita) de los miembros
anteriores.
Si escribes

alpha_n = alpha_n / alpha_{n+1}, tendrías alpha_{n+1}=1 para todo n.

¿Te refieres al símbolo de Pochhammer?
http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html

Échale un vistazo también a
http://mathworld.wolfram.com/Conflue...FirstKind.html

On 25 ene, 10:37, Conchi...***gmail.com wrote:
>
> Perdón. Quise poner:
>
> alpha_n = ( alpha_n / alpha_n+1 ) = (n -1/2) / (n+1).
>
> Está basado en los polinomios de Laguerre.


Sigue sin estar nada clara esa definición
Si quieres decir que

alpha_n = ( n - 1/2 ) / ( n + 1 )

entonces no tiene sentido dar una relación de recurrencia. Y si
quieres dar una relación de recurrencia, entonces tienes que expresar
alpha_{n+1} en función (explícita o implícita) de los miembros
anteriores.
Si escribes

alpha_n = alpha_n / alpha_{n+1}, tendrías alpha_{n+1}=1 para todo n.

¿Te refieres al símbolo de Pochhammer?
http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html

Échale un vistazo también a
http://mathworld.wolfram.com/Conflue...FirstKind.html

On 25 ene, 10:58, Radiador <radiado...***hotmail.com> wrote:
> On 25 ene, 10:37, Conchi...***gmail.com wrote:
>
>
>
> > Perdón. Quise poner:
>
> > alpha_n = ( alpha_n / alpha_n+1 ) = (n -1/2) / (n+1).
>
> > Está basado en los polinomios de Laguerre.
>
> Sigue sin estar nada clara esa definición
> Si quieres decir que
>
> alpha_n = ( n - 1/2 ) / ( n + 1 )
>
> entonces no tiene sentido dar una relación de recurrencia. Y si
> quieres dar una relación de recurrencia, entonces tienes que expresar
> alpha_{n+1} en función (explícita o implícita) de los miembros
> anteriores.
> Si escribes
>
> alpha_n = alpha_n / alpha_{n+1}, tendrías alpha_{n+1}=1 para todo n.
>
> ¿Te refieres al símbolo de Pochhammer?http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
>
> Échale un vistazo también ahttp://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricFunctionoftheFirs...

Hola Antonio. Muchas gracias por tu interés. A ver si me explico
correctamente.

Aquí tienes la definición, en wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperge...The_series_pFq

En concreto nos interesa el caso con p = 1 y q = 1 (función de Kummer)
con:

a1 = -1/2
b1 = 1

y conseguir evaluarlo numéricamente para valores del orden de z = -100
(z siempre real y negativo en nuestro problema)

Lo que estamos haciendo actualmente es aplicar la definición de
función hipergemétrica tal cual para valores z > -30 y para valores
mayores usamos una expansión asintótica, tal como viene el Abramowitz
y Stegun: http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_504.htm

Como podemos ver para valores de z = -100 el error es del orden de dos
decimales, que a nosotros nos vale de sobra, pero parece mentira no
poder obtenerlo mejor...

La pregunta es por tanto:

¿Podemos hallar un método que te evalue la funcíón 1F1(-1/2, 1, x)
para todo x con la precisión únicamente limitada por la precisión de
la coma flotante del ordenador?

Aunque el problema ya está matemáticamente planteado te digo de donde
viene todo el asunto:

En el proyecto tenemos una velocidad norte (vn) y una velocidad sur
(vs) que siguen distribuctiones normales, supongamos independientes y
con idéntica varianza, pero distinta media. Entonces el módulo de la
velocidad es:

v = sqrt(vn^2 + vs^2)

y sigue una distribución chi no centrada: http://en.wikipedia.org/wiki/Noncent...i_distribution

A mí, de esta distribución sólo me interesa la media y la varianza.
Como puedes ver en wikipedia lo dificil es calcular la media:

raiz_cuadrada( Pi/2) (L_1/2)^(k/2-1)(-lambda^2 / 2)

Donde:
a
L
n

es un polinomio generalizado de Laguerre y buscamos el caso particular
n = 1/2 y a = 0 (ya que es k = 2)
http://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomial

Curiosamente en wikipedia solo vienen los polinomios de Laguerre para
casos con n entero. La definición para n fraccional se encuentra en:
http://functions.wolfram.com/Hyperge...neral/02/0001/

Las funciones gamma no son un problema. El problema es la función
1F1 :

http://mathworld.wolfram.com/Regular...cFunction.html

Finalmente necesitamos calcular pFq que es lo que ya sabías...

Gracias.

On 25 ene, 10:58, Radiador <radiado...***hotmail.com> wrote:
> On 25 ene, 10:37, Conchi...***gmail.com wrote:
>
>
>
> > Perdón. Quise poner:
>
> > alpha_n = ( alpha_n / alpha_n+1 ) = (n -1/2) / (n+1).
>
> > Está basado en los polinomios de Laguerre.
>
> Sigue sin estar nada clara esa definición
> Si quieres decir que
>
> alpha_n = ( n - 1/2 ) / ( n + 1 )
>
> entonces no tiene sentido dar una relación de recurrencia. Y si
> quieres dar una relación de recurrencia, entonces tienes que expresar
> alpha_{n+1} en función (explícita o implícita) de los miembros
> anteriores.
> Si escribes
>
> alpha_n = alpha_n / alpha_{n+1}, tendrías alpha_{n+1}=1 para todo n.
>
> ¿Te refieres al símbolo de Pochhammer?http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
>
> Échale un vistazo también ahttp://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricFunctionoftheFirs...

Hola Antonio. Muchas gracias por tu interés. A ver si me explico
correctamente.

Aquí tienes la definición, en wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperge...The_series_pFq

En concreto nos interesa el caso con p = 1 y q = 1 (función de Kummer)
con:

a1 = -1/2
b1 = 1

y conseguir evaluarlo numéricamente para valores del orden de z = -100
(z siempre real y negativo en nuestro problema)

Lo que estamos haciendo actualmente es aplicar la definición de
función hipergemétrica tal cual para valores z > -30 y para valores
mayores usamos una expansión asintótica, tal como viene el Abramowitz
y Stegun: http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_504.htm

Como podemos ver para valores de z = -100 el error es del orden de dos
decimales, que a nosotros nos vale de sobra, pero parece mentira no
poder obtenerlo mejor...

La pregunta es por tanto:

¿Podemos hallar un método que te evalue la funcíón 1F1(-1/2, 1, x)
para todo x con la precisión únicamente limitada por la precisión de
la coma flotante del ordenador?

Aunque el problema ya está matemáticamente planteado te digo de donde
viene todo el asunto:

En el proyecto tenemos una velocidad norte (vn) y una velocidad sur
(vs) que siguen distribuctiones normales, supongamos independientes y
con idéntica varianza, pero distinta media. Entonces el módulo de la
velocidad es:

v = sqrt(vn^2 + vs^2)

y sigue una distribución chi no centrada: http://en.wikipedia.org/wiki/Noncent...i_distribution

A mí, de esta distribución sólo me interesa la media y la varianza.
Como puedes ver en wikipedia lo dificil es calcular la media:

raiz_cuadrada( Pi/2) (L_1/2)^(k/2-1)(-lambda^2 / 2)

Donde:
a
L
n

es un polinomio generalizado de Laguerre y buscamos el caso particular
n = 1/2 y a = 0 (ya que es k = 2)
http://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomial

Curiosamente en wikipedia solo vienen los polinomios de Laguerre para
casos con n entero. La definición para n fraccional se encuentra en:
http://functions.wolfram.com/Hyperge...neral/02/0001/

Las funciones gamma no son un problema. El problema es la función
1F1 :

http://mathworld.wolfram.com/Regular...cFunction.html

Finalmente necesitamos calcular pFq que es lo que ya sabías...

Gracias.

Conchivgr***gmail.com escribió:
> On 25 ene, 10:58, Radiador <radiado...***hotmail.com> wrote:
>> On 25 ene, 10:37, Conchi...***gmail.com wrote:
>>
>>
>>
>>> Perdón. Quise poner:
>>> alpha_n = ( alpha_n / alpha_n+1 ) = (n -1/2) / (n+1).
>>> Está basado en los polinomios de Laguerre.
>> Sigue sin estar nada clara esa definición
>> Si quieres decir que
>>
>> alpha_n = ( n - 1/2 ) / ( n + 1 )
>>
>> entonces no tiene sentido dar una relación de recurrencia. Y si
>> quieres dar una relación de recurrencia, entonces tienes que expresar
>> alpha_{n+1} en función (explícita o implícita) de los miembros
>> anteriores.
>> Si escribes
>>
>> alpha_n = alpha_n / alpha_{n+1}, tendrías alpha_{n+1}=1 para todo n.
>>
>> ¿Te refieres al símbolo de Pochhammer?http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
>>
>> Échale un vistazo también ahttp://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricFunctionoftheFirs...
>
> Hola Antonio. Muchas gracias por tu interés. A ver si me explico
> correctamente.
>
> Aquí tienes la definición, en wikipedia:
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperge...The_series_pFq
>
> En concreto nos interesa el caso con p = 1 y q = 1 (función de Kummer)
> con:
>
> a1 = -1/2
> b1 = 1
>

Segun el Mathematica (que asegura que puede calcularlo con precisión
arbitraria)

Hypergeometric1F1[-1/2,1,x]

equivale a

-E^(x/2) (-BesselI[0,x/2]+x BesselI[0,x/2]-x BesselI[1,x/2])

o, en forma más tradicional,

1F1(-1/2;1;x) = e^(x/2)((1-x)I0(x/2) - x I1(1,x/2))

y algoritmos para calcular las funciones de Bessel hay muchos.

El valor para z=-100 es

11.31203668068241340991172874532835607911829924...

Calcular 2000 decimales le lleva 0.016 segundos.


> y conseguir evaluarlo numéricamente para valores del orden de z = -100
> (z siempre real y negativo en nuestro problema)
>
> Lo que estamos haciendo actualmente es aplicar la definición de
> función hipergemétrica tal cual para valores z > -30 y para valores
> mayores usamos una expansión asintótica, tal como viene el Abramowitz
> y Stegun: http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_504.htm
>
> Como podemos ver para valores de z = -100 el error es del orden de dos
> decimales, que a nosotros nos vale de sobra, pero parece mentira no
> poder obtenerlo mejor...
>
> La pregunta es por tanto:
>
> ¿Podemos hallar un método que te evalue la funcíón 1F1(-1/2, 1, x)
> para todo x con la precisión únicamente limitada por la precisión de
> la coma flotante del ordenador?
>
> Aunque el problema ya está matemáticamente planteado te digo de donde
> viene todo el asunto:
>
> En el proyecto tenemos una velocidad norte (vn) y una velocidad sur
> (vs) que siguen distribuctiones normales, supongamos independientes y
> con idéntica varianza, pero distinta media. Entonces el módulo de la
> velocidad es:
>
> v = sqrt(vn^2 + vs^2)
>
> y sigue una distribución chi no centrada: http://en.wikipedia.org/wiki/Noncent...i_distribution
>
> A mí, de esta distribución sólo me interesa la media y la varianza.
> Como puedes ver en wikipedia lo dificil es calcular la media:
>
> raiz_cuadrada( Pi/2) (L_1/2)^(k/2-1)(-lambda^2 / 2)
>
> Donde:
> a
> L
> n
>
> es un polinomio generalizado de Laguerre y buscamos el caso particular
> n = 1/2 y a = 0 (ya que es k = 2)
> http://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomial
>
> Curiosamente en wikipedia solo vienen los polinomios de Laguerre para
> casos con n entero. La definición para n fraccional se encuentra en:
> http://functions.wolfram.com/Hyperge...neral/02/0001/
>
> Las funciones gamma no son un problema. El problema es la función
> 1F1 :
>
> http://mathworld.wolfram.com/Regular...cFunction.html
>
> Finalmente necesitamos calcular pFq que es lo que ya sabías...
>
> Gracias.
>


--

Antonio