Hola.
A propósito del mensaje un mensaje anterior, esa función cayó ayer en
el exámen de Topología de la UNED (al cual no me presenté, por
cierto).

Sea (R,Tu) el espacio topológico en R con su topología usual y sea la
función f: (RxR,Tu)-------------->(R,Tu) definida como: f(x,y) = x^2 +
y^2.

Sea (RxR,T) el espacio topológico con T la topología inicial inducida
por f en R. Estudiar si (RxR, Tu) es compacto y conexo por caminos

Los abiertos de la topología R son { f^-1(A) | A entá en (R,Tu) }.

Si es correcta la definición de f^-1 que pone en el post (creo que de
Yoli), los abiertos de la topología T son, para cada (a,b) en Tu:

{ r ( cos2Pit, sen2Pit ) }, con r en (a,b), t en N, es decir
circunferencias concéntricas centradas en (0,0) y radio r.

Por lo tanto, siendo informal, el espacio no es compacto, ya que { r
( cos2Pit, sen2Pit ) }, con r en R, t en N es un recubrimiento por
abiertos de RxR (todas las circunferencias "muy muy muy" pegadas
todas) del cual no podemos extraer ningún subrecubrimiento finito.
Pero si es conexo por caminos, ya que para cada dos puntos del plano,
siempre podemos encontrar un camino que los una (parecido a la recta
real).

Como he dicho, siendo informal, ¿es correcto este razonamiento del
exámen?.

Gracias.

On 25 ene, 05:27, Conchi...***gmail.com wrote:
> Hola.
> A propósito del mensaje un mensaje anterior, esa función cayó ayer en
> el exámen de Topología de la UNED (al cual no me presenté, por
> cierto).
>
> Sea (R,Tu) el espacio topológico en R con su topología usual y sea la
> función f: (RxR,Tu)-------------->(R,Tu) definida como: f(x,y) = x^2 +
> y^2.
>
> Sea (RxR,T) el espacio topológico con T la topología inicial inducida
> por f en R. Estudiar si (RxR, T) es compacto y conexo por caminos

Si (RxR,T) fuese compacto, también lo sería su imagen f(RxR,T), y no
lo es (ya que es la semirrecta real no negativa).

Conexo por caminos sí es porque (RxR, Tu) lo es y T es una topología
más gruesa que Tu.

jhn

On 25 ene, 05:27, Conchi...***gmail.com wrote:
> Hola.
> A propósito del mensaje un mensaje anterior, esa función cayó ayer en
> el exámen de Topología de la UNED (al cual no me presenté, por
> cierto).
>
> Sea (R,Tu) el espacio topológico en R con su topología usual y sea la
> función f: (RxR,Tu)-------------->(R,Tu) definida como: f(x,y) = x^2 +
> y^2.
>
> Sea (RxR,T) el espacio topológico con T la topología inicial inducida
> por f en R. Estudiar si (RxR, T) es compacto y conexo por caminos

Si (RxR,T) fuese compacto, también lo sería su imagen f(RxR,T), y no
lo es (ya que es la semirrecta real no negativa).

Conexo por caminos sí es porque (RxR, Tu) lo es y T es una topología
más gruesa que Tu.

jhn

On 25 ene, 12:51, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
> On 25 ene, 05:27, Conchi...***gmail.com wrote:
>
> > Hola.
> > A propósito del mensaje un mensaje anterior, esa función cayó ayeren
> > el exámen de Topología de la UNED (al cual no me presenté, por
> > cierto).
>
> > Sea (R,Tu) el espacio topológico en R con su topología usual y sea la
> > función f: (RxR,Tu)-------------->(R,Tu) definida como: f(x,y) = x^2+
> > y^2.
>
> > Sea (RxR,T) el espacio topológico con T la topología inicial inducida
> > por f en R. Estudiar si (RxR, T) es compacto y conexo por caminos
>
> Si (RxR,T) fuese compacto, también lo sería su imagen f(RxR,T), y no
> lo es (ya que es la semirrecta real no negativa).
>
> Conexo por caminos sí es porque (RxR, Tu) lo es y T es una topología
> más gruesa que Tu.
>
> jhn

Muchas gracias jhn, como siempre contestando mis dudas de topología.

¿He definido bien la topología T?

Gracias.

On 25 ene, 12:51, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
> On 25 ene, 05:27, Conchi...***gmail.com wrote:
>
> > Hola.
> > A propósito del mensaje un mensaje anterior, esa función cayó ayeren
> > el exámen de Topología de la UNED (al cual no me presenté, por
> > cierto).
>
> > Sea (R,Tu) el espacio topológico en R con su topología usual y sea la
> > función f: (RxR,Tu)-------------->(R,Tu) definida como: f(x,y) = x^2+
> > y^2.
>
> > Sea (RxR,T) el espacio topológico con T la topología inicial inducida
> > por f en R. Estudiar si (RxR, T) es compacto y conexo por caminos
>
> Si (RxR,T) fuese compacto, también lo sería su imagen f(RxR,T), y no
> lo es (ya que es la semirrecta real no negativa).
>
> Conexo por caminos sí es porque (RxR, Tu) lo es y T es una topología
> más gruesa que Tu.
>
> jhn

Muchas gracias jhn, como siempre contestando mis dudas de topología.

¿He definido bien la topología T?

Gracias.

On 25 ene, 07:55, Conchi...***gmail.com wrote:
> On 25 ene, 12:51, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
>
>
>
>
>
> > On 25 ene, 05:27, Conchi...***gmail.com wrote:
>
> > > Hola.
> > > A propósito del mensaje un mensaje anterior, esa función cayó ayer en
> > > el exámen de Topología de la UNED (al cual no me presenté, por
> > > cierto).
>
> > > Sea (R,Tu) el espacio topológico en R con su topología usual y seala
> > > función f: (RxR,Tu)-------------->(R,Tu) definida como: f(x,y) = x^2 +
> > > y^2.
>
> > > Sea (RxR,T) el espacio topológico con T la topología inicial inducida
> > > por f en R. Estudiar si (RxR, T) es compacto y conexo por caminos
>
> > Si (RxR,T) fuese compacto, también lo sería su imagen f(RxR,T), y no
> > lo es (ya que es la semirrecta real no negativa).
>
> > Conexo por caminos sí es porque (RxR, Tu) lo es y T es una topología
> > más gruesa que Tu.
>
> > jhn
>
> Muchas gracias jhn, como siempre contestando mis dudas de topología.
>
> ¿He definido bien la topología T?
>
> Gracias

Bueno sí, pero no hace falta meter senos ni cosenos. Una subbase de T
es simplemente el conjunto de las "coronas"
{(x,y) : a < x^2 + y^2 < b}
para a,b en R.

jhn

On 25 ene, 07:55, Conchi...***gmail.com wrote:
> On 25 ene, 12:51, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
>
>
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>
>
> > On 25 ene, 05:27, Conchi...***gmail.com wrote:
>
> > > Hola.
> > > A propósito del mensaje un mensaje anterior, esa función cayó ayer en
> > > el exámen de Topología de la UNED (al cual no me presenté, por
> > > cierto).
>
> > > Sea (R,Tu) el espacio topológico en R con su topología usual y seala
> > > función f: (RxR,Tu)-------------->(R,Tu) definida como: f(x,y) = x^2 +
> > > y^2.
>
> > > Sea (RxR,T) el espacio topológico con T la topología inicial inducida
> > > por f en R. Estudiar si (RxR, T) es compacto y conexo por caminos
>
> > Si (RxR,T) fuese compacto, también lo sería su imagen f(RxR,T), y no
> > lo es (ya que es la semirrecta real no negativa).
>
> > Conexo por caminos sí es porque (RxR, Tu) lo es y T es una topología
> > más gruesa que Tu.
>
> > jhn
>
> Muchas gracias jhn, como siempre contestando mis dudas de topología.
>
> ¿He definido bien la topología T?
>
> Gracias

Bueno sí, pero no hace falta meter senos ni cosenos. Una subbase de T
es simplemente el conjunto de las "coronas"
{(x,y) : a < x^2 + y^2 < b}
para a,b en R.

jhn