Hallar

(3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...

--

Antonio

On 29 ene, 07:47, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Hallar
>
> *** (3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...
>
> --
>
> *** ***Antonio

Tiende a 2 si no me equivoco.

El numerador es el producto consecutivo de los números de Fermat:

F(n) = 2^(2^n) + 1

Es decir :

P(n) = F(0)·F(1)···F(n)/(2^(1 + 2^2 + 2^3 + ...*2^n)

Multiplicando el numerador por 1 = F(0) = 2^(2^0) - 1

P(n) = (F(n) - 2)/(2^(2^(n + 1)) - 1)
2^x - 1
Total,que queda una expresión del tipo ------------- cuando x-
>oo
2^(x - 1)

luego P(n) ->2 si n->oo

Saludos.

On 29 ene, 07:47, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Hallar
>
> *** (3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...
>
> --
>
> *** ***Antonio

Tiende a 2 si no me equivoco.

El numerador es el producto consecutivo de los números de Fermat:

F(n) = 2^(2^n) + 1

Es decir :

P(n) = F(0)·F(1)···F(n)/(2^(1 + 2^2 + 2^3 + ...*2^n)

Multiplicando el numerador por 1 = F(0) = 2^(2^0) - 1

P(n) = (F(n) - 2)/(2^(2^(n + 1)) - 1)
2^x - 1
Total,que queda una expresión del tipo ------------- cuando x-
>oo
2^(x - 1)

luego P(n) ->2 si n->oo

Saludos.

On 29 ene, 10:07, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> On 29 ene, 07:47, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>
> > Hallar
>
> > *** (3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...
>
> > --
>
> > *** ***Antonio
>
> Tiende a 2 si no me equivoco.
>
> El numerador es el producto consecutivo de los números de Fermat:
>
> F(n) = 2^(2^n) + 1
>
> Es decir :
>
> P(n) = F(0)·F(1)···F(n)/(2^(1 + 2^2 + 2^3 + ...*2^n)
>
> Multiplicando el numerador por 1 = F(0) = 2^(2^0) - 1
>
> P(n) = (F(n) - 2)/(2^(2^(n + 1)) - 1)
> *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***2^x - 1
> Total,que queda una expresión del tipo *** *** ------------- *** cuando x->oo
>
> *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** 2^(x - 1)
>
> luego P(n) ->2 si n->oo
>
> Saludos.

Cuidado que ya he visto un error:

La expresión para P(n) es (F(n + 1) - 2)/(2^(2^(n + 1)) - 1) y
***NO*** F(n).

Saludos.

On 29 ene, 10:07, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> On 29 ene, 07:47, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>
> > Hallar
>
> > *** (3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...
>
> > --
>
> > *** ***Antonio
>
> Tiende a 2 si no me equivoco.
>
> El numerador es el producto consecutivo de los números de Fermat:
>
> F(n) = 2^(2^n) + 1
>
> Es decir :
>
> P(n) = F(0)·F(1)···F(n)/(2^(1 + 2^2 + 2^3 + ...*2^n)
>
> Multiplicando el numerador por 1 = F(0) = 2^(2^0) - 1
>
> P(n) = (F(n) - 2)/(2^(2^(n + 1)) - 1)
> *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***2^x - 1
> Total,que queda una expresión del tipo *** *** ------------- *** cuando x->oo
>
> *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** 2^(x - 1)
>
> luego P(n) ->2 si n->oo
>
> Saludos.

Cuidado que ya he visto un error:

La expresión para P(n) es (F(n + 1) - 2)/(2^(2^(n + 1)) - 1) y
***NO*** F(n).

Saludos.

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6080gsF1p4glgU1***mid.individual.net...
> Hallar
>
> (3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...
>
> --
>
> Antonio


A ver así :

P(0) = 1 + 1/2
P(1) = (1+1/2)(1+1/2^2) = Sum( 1/2^k , k= 0..3)
P(2) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4) = Sum( 1/2^k , k= 0..7)
P(3) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8) = Sum( 1/2^k , k= 0..15)
P(4) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)(1+1/2^16) = Sum( 1/2^k , k= 0..31)

........................

P(n) = Sum( 1/2^k , k= 0..(2^n -1)*2+1) = 2*(1-1/4^(2^n))

Luego, P(oo) = 2

Saludos,

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6080gsF1p4glgU1***mid.individual.net...
> Hallar
>
> (3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...
>
> --
>
> Antonio


A ver así :

P(0) = 1 + 1/2
P(1) = (1+1/2)(1+1/2^2) = Sum( 1/2^k , k= 0..3)
P(2) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4) = Sum( 1/2^k , k= 0..7)
P(3) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8) = Sum( 1/2^k , k= 0..15)
P(4) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)(1+1/2^16) = Sum( 1/2^k , k= 0..31)

........................

P(n) = Sum( 1/2^k , k= 0..(2^n -1)*2+1) = 2*(1-1/4^(2^n))

Luego, P(oo) = 2

Saludos,

On 29 ene, 12:54, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Antonio González" <gonfe...***gmail.com> escribió en el mensajenews:6080gsF1p4glgU1***mid.individual.net...
>
> > Hallar
>
> > ***(3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...
>
> > --
>
> > *** Antonio
>
> A ver así :
>
> P(0) = 1 + 1/2
> P(1) = (1+1/2)(1+1/2^2) = Sum( 1/2^k , k= 0..3)
> P(2) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4) = Sum( 1/2^k , k= 0..7)
> P(3) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8) = Sum( 1/2^k , k= 0..15)
> P(4) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)(1+1/2^16) = Sum( 1/2^k , k= 0..31)
>
> .......................
>
> P(n) = ***Sum( 1/2^k , k= 0..(2^n -1)*2+1) = 2*(1-1/4^(2^n))
>
> Luego, P(oo) = 2
>
> Saludos,

Muy bien,es más:me gusta más que de la forma que lo hice yo porque
apliqué el truco que conocía para los números de Fermat de tal modo
que al multiplicar por el "conjugado" del primero se propaga a los
siguientes productos.

En cualquier caso es importante recordar la fórmula que relaciona los
productos de los números de Fermat:

F(n + 1) = F(0)·F(1)···F(n) + 2


Saludos.

On 29 ene, 12:54, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Antonio González" <gonfe...***gmail.com> escribió en el mensajenews:6080gsF1p4glgU1***mid.individual.net...
>
> > Hallar
>
> > ***(3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...
>
> > --
>
> > *** Antonio
>
> A ver así :
>
> P(0) = 1 + 1/2
> P(1) = (1+1/2)(1+1/2^2) = Sum( 1/2^k , k= 0..3)
> P(2) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4) = Sum( 1/2^k , k= 0..7)
> P(3) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8) = Sum( 1/2^k , k= 0..15)
> P(4) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)(1+1/2^16) = Sum( 1/2^k , k= 0..31)
>
> .......................
>
> P(n) = ***Sum( 1/2^k , k= 0..(2^n -1)*2+1) = 2*(1-1/4^(2^n))
>
> Luego, P(oo) = 2
>
> Saludos,

Muy bien,es más:me gusta más que de la forma que lo hice yo porque
apliqué el truco que conocía para los números de Fermat de tal modo
que al multiplicar por el "conjugado" del primero se propaga a los
siguientes productos.

En cualquier caso es importante recordar la fórmula que relaciona los
productos de los números de Fermat:

F(n + 1) = F(0)·F(1)···F(n) + 2


Saludos.

Luis escribió:
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:6080gsF1p4glgU1***mid.individual.net...
>> Hallar
>>
>> (3/2)(5/4)(17/16)(257/256)(65537/65536)...
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
>
> A ver así :
>
> P(0) = 1 + 1/2
> P(1) = (1+1/2)(1+1/2^2) = Sum( 1/2^k , k= 0..3)
> P(2) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4) = Sum( 1/2^k , k= 0..7)
> P(3) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8) = Sum( 1/2^k , k= 0..15)
> P(4) = (1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)(1+1/2^16) = Sum( 1/2^k , k= 0..31)
>
> .......................
>
> P(n) = Sum( 1/2^k , k= 0..(2^n -1)*2+1) = 2*(1-1/4^(2^n))
>
> Luego, P(oo) = 2
>

Más en general

P(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)....

al desarrollarse contiene todas las posibles sumas de exponentes, que
nos dan la expresión binaria de cada uno de los números naturales,
apareciendo cada término una sola vez, por tanto

P(x) = sum_(n=0)^oo x^n = 1/(1-x)

Por la misma razón, por ejemplo,

(1+x+x^2)(1+x^3+x^6)(1+x^9+x^18)... = 1/(1-x)

--

Antonio