Los números a,b y c son positivos y suman 1.
Demostrar que
(a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3

Saludos
León-Sotelo

León-Sotelo ha escrito:
> Los n�meros a,b y c son positivos y suman 1.
> Demostrar que
> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3
>
> Saludos
> Le�n-Sotelo

Un esbozo rápido sin pensarlo mucho:

Suponiendo 0 < a <= b <= c

(a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) >=
(c^(a^2+2ca))*(c^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) =

c^(a^2+ b^2 + c^2 + 2ca + 2ab + 2bc) = c^(a + b+ c)^2 = c y puesto que
c es el mayor de los tres debe de ser mayor o igual que 1/3.

Uhmmmmmmmmm,no me acaba de convencer mucho.

Saludos.

León-Sotelo ha escrito:
> Los n�meros a,b y c son positivos y suman 1.
> Demostrar que
> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3
>
> Saludos
> Le�n-Sotelo

Un esbozo rápido sin pensarlo mucho:

Suponiendo 0 < a <= b <= c

(a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) >=
(c^(a^2+2ca))*(c^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) =

c^(a^2+ b^2 + c^2 + 2ca + 2ab + 2bc) = c^(a + b+ c)^2 = c y puesto que
c es el mayor de los tres debe de ser mayor o igual que 1/3.

Uhmmmmmmmmm,no me acaba de convencer mucho.

Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> León-Sotelo ha escrito:
>> Los n?meros a,b y c son positivos y suman 1.
>> Demostrar que
>> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3
>>
>> Saludos
>> Le?n-Sotelo
>
> Un esbozo rápido sin pensarlo mucho:
>
> Suponiendo 0 < a <= b <= c
> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) >=

Es que ahí debe ser un <=

> (c^(a^2+2ca))*(c^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) =
>
> c^(a^2+ b^2 + c^2 + 2ca + 2ab + 2bc) = c^(a + b+ c)^2 = c y puesto que
> c es el mayor de los tres debe de ser mayor o igual que 1/3.
>
> Uhmmmmmmmmm,no me acaba de convencer mucho.

Asi demostramos que es menor o igual que c y de forma similar puede
demostrarse que es mayor o igual que a. Lo que no nos aclara mucho respecto
de 1/3 ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> León-Sotelo ha escrito:
>> Los n?meros a,b y c son positivos y suman 1.
>> Demostrar que
>> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3
>>
>> Saludos
>> Le?n-Sotelo
>
> Un esbozo rápido sin pensarlo mucho:
>
> Suponiendo 0 < a <= b <= c
> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) >=

Es que ahí debe ser un <=

> (c^(a^2+2ca))*(c^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) =
>
> c^(a^2+ b^2 + c^2 + 2ca + 2ab + 2bc) = c^(a + b+ c)^2 = c y puesto que
> c es el mayor de los tres debe de ser mayor o igual que 1/3.
>
> Uhmmmmmmmmm,no me acaba de convencer mucho.

Asi demostramos que es menor o igual que c y de forma similar puede
demostrarse que es mayor o igual que a. Lo que no nos aclara mucho respecto
de 1/3 ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 6 feb, 10:57, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > León-Sotelo ha escrito:
> >> Los n?meros a,b y c son positivos y suman 1.
> >> Demostrar que
> >> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3
>
> >> Saludos
> >> Le?n-Sotelo
>
> > Un esbozo rápido sin pensarlo mucho:
>
> > Suponiendo 0 < a <= b <= c
> > (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) >=
>
> Es que ahí debe ser un <=
>
> > (c^(a^2+2ca))*(c^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) =
>
> > c^(a^2+ b^2 + c^2 + 2ca + 2ab + 2bc) = c^(a + b+ c)^2 = c y puesto que
> > c es el mayor de los tres debe de ser mayor o igual que 1/3.
>
> > Uhmmmmmmmmm,no me acaba de convencer mucho.
>
> Asi demostramos que es menor o igual que c y de forma similar puede
> demostrarse que es mayor o igual que a. Lo que no nos aclara mucho respecto
> de 1/3 ...
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

El enunciado está bien y lo que si es cierto es que es equivalente a

((1/a)^(a^2+2ca))*((1/b)^(b^2+2ab))*((1/c)^(c^2+2bc))<=3

L-S

On 6 feb, 10:57, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > León-Sotelo ha escrito:
> >> Los n?meros a,b y c son positivos y suman 1.
> >> Demostrar que
> >> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3
>
> >> Saludos
> >> Le?n-Sotelo
>
> > Un esbozo rápido sin pensarlo mucho:
>
> > Suponiendo 0 < a <= b <= c
> > (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) >=
>
> Es que ahí debe ser un <=
>
> > (c^(a^2+2ca))*(c^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc)) =
>
> > c^(a^2+ b^2 + c^2 + 2ca + 2ab + 2bc) = c^(a + b+ c)^2 = c y puesto que
> > c es el mayor de los tres debe de ser mayor o igual que 1/3.
>
> > Uhmmmmmmmmm,no me acaba de convencer mucho.
>
> Asi demostramos que es menor o igual que c y de forma similar puede
> demostrarse que es mayor o igual que a. Lo que no nos aclara mucho respecto
> de 1/3 ...
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

El enunciado está bien y lo que si es cierto es que es equivalente a

((1/a)^(a^2+2ca))*((1/b)^(b^2+2ab))*((1/c)^(c^2+2bc))<=3

L-S

León-Sotelo escribió:
> Los números a,b y c son positivos y suman 1.
> Demostrar que
> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3
>

Sea

X = (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))

si en X cambiamos los nombres de b y c obtenemos

X = (a^(a^2+2ba))*(c^(c^2+2ac))*(b^(b^2+2bc))

Multiplicando las dos expresiones

X^2 = a^(2a(a+b+c))b^(2b(a+b+c))c^(2c(a+b+c)) =

= a^(2a)b^(2b)c^(2c)

Tomando logaritmos

2ln(X) = (2a)ln(a) + (2b)ln(b) + (2c)ln(c)

Un sencillo cálculo de mínimos condicionados muestra que el mínimo se
alcanza para a = b = c = 1/3 y por tanto

ln(X) >= 3(1/3)ln(1/3) = ln(1/3)

y

X >= 1/3


--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Los números a,b y c son positivos y suman 1.
> Demostrar que
> (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3
>

Sea

X = (a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))

si en X cambiamos los nombres de b y c obtenemos

X = (a^(a^2+2ba))*(c^(c^2+2ac))*(b^(b^2+2bc))

Multiplicando las dos expresiones

X^2 = a^(2a(a+b+c))b^(2b(a+b+c))c^(2c(a+b+c)) =

= a^(2a)b^(2b)c^(2c)

Tomando logaritmos

2ln(X) = (2a)ln(a) + (2b)ln(b) + (2c)ln(c)

Un sencillo cálculo de mínimos condicionados muestra que el mínimo se
alcanza para a = b = c = 1/3 y por tanto

ln(X) >= 3(1/3)ln(1/3) = ln(1/3)

y

X >= 1/3


--

Antonio

"León-Sotelo" <francisco.lsotelo***gmail.com> escribió en el mensaje
news:a5caa0e0-9038-4312-a154-490a98b06a4c***v17g2000hsa.googlegroups.com...
Los números a,b y c son positivos y suman 1.
Demostrar que
(a^(a^2+2ca))*(b^(b^2+2ab))*(c^(c^2+2bc))>=1/3

Saludos
León-Sotelo


Intento esto, pero no sé si es el camino :

x = a^2 + 2ac
y = b^2 + 2ab
z = c^2 + 2bc

Hay que probar que (a^x)(b^y)(c^z) >= 1/3

(a+b+c)^2 = 1 = x + y + z

Por la desigualdad de las medias aritmética y geométrica :

(x+y+z)/3 >= (xyz)^(1/3) ==> 1/27 >= xyz

Por otra parte,

a^x - x >= -x
b^y - y >= -y
c^z - z <= -z

Luego,

(a^x - x )(b^y - y )(c^z - z) =

= (a^x)(b^y)(c^z) -(a^ - x)z(b^y) -(b^y - y)x(c^z) -

- (c^z - z)y(a^x) - xyz >= -xyz

Es decir,

(a^x)(b^y)(c^z) >= (a^ - x)z(b^y) + (b^y - y)x(c^z) + (c^z - z)y(a^x)

y quedaría bonito ( y probado ) si se demuestra ( teniendo en cuenta 1/27 >=
xyz )
que cada uno de los sumandos es mayor o igual que 1/9.

Saludos,