Resolver la ecuación:

x = sqrt(a - sqrt(a + x))

donde a > 0 es un parámetro.

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> Resolver la ecuación:
>
> x = sqrt(a - sqrt(a + x))
>
> donde a > 0 es un parámetro.
>

Si hacemos

y = rq(a+ x)

nos queda

x^2 + y = a

y^2 - x = a

con las condiciones adicionales

x >= 0

y >= 0

Se trata de hallar la intersección de parábolas en el primer cuadrante.

Restando tenemos

x^2 - y^2 + y + x = 0

(x+y)(x-y+1) = 0

Salvo en el caso trivial a = x = y = 0, no puede ser x + y = 0.

Por tanto

y = x+ 1

x = (-1 + rq(-3+4a))/2

y = (1 + rq(-3+4a))/2

Para que x,y sean positivos debe ser a > 1.

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Resolver la ecuación:
>
> x = sqrt(a - sqrt(a + x))
>
> donde a > 0 es un parámetro.
>

Si hacemos

y = rq(a+ x)

nos queda

x^2 + y = a

y^2 - x = a

con las condiciones adicionales

x >= 0

y >= 0

Se trata de hallar la intersección de parábolas en el primer cuadrante.

Restando tenemos

x^2 - y^2 + y + x = 0

(x+y)(x-y+1) = 0

Salvo en el caso trivial a = x = y = 0, no puede ser x + y = 0.

Por tanto

y = x+ 1

x = (-1 + rq(-3+4a))/2

y = (1 + rq(-3+4a))/2

Para que x,y sean positivos debe ser a > 1.

--

Antonio

Javier Esquinas wrote:
> Resolver la ecuación:
>
> x = sqrt(a - sqrt(a + x))
>
> donde a > 0 es un parámetro.

Tiene que ser x > 0, y a > rq(a + x)

elevando al cuadrado,

x^2 = a - rq(a + x)

(x^2 - a) = a + x

x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0

(x^2 - x - a)(x^2 + x - a + 1) = 0

Del primer factor,

x = (1 +/- rq(4a + 1))/2

Como solo nos interesa x > 0, solo nos queda

x = (1 + rq(4a + 1))/2

Pero con esta solución x^2 - a = x, por lo que no nos vale.

Del segundo factor, tomando solo el signo +,

x = (-1 + rq(4a - 3))/2

Lo que implica a > 3/4. Pero como x ha de ser positivo, debe ser en realidad
a > 1.




--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> Resolver la ecuación:
>
> x = sqrt(a - sqrt(a + x))
>
> donde a > 0 es un parámetro.

Tiene que ser x > 0, y a > rq(a + x)

elevando al cuadrado,

x^2 = a - rq(a + x)

(x^2 - a) = a + x

x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0

(x^2 - x - a)(x^2 + x - a + 1) = 0

Del primer factor,

x = (1 +/- rq(4a + 1))/2

Como solo nos interesa x > 0, solo nos queda

x = (1 + rq(4a + 1))/2

Pero con esta solución x^2 - a = x, por lo que no nos vale.

Del segundo factor, tomando solo el signo +,

x = (-1 + rq(4a - 3))/2

Lo que implica a > 3/4. Pero como x ha de ser positivo, debe ser en realidad
a > 1.




--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
> Javier Esquinas wrote:
> > Resolver la ecuaci�n:
> >
> > x = sqrt(a - sqrt(a + x))
> >
> > donde a > 0 es un par�metro.
>
> Tiene que ser x > 0, y a > rq(a + x)
>
> elevando al cuadrado,
>
> x^2 = a - rq(a + x)
>
> (x^2 - a) = a + x
>
> x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0
>
> (x^2 - x - a)(x^2 + x - a + 1) = 0
>
> Del primer factor,
>
> x = (1 +/- rq(4a + 1))/2
>
> Como solo nos interesa x > 0, solo nos queda
>
> x = (1 + rq(4a + 1))/2
>
> Pero con esta soluci�n x^2 - a = x, por lo que no nos vale.
>
> Del segundo factor, tomando solo el signo +,
>
> x = (-1 + rq(4a - 3))/2
>
> Lo que implica a > 3/4. Pero como x ha de ser positivo, debe ser en realidad
> a > 1.
>
>
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com


Una pregunta Ignacio (y aquÃ*** es por donde iba el problema) : Cómo has
factorizado el polinomio?

Saludos.

Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
> Javier Esquinas wrote:
> > Resolver la ecuaci�n:
> >
> > x = sqrt(a - sqrt(a + x))
> >
> > donde a > 0 es un par�metro.
>
> Tiene que ser x > 0, y a > rq(a + x)
>
> elevando al cuadrado,
>
> x^2 = a - rq(a + x)
>
> (x^2 - a) = a + x
>
> x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0
>
> (x^2 - x - a)(x^2 + x - a + 1) = 0
>
> Del primer factor,
>
> x = (1 +/- rq(4a + 1))/2
>
> Como solo nos interesa x > 0, solo nos queda
>
> x = (1 + rq(4a + 1))/2
>
> Pero con esta soluci�n x^2 - a = x, por lo que no nos vale.
>
> Del segundo factor, tomando solo el signo +,
>
> x = (-1 + rq(4a - 3))/2
>
> Lo que implica a > 3/4. Pero como x ha de ser positivo, debe ser en realidad
> a > 1.
>
>
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com


Una pregunta Ignacio (y aquÃ*** es por donde iba el problema) : Cómo has
factorizado el polinomio?

Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> Resolver la ecuaci?n:
>>>
>>> x = sqrt(a - sqrt(a + x))
>>>
>>> donde a > 0 es un par?metro.
>>
>> Tiene que ser x > 0, y a > rq(a + x)
>>
>> elevando al cuadrado,
>>
>> x^2 = a - rq(a + x)
>>
>> (x^2 - a) = a + x
>>
>> x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0
>>
>> (x^2 - x - a)(x^2 + x - a + 1) = 0
>>
>> Del primer factor,
>>
>> x = (1 +/- rq(4a + 1))/2
>>
>> Como solo nos interesa x > 0, solo nos queda
>>
>> x = (1 + rq(4a + 1))/2
>>
>> Pero con esta soluci?n x^2 - a = x, por lo que no nos vale.
>>
>> Del segundo factor, tomando solo el signo +,
>>
>> x = (-1 + rq(4a - 3))/2
>>
>> Lo que implica a > 3/4. Pero como x ha de ser positivo, debe ser en
>> realidad a > 1.
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>> A Coru?a (Espa?a)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>
> Una pregunta Ignacio (y aquí es por donde iba el problema) : Cómo has
> factorizado el polinomio?

Poniendonos en plan fácilm suponiendo que factoriza en z y que a^2 - a tiene
los facores obvios:

(x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a) = (x^2 + bx - a)(x^2 + cx - (a - 1))

Desarrollando, del termino de tercer grado, se ve que c = -c, y a
continuación que b^2 = 1. Asi que solo quedan dos pruebas y b = -1 es la que
funciona.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> Resolver la ecuaci?n:
>>>
>>> x = sqrt(a - sqrt(a + x))
>>>
>>> donde a > 0 es un par?metro.
>>
>> Tiene que ser x > 0, y a > rq(a + x)
>>
>> elevando al cuadrado,
>>
>> x^2 = a - rq(a + x)
>>
>> (x^2 - a) = a + x
>>
>> x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0
>>
>> (x^2 - x - a)(x^2 + x - a + 1) = 0
>>
>> Del primer factor,
>>
>> x = (1 +/- rq(4a + 1))/2
>>
>> Como solo nos interesa x > 0, solo nos queda
>>
>> x = (1 + rq(4a + 1))/2
>>
>> Pero con esta soluci?n x^2 - a = x, por lo que no nos vale.
>>
>> Del segundo factor, tomando solo el signo +,
>>
>> x = (-1 + rq(4a - 3))/2
>>
>> Lo que implica a > 3/4. Pero como x ha de ser positivo, debe ser en
>> realidad a > 1.
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>> A Coru?a (Espa?a)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>
> Una pregunta Ignacio (y aquí es por donde iba el problema) : Cómo has
> factorizado el polinomio?

Poniendonos en plan fácilm suponiendo que factoriza en z y que a^2 - a tiene
los facores obvios:

(x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a) = (x^2 + bx - a)(x^2 + cx - (a - 1))

Desarrollando, del termino de tercer grado, se ve que c = -c, y a
continuación que b^2 = 1. Asi que solo quedan dos pruebas y b = -1 es la que
funciona.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
> Javier Esquinas wrote:
> > Ignacio Larrosa Ca�estro ha escrito:
> >> Javier Esquinas wrote:
> >>> Resolver la ecuaci?n:
> >>>
> >>> x = sqrt(a - sqrt(a + x))
> >>>
> >>> donde a > 0 es un par?metro.
> >>
> >> Tiene que ser x > 0, y a > rq(a + x)
> >>
> >> elevando al cuadrado,
> >>
> >> x^2 = a - rq(a + x)
> >>
> >> (x^2 - a) = a + x
> >>
> >> x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0
> >>
> >> (x^2 - x - a)(x^2 + x - a + 1) = 0
> >>
> >> Del primer factor,
> >>
> >> x = (1 +/- rq(4a + 1))/2
> >>
> >> Como solo nos interesa x > 0, solo nos queda
> >>
> >> x = (1 + rq(4a + 1))/2
> >>
> >> Pero con esta soluci?n x^2 - a = x, por lo que no nos vale.
> >>
> >> Del segundo factor, tomando solo el signo +,
> >>
> >> x = (-1 + rq(4a - 3))/2
> >>
> >> Lo que implica a > 3/4. Pero como x ha de ser positivo, debe ser en
> >> realidad a > 1.
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Saludos,
> >>
> >> Ignacio Larrosa Ca?estro
> >> A Coru?a (Espa?a)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
> >
> >
> > Una pregunta Ignacio (y aqu� es por donde iba el problema) : C�mo has
> > factorizado el polinomio?
>
> Poniendonos en plan f�cilm suponiendo que factoriza en z y que a^2- a tiene
> los facores obvios:
>
> (x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a) = (x^2 + bx - a)(x^2 + cx - (a - 1))
>
> Desarrollando, del termino de tercer grado, se ve que c = -c, y a
> continuaci�n que b^2 = 1. Asi que solo quedan dos pruebas y b = -1 es la que
> funciona.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com


Es que aparte de que Antonio haya salido agradablemente con una
demostración geométrica yo lo que querÃ***a era poner de manifiesto un
truquillo que muchas veces nos pasa desapercibido.
El polinomio x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0 visto con variable en x es
una cuártica pero si lo vemos como un polinomio en la incógnita a :

a^2 -(2x^2 +1)a + x^4 - x = 0

es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son :

a = (2x^2 + 1 +/- sqrt(4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^4 + 4x)/2 = (2x^2 + 1 +/-
sqrt((2x + 1))/2 =

= (2x^2 + 1 +/- (2x + 1))/2

es decir,las soluciones son:

x^2 + x+ 1

y
x^2 - x

por tanto tiene la factorización:

a^2 -(2x^2 +1)a + x^4 - x = (a - x^2 - x - 1)( a - x^2 + x) =
= (x^2 + x + 1 - a)( x^2 - x - a)

que es precisamente la factorización que habÃ***a hecho Ignacio.
Es decir,operando con el parámetro como incógnita se pude hacer el
problema mucho más manejable.

Saludos.