Hola,
A ver si me ayudan con este de geometria
Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto A(6,2).
Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1). ¿En qué punto de
la banda ha rebotado la bola?

Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
hallar?

Gracias

Monty wrote:
> Hola,
> A ver si me ayudan con este de geometria
> Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
> ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto
> A(6,2). Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1).
> ¿En qué punto de la banda ha rebotado la bola?
>
> Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
> hallar?
>

Halla el simétrico B' del punto B respecto de la recta y la ecuación de la
recta AB'. La intersección de las dos rectas es el punto que buscas.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Monty wrote:
> Hola,
> A ver si me ayudan con este de geometria
> Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
> ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto
> A(6,2). Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1).
> ¿En qué punto de la banda ha rebotado la bola?
>
> Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
> hallar?
>

Halla el simétrico B' del punto B respecto de la recta y la ecuación de la
recta AB'. La intersección de las dos rectas es el punto que buscas.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Una vez hallo el simetrico no tendria que hallar la ecuacion de BB' y ver
donde se corta esa con la recta dada?
¿Por que debo hallar la interseccion con la AB'?
Gracias
"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:61jpj6F1viadtU1***mid.individual.net...
> Monty wrote:
>> Hola,
>> A ver si me ayudan con este de geometria
>> Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
>> ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto
>> A(6,2). Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1).
>> ¿En qué punto de la banda ha rebotado la bola?
>>
>> Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
>> hallar?
>>
>
> Halla el simétrico B' del punto B respecto de la recta y la ecuación de la
> recta AB'. La intersección de las dos rectas es el punto que buscas.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>

Una vez hallo el simetrico no tendria que hallar la ecuacion de BB' y ver
donde se corta esa con la recta dada?
¿Por que debo hallar la interseccion con la AB'?
Gracias
"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:61jpj6F1viadtU1***mid.individual.net...
> Monty wrote:
>> Hola,
>> A ver si me ayudan con este de geometria
>> Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
>> ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto
>> A(6,2). Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1).
>> ¿En qué punto de la banda ha rebotado la bola?
>>
>> Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
>> hallar?
>>
>
> Halla el simétrico B' del punto B respecto de la recta y la ecuación de la
> recta AB'. La intersección de las dos rectas es el punto que buscas.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>

Lo que te dice Ignacio es que calcules el simétrico del punto B
respecto de la recta y = 5x - 2.
Ese punto es B' = ( -31/13 , 1/13 ).
Después, calculas la ecuación de la recta que une B' y A.
Tal recta es la que tiene por ecuación 1417y - 325x = 884.
Finalmente, calculas la intersección de esta recta con la recta
y = 5x - 2. El punto que obtienes es P = ( 11/20, 3/4 ), que
es el punto de la banda donde ha rebotado la bola lanzada
desde A para llegar a B ( siguiendo una trayectoria de distancia
mínima )

Y lo que te dice Antonio es que puedes resolver el problema
mediante derivadas, haciendo mínima la distancia |AP| + |PB|.

Coges un punto genérico P = (u,v) de la banda ( es decir, cumplirá
v = 5u - 2 ) y la distancia |AP| + |PB| es :

sqrt( (u-6)^2 + (v-2)**2 ) + sqrt( (3-u)^2 + (-1-v)^2 ) =

sqrt( (u-6)^2 + (5u-4)**2 ) + sqrt( (u-3)^2 + (5u-1)^2 )

Derivas esta última expresión con respecto de "u" e igualas a 0.

El resultado que obtienes es u = 11/20.

La derivada segunda en u = 11/20 es positiva, así que se trata
de un mínimo relativo.

Por tanto, el punto de la banda que hace mínima la trayectoria
de la bola es P = ( 11/20, 5(11/20)-2 ) = ( 11/20, 3/4 )
como obtuvimos antes.

Saludos,



"Monty" <me***privacy.net> escribió en el mensaje
news:61jvh3F1vuf9mU1***mid.individual.net...
> Una vez hallo el simetrico no tendria que hallar la ecuacion de BB' y ver
> donde se corta esa con la recta dada?
> ¿Por que debo hallar la interseccion con la AB'?
> Gracias
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
> en el mensaje news:61jpj6F1viadtU1***mid.individual.net...
>> Monty wrote:
>>> Hola,
>>> A ver si me ayudan con este de geometria
>>> Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
>>> ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto
>>> A(6,2). Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1).
>>> ¿En qué punto de la banda ha rebotado la bola?
>>>
>>> Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
>>> hallar?
>>>
>>
>> Halla el simétrico B' del punto B respecto de la recta y la ecuación de
>> la recta AB'. La intersección de las dos rectas es el punto que buscas.
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>
>
>
>

Lo que te dice Ignacio es que calcules el simétrico del punto B
respecto de la recta y = 5x - 2.
Ese punto es B' = ( -31/13 , 1/13 ).
Después, calculas la ecuación de la recta que une B' y A.
Tal recta es la que tiene por ecuación 1417y - 325x = 884.
Finalmente, calculas la intersección de esta recta con la recta
y = 5x - 2. El punto que obtienes es P = ( 11/20, 3/4 ), que
es el punto de la banda donde ha rebotado la bola lanzada
desde A para llegar a B ( siguiendo una trayectoria de distancia
mínima )

Y lo que te dice Antonio es que puedes resolver el problema
mediante derivadas, haciendo mínima la distancia |AP| + |PB|.

Coges un punto genérico P = (u,v) de la banda ( es decir, cumplirá
v = 5u - 2 ) y la distancia |AP| + |PB| es :

sqrt( (u-6)^2 + (v-2)**2 ) + sqrt( (3-u)^2 + (-1-v)^2 ) =

sqrt( (u-6)^2 + (5u-4)**2 ) + sqrt( (u-3)^2 + (5u-1)^2 )

Derivas esta última expresión con respecto de "u" e igualas a 0.

El resultado que obtienes es u = 11/20.

La derivada segunda en u = 11/20 es positiva, así que se trata
de un mínimo relativo.

Por tanto, el punto de la banda que hace mínima la trayectoria
de la bola es P = ( 11/20, 5(11/20)-2 ) = ( 11/20, 3/4 )
como obtuvimos antes.

Saludos,



"Monty" <me***privacy.net> escribió en el mensaje
news:61jvh3F1vuf9mU1***mid.individual.net...
> Una vez hallo el simetrico no tendria que hallar la ecuacion de BB' y ver
> donde se corta esa con la recta dada?
> ¿Por que debo hallar la interseccion con la AB'?
> Gracias
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
> en el mensaje news:61jpj6F1viadtU1***mid.individual.net...
>> Monty wrote:
>>> Hola,
>>> A ver si me ayudan con este de geometria
>>> Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
>>> ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto
>>> A(6,2). Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1).
>>> ¿En qué punto de la banda ha rebotado la bola?
>>>
>>> Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
>>> hallar?
>>>
>>
>> Halla el simétrico B' del punto B respecto de la recta y la ecuación de
>> la recta AB'. La intersección de las dos rectas es el punto que buscas.
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>
>
>
>

On 15 feb, 04:17, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Lo que te dice Ignacio es que calcules el simétrico del punto B
> respecto de la recta ***y = 5x - 2.
> Ese punto es B' = ( -31/13 , 1/13 ).
> Después, calculas la ecuación de la recta que une B' y A.
> Tal recta es la que tiene por ecuación ***1417y - 325x = 884.
> Finalmente, calculas la intersección de esta recta con la recta
> y = 5x - 2. ***El punto que obtienes es ***P = ( 11/20, 3/4 ), que
> es el punto de la banda donde ha rebotado la bola lanzada
> desde A para llegar a B ( siguiendo una trayectoria de distancia
> mínima )
>
> Y lo que te dice Antonio es que puedes resolver el problema
> mediante derivadas, haciendo mínima la distancia |AP| + |PB|.
>
> Coges un punto genérico P = (u,v) de la banda ( es decir, cumplirá
> v = 5u - 2 ) ***y ***la distancia *** |AP| + |PB| ***es ***:
>
> sqrt( (u-6)^2 + (v-2)**2 ) + sqrt( (3-u)^2 + (-1-v)^2 ) =
>
> sqrt( (u-6)^2 + (5u-4)**2 ) + sqrt( (u-3)^2 + (5u-1)^2 )
>
> Derivas esta última expresión con respecto de "u" e igualas a 0.
>
> El resultado que obtienes es ***u = 11/20.
>
> La derivada segunda en u = 11/20 es positiva, así que se trata
> de un mínimo relativo.
>
> Por tanto, el punto de la banda que hace mínima la trayectoria
> de la bola es ***P = ( 11/20, 5(11/20)-2 ) = ( 11/20, 3/4 )
> como obtuvimos antes.
>
> Saludos,
>
> "Monty" <m...***privacy.net> escribió en el mensajenews:61jvh3F1vuf9mU1***mid.individual.net...
>
>
>
> > Una vez hallo el simetrico ***no tendria que hallar la ecuacion de BB' yver
> > donde se corta esa con la recta dada?
> > ¿Por que debo hallar la interseccion con la AB'?
> > Gracias
> > "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> escribió
> > en el mensajenews:61jpj6F1viadtU1***mid.individual.net...
> >> Monty wrote:
> >>> Hola,
> >>> A ver si me ayudan con este de geometria
> >>> Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
> >>> ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto
> >>> A(6,2). Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1).
> >>> ¿En qué punto de la banda ha rebotado la bola?
>
> >>> Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
> >>> hallar?
>
> >> Halla el simétrico B' del punto B respecto de la recta y la ecuación de
> >> la recta AB'. La intersección de las dos rectas es el punto que buscas.
>
> >> --
> >> Saludos,
>
> >> Ignacio Larrosa Cañestro
> >> A Coruña (España)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Aqui en este problema se puede practicar bien con el Geogebra

L-S

On 15 feb, 04:17, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Lo que te dice Ignacio es que calcules el simétrico del punto B
> respecto de la recta ***y = 5x - 2.
> Ese punto es B' = ( -31/13 , 1/13 ).
> Después, calculas la ecuación de la recta que une B' y A.
> Tal recta es la que tiene por ecuación ***1417y - 325x = 884.
> Finalmente, calculas la intersección de esta recta con la recta
> y = 5x - 2. ***El punto que obtienes es ***P = ( 11/20, 3/4 ), que
> es el punto de la banda donde ha rebotado la bola lanzada
> desde A para llegar a B ( siguiendo una trayectoria de distancia
> mínima )
>
> Y lo que te dice Antonio es que puedes resolver el problema
> mediante derivadas, haciendo mínima la distancia |AP| + |PB|.
>
> Coges un punto genérico P = (u,v) de la banda ( es decir, cumplirá
> v = 5u - 2 ) ***y ***la distancia *** |AP| + |PB| ***es ***:
>
> sqrt( (u-6)^2 + (v-2)**2 ) + sqrt( (3-u)^2 + (-1-v)^2 ) =
>
> sqrt( (u-6)^2 + (5u-4)**2 ) + sqrt( (u-3)^2 + (5u-1)^2 )
>
> Derivas esta última expresión con respecto de "u" e igualas a 0.
>
> El resultado que obtienes es ***u = 11/20.
>
> La derivada segunda en u = 11/20 es positiva, así que se trata
> de un mínimo relativo.
>
> Por tanto, el punto de la banda que hace mínima la trayectoria
> de la bola es ***P = ( 11/20, 5(11/20)-2 ) = ( 11/20, 3/4 )
> como obtuvimos antes.
>
> Saludos,
>
> "Monty" <m...***privacy.net> escribió en el mensajenews:61jvh3F1vuf9mU1***mid.individual.net...
>
>
>
> > Una vez hallo el simetrico ***no tendria que hallar la ecuacion de BB' yver
> > donde se corta esa con la recta dada?
> > ¿Por que debo hallar la interseccion con la AB'?
> > Gracias
> > "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> escribió
> > en el mensajenews:61jpj6F1viadtU1***mid.individual.net...
> >> Monty wrote:
> >>> Hola,
> >>> A ver si me ayudan con este de geometria
> >>> Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
> >>> ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto
> >>> A(6,2). Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1).
> >>> ¿En qué punto de la banda ha rebotado la bola?
>
> >>> Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
> >>> hallar?
>
> >> Halla el simétrico B' del punto B respecto de la recta y la ecuación de
> >> la recta AB'. La intersección de las dos rectas es el punto que buscas.
>
> >> --
> >> Saludos,
>
> >> Ignacio Larrosa Cañestro
> >> A Coruña (España)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Aqui en este problema se puede practicar bien con el Geogebra

L-S

Sí, entiendo el argumento. Lo que no entiendo es en qué nos podemos basar
para suponer que el simétrico de B unido con A intercepta con la recta dada
en el punto buscado.

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:fp307s$i6i$1***registered.motzarella.org...
> Lo que te dice Ignacio es que calcules el simétrico del punto B
> respecto de la recta y = 5x - 2.
> Ese punto es B' = ( -31/13 , 1/13 ).
> Después, calculas la ecuación de la recta que une B' y A.
> Tal recta es la que tiene por ecuación 1417y - 325x = 884.
> Finalmente, calculas la intersección de esta recta con la recta
> y = 5x - 2. El punto que obtienes es P = ( 11/20, 3/4 ), que
> es el punto de la banda donde ha rebotado la bola lanzada
> desde A para llegar a B ( siguiendo una trayectoria de distancia
> mínima )
>
> Y lo que te dice Antonio es que puedes resolver el problema
> mediante derivadas, haciendo mínima la distancia |AP| + |PB|.
>
> Coges un punto genérico P = (u,v) de la banda ( es decir, cumplirá
> v = 5u - 2 ) y la distancia |AP| + |PB| es :
>
> sqrt( (u-6)^2 + (v-2)**2 ) + sqrt( (3-u)^2 + (-1-v)^2 ) =
>
> sqrt( (u-6)^2 + (5u-4)**2 ) + sqrt( (u-3)^2 + (5u-1)^2 )
>
> Derivas esta última expresión con respecto de "u" e igualas a 0.
>
> El resultado que obtienes es u = 11/20.
>
> La derivada segunda en u = 11/20 es positiva, así que se trata
> de un mínimo relativo.
>
> Por tanto, el punto de la banda que hace mínima la trayectoria
> de la bola es P = ( 11/20, 5(11/20)-2 ) = ( 11/20, 3/4 )
> como obtuvimos antes.
>
> Saludos,
>
>
>
> "Monty" <me***privacy.net> escribió en el mensaje
> news:61jvh3F1vuf9mU1***mid.individual.net...
>> Una vez hallo el simetrico no tendria que hallar la ecuacion de BB' y
>> ver donde se corta esa con la recta dada?
>> ¿Por que debo hallar la interseccion con la AB'?
>> Gracias
>> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
>> escribió en el mensaje news:61jpj6F1viadtU1***mid.individual.net...
>>> Monty wrote:
>>>> Hola,
>>>> A ver si me ayudan con este de geometria
>>>> Una de las bandas de una mesa de billar está contenida en la recta de
>>>> ecuacion 5x-y=2. Golpeamos una bola que se encuentra en el punto
>>>> A(6,2). Después de rebotar en la banda, pasa por el punto B(3,-1).
>>>> ¿En qué punto de la banda ha rebotado la bola?
>>>>
>>>> Es evidente que ese punto pertenece a tres rectas, pero cómo se puede
>>>> hallar?
>>>>
>>>
>>> Halla el simétrico B' del punto B respecto de la recta y la ecuación de
>>> la recta AB'. La intersección de las dos rectas es el punto que buscas.
>>>
>>>
>>> --
>>> Saludos,
>>>
>>> Ignacio Larrosa Cañestro
>>> A Coruña (España)
>>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>>
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