Hallar la relación que deben cumplir los coeficientes
de la ecuación z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
afijos de sus raíces formen un triángulo equilátero.

Saludos,

Luis a écrit :
> Hallar la relaci�n que deben cumplir los coeficientes
> de la ecuaci�n z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
> afijos de sus ra�ces formen un tri�ngulo equil�tero.
>
> Saludos,

La relacion necesaria y suficiente es : 3b=a^2

Saludos,
Georges

Luis a écrit :
> Hallar la relaci�n que deben cumplir los coeficientes
> de la ecuaci�n z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
> afijos de sus ra�ces formen un tri�ngulo equil�tero.
>
> Saludos,

La relacion necesaria y suficiente es : 3b=a^2

Saludos,
Georges

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:fpaode$l2j$1***registered.motzarella.org...
> Hallar la relación que deben cumplir los coeficientes
> de la ecuación z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
> afijos de sus raíces formen un triángulo equilátero.
>
> Saludos,

Sea w = (-1 + rq(3)i)/2, una de las raíces cúbicas de la unidad. Si las
raices son p, q y r, debe ser

q = w(p - a/3), r = w^2(p - a/3)

entonces,

- a = p + q + r = p + w(p - a/3) + w^2(p - a/3) = a/3

===> a = 0

Entonces, las raíces verificaraán:


q = wp, r = w^2p

Tenemos que

b = pq + pr + qr = p^2(w^3 + w^2 + w) = p^2*0 = 0

c = -pqr = -p^3w^3 = -p^3

Por tanto, son necesariuamente de la forma

z^3 - p^3 = 0

Es decir, que las raíces han de ser las tres raíces cúbicas de p^3: p, pw y
pw^2 (p real o complejo)

Ignacio Larrosa

(aburriendose mientras espera a que sus alumnos acaben un examen ...)

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:fpaode$l2j$1***registered.motzarella.org...
> Hallar la relación que deben cumplir los coeficientes
> de la ecuación z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
> afijos de sus raíces formen un triángulo equilátero.
>
> Saludos,

Sea w = (-1 + rq(3)i)/2, una de las raíces cúbicas de la unidad. Si las
raices son p, q y r, debe ser

q = w(p - a/3), r = w^2(p - a/3)

entonces,

- a = p + q + r = p + w(p - a/3) + w^2(p - a/3) = a/3

===> a = 0

Entonces, las raíces verificaraán:


q = wp, r = w^2p

Tenemos que

b = pq + pr + qr = p^2(w^3 + w^2 + w) = p^2*0 = 0

c = -pqr = -p^3w^3 = -p^3

Por tanto, son necesariuamente de la forma

z^3 - p^3 = 0

Es decir, que las raíces han de ser las tres raíces cúbicas de p^3: p, pw y
pw^2 (p real o complejo)

Ignacio Larrosa

(aburriendose mientras espera a que sus alumnos acaben un examen ...)

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:61tq66F21b01hU1***mid.individual.net...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
> news:fpaode$l2j$1***registered.motzarella.org...
>> Hallar la relación que deben cumplir los coeficientes
>> de la ecuación z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
>> afijos de sus raíces formen un triángulo equilátero.
>>
>> Saludos,
>
> Sea w = (-1 + rq(3)i)/2, una de las raíces cúbicas de la unidad. Si las
> raices son p, q y r, debe ser
>
> q = w(p - a/3), r = w^2(p - a/3)
>

Eso debería ser

- a = p + q + r = p + w(p + a/3) + w^2(p + a/3) = -a/3

q = -a/3 + w(p + a/3), r = -a/3 + w^2(p + a/3)

Es que no se puede estar a dos cosas al mismo tiempo ...

Ignacio Larrosa

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:61tq66F21b01hU1***mid.individual.net...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
> news:fpaode$l2j$1***registered.motzarella.org...
>> Hallar la relación que deben cumplir los coeficientes
>> de la ecuación z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
>> afijos de sus raíces formen un triángulo equilátero.
>>
>> Saludos,
>
> Sea w = (-1 + rq(3)i)/2, una de las raíces cúbicas de la unidad. Si las
> raices son p, q y r, debe ser
>
> q = w(p - a/3), r = w^2(p - a/3)
>

Eso debería ser

- a = p + q + r = p + w(p + a/3) + w^2(p + a/3) = -a/3

q = -a/3 + w(p + a/3), r = -a/3 + w^2(p + a/3)

Es que no se puede estar a dos cosas al mismo tiempo ...

Ignacio Larrosa

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> "Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
> news:fpaode$l2j$1***registered.motzarella.org...
>> Hallar la relación que deben cumplir los coeficientes
>> de la ecuación z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
>> afijos de sus raíces formen un triángulo equilátero.
>>
>> Saludos,
>
> Sea w = (-1 + rq(3)i)/2, una de las raíces cúbicas de la unidad. Si las
> raices son p, q y r, debe ser
>
> q = w(p - a/3), r = w^2(p - a/3)
>
> entonces,
>
> - a = p + q + r = p + w(p - a/3) + w^2(p - a/3) = a/3
>
> ===> a = 0
>
> Entonces, las raíces verificaraán:
>
>
> q = wp, r = w^2p
>
> Tenemos que
>
> b = pq + pr + qr = p^2(w^3 + w^2 + w) = p^2*0 = 0
>
> c = -pqr = -p^3w^3 = -p^3
>
> Por tanto, son necesariuamente de la forma
>
> z^3 - p^3 = 0
>
> Es decir, que las raíces han de ser las tres raíces cúbicas de p^3: p, pw y
> pw^2 (p real o complejo)
>
> Ignacio Larrosa
>
> (aburriendose mientras espera a que sus alumnos acaben un examen ...)
>

Mmmm no veo yo eso claro.

Sean p, q y r las raíces. Sea g su baricentro

g = (p+q+r)/3

Podemos escribir las raíces como

p = g +z0

q = g + w z0

r = g + w* z0

de forma que se cumple que

a = -(p+q+r) = -3g

b = pq + pr + qr =

= 3g^2 + gz0(1+w + 1 + w* + w + w*) + z0^2 (w + w* + ww*) =

= 3g^2

c = -(g^3 + g^2 z0(1+w+w*) + g z0^2(w + w* + ww*) + z0^3(ww*)) =

= -(g^3 + z0^3)

Por tanto la condición buscada es que

a^2 = 3b

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> "Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
> news:fpaode$l2j$1***registered.motzarella.org...
>> Hallar la relación que deben cumplir los coeficientes
>> de la ecuación z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
>> afijos de sus raíces formen un triángulo equilátero.
>>
>> Saludos,
>
> Sea w = (-1 + rq(3)i)/2, una de las raíces cúbicas de la unidad. Si las
> raices son p, q y r, debe ser
>
> q = w(p - a/3), r = w^2(p - a/3)
>
> entonces,
>
> - a = p + q + r = p + w(p - a/3) + w^2(p - a/3) = a/3
>
> ===> a = 0
>
> Entonces, las raíces verificaraán:
>
>
> q = wp, r = w^2p
>
> Tenemos que
>
> b = pq + pr + qr = p^2(w^3 + w^2 + w) = p^2*0 = 0
>
> c = -pqr = -p^3w^3 = -p^3
>
> Por tanto, son necesariuamente de la forma
>
> z^3 - p^3 = 0
>
> Es decir, que las raíces han de ser las tres raíces cúbicas de p^3: p, pw y
> pw^2 (p real o complejo)
>
> Ignacio Larrosa
>
> (aburriendose mientras espera a que sus alumnos acaben un examen ...)
>

Mmmm no veo yo eso claro.

Sean p, q y r las raíces. Sea g su baricentro

g = (p+q+r)/3

Podemos escribir las raíces como

p = g +z0

q = g + w z0

r = g + w* z0

de forma que se cumple que

a = -(p+q+r) = -3g

b = pq + pr + qr =

= 3g^2 + gz0(1+w + 1 + w* + w + w*) + z0^2 (w + w* + ww*) =

= 3g^2

c = -(g^3 + g^2 z0(1+w+w*) + g z0^2(w + w* + ww*) + z0^3(ww*)) =

= -(g^3 + z0^3)

Por tanto la condición buscada es que

a^2 = 3b

--

Antonio

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
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> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
> en el mensaje news:61tq66F21b01hU1***mid.individual.net...
>>
>> "Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
>> news:fpaode$l2j$1***registered.motzarella.org...
>>> Hallar la relación que deben cumplir los coeficientes
>>> de la ecuación z^3 + az^2 + bz + c = 0 para que los
>>> afijos de sus raíces formen un triángulo equilátero.
>>>
>>> Saludos,
>>
>> Sea w = (-1 + rq(3)i)/2, una de las raíces cúbicas de la unidad. Si las
>> raices son p, q y r, debe ser
>>
>> q = w(p - a/3), r = w^2(p - a/3)
>>
>
> Eso debería ser
>
> - a = p + q + r = p + w(p + a/3) + w^2(p + a/3) = -a/3
>
> q = -a/3 + w(p + a/3), r = -a/3 + w^2(p + a/3)

Entonces la ecuación queda

z^3 + az^2 + (a^2/3)z - p(a^2 + 3ap + 3p^2)/3 = 0

donde p es una de las raíces


> Es que no se puede estar a dos cosas al mismo tiempo ...


(ahora ya solo me quedan dos alumnos ...)

Ignacio Larrosa