Me asalta la siguiente duda :

Si tengo un número complejo z = x + iy
y quiero calcular las partes reales e imaginarias de
arctan(z), deduzco primero que

arctan(z) = (1/2i)ln( (1+iz)/(1-iz) )

y después trato de poner ese número complejo
en la forma a + bi.

Teniendo en cuenta que z = x + iy , obtengo :

Re( (1+iz)/(1-iz) ) = (1-x^2-y^2 ) / ( x^2 +(y+1)^2 )

Im( (1+iz)/(1-iz) ) = 2x / ( x^2 +(y+1)^2 )


Entonces, el módulo de (1+iz)/(1-iz) es

sqrt( ( x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )

Pero, para el argumento principal de (1+iz)/(1-iz),

¿ puedo escribir

arg( (1+iz)/(1-iz) ) = arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) ?


Lo pregunto porque entonces

ln(1+iz)/(1-iz) ) = (1/2) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 ) +

+ i ( arctan( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi ) , k entero

y tendría :

Re( arctan(z) ) = (1/2) ( arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi )

Im ( arctan(z) ) = (-1/4) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )

Pero si compruebo el resultado con la función arctan(z) que tiene
incorporada Maple ( con z = 1 + 3i, por ejemplo ) , me da

arctan( 1+3i ) = 1.461461855+.3059438580*I

Y si utilizo mis resultados, haciendo x = 1 e y = 3 :

Re ( arctan(1+3i) ) = -.1093344730

Im ( arctan(1+3i) ) = .3059438578

Es decir, coincido con el programa en la parte imaginaria,
pero no en la parte real.

Creo que no hay ningún error al operar, así que el fallo debe
estar en asignar directamente la función real arctan(x) al
argumento.

Saludos,

Luis escribió:
> Me asalta la siguiente duda :
>
> Si tengo un número complejo z = x + iy
> y quiero calcular las partes reales e imaginarias de
> arctan(z), deduzco primero que
>
> arctan(z) = (1/2i)ln( (1+iz)/(1-iz) )
>
> y después trato de poner ese número complejo
> en la forma a + bi.
>
> Teniendo en cuenta que z = x + iy , obtengo :
>
> Re( (1+iz)/(1-iz) ) = (1-x^2-y^2 ) / ( x^2 +(y+1)^2 )
>
> Im( (1+iz)/(1-iz) ) = 2x / ( x^2 +(y+1)^2 )
>
>
> Entonces, el módulo de (1+iz)/(1-iz) es
>
> sqrt( ( x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )
>
> Pero, para el argumento principal de (1+iz)/(1-iz),
>
> ¿ puedo escribir
>
> arg( (1+iz)/(1-iz) ) = arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) ?
>
>
> Lo pregunto porque entonces
>
> ln(1+iz)/(1-iz) ) = (1/2) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 ) +
>
> + i ( arctan( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi ) , k entero
>
> y tendría :
>
> Re( arctan(z) ) = (1/2) ( arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi )
>
> Im ( arctan(z) ) = (-1/4) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )
>
> Pero si compruebo el resultado con la función arctan(z) que tiene
> incorporada Maple ( con z = 1 + 3i, por ejemplo ) , me da
>
> arctan( 1+3i ) = 1.461461855+.3059438580*I
>
> Y si utilizo mis resultados, haciendo x = 1 e y = 3 :
>
> Re ( arctan(1+3i) ) = -.1093344730

que se diferencia en pi/2 de tu resultado, lo que debe darte una pista.

>
> Im ( arctan(1+3i) ) = .3059438578
>
> Es decir, coincido con el programa en la parte imaginaria,
> pero no en la parte real.
>
> Creo que no hay ningún error al operar, así que el fallo debe
> estar en asignar directamente la función real arctan(x) al
> argumento.

El problema es que has usado como ejemplo una arcotangente negativa
(-2/9) con lo cual puedes elegir o el segundo cuadrante (si consideras
que los argumentos van de 0 a pi) o el cuarto (si van de -pi/2 a pi/2).

Es un problema de multivaluación, que se resuleve eligiendo de antemano
dónde vas a considerar los argumentos de z, y colocando los cortes de
ramificación adecuados.

--

Antonio

Luis escribió:
> Me asalta la siguiente duda :
>
> Si tengo un número complejo z = x + iy
> y quiero calcular las partes reales e imaginarias de
> arctan(z), deduzco primero que
>
> arctan(z) = (1/2i)ln( (1+iz)/(1-iz) )
>
> y después trato de poner ese número complejo
> en la forma a + bi.
>
> Teniendo en cuenta que z = x + iy , obtengo :
>
> Re( (1+iz)/(1-iz) ) = (1-x^2-y^2 ) / ( x^2 +(y+1)^2 )
>
> Im( (1+iz)/(1-iz) ) = 2x / ( x^2 +(y+1)^2 )
>
>
> Entonces, el módulo de (1+iz)/(1-iz) es
>
> sqrt( ( x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )
>
> Pero, para el argumento principal de (1+iz)/(1-iz),
>
> ¿ puedo escribir
>
> arg( (1+iz)/(1-iz) ) = arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) ?
>
>
> Lo pregunto porque entonces
>
> ln(1+iz)/(1-iz) ) = (1/2) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 ) +
>
> + i ( arctan( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi ) , k entero
>
> y tendría :
>
> Re( arctan(z) ) = (1/2) ( arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi )
>
> Im ( arctan(z) ) = (-1/4) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )
>
> Pero si compruebo el resultado con la función arctan(z) que tiene
> incorporada Maple ( con z = 1 + 3i, por ejemplo ) , me da
>
> arctan( 1+3i ) = 1.461461855+.3059438580*I
>
> Y si utilizo mis resultados, haciendo x = 1 e y = 3 :
>
> Re ( arctan(1+3i) ) = -.1093344730

que se diferencia en pi/2 de tu resultado, lo que debe darte una pista.

>
> Im ( arctan(1+3i) ) = .3059438578
>
> Es decir, coincido con el programa en la parte imaginaria,
> pero no en la parte real.
>
> Creo que no hay ningún error al operar, así que el fallo debe
> estar en asignar directamente la función real arctan(x) al
> argumento.

El problema es que has usado como ejemplo una arcotangente negativa
(-2/9) con lo cual puedes elegir o el segundo cuadrante (si consideras
que los argumentos van de 0 a pi) o el cuarto (si van de -pi/2 a pi/2).

Es un problema de multivaluación, que se resuleve eligiendo de antemano
dónde vas a considerar los argumentos de z, y colocando los cortes de
ramificación adecuados.

--

Antonio

Y, entonces, ¿ cuáles son las expresiones para
Re(arctan(z) ) e Im(arctan(z) ) ?

¿ No hay una única expresión ?

Saludos,

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:620o2uF2163p4U1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> Me asalta la siguiente duda :
>>
>> Si tengo un número complejo z = x + iy
>> y quiero calcular las partes reales e imaginarias de
>> arctan(z), deduzco primero que
>>
>> arctan(z) = (1/2i)ln( (1+iz)/(1-iz) )
>>
>> y después trato de poner ese número complejo
>> en la forma a + bi.
>>
>> Teniendo en cuenta que z = x + iy , obtengo :
>>
>> Re( (1+iz)/(1-iz) ) = (1-x^2-y^2 ) / ( x^2 +(y+1)^2 )
>>
>> Im( (1+iz)/(1-iz) ) = 2x / ( x^2 +(y+1)^2 )
>>
>>
>> Entonces, el módulo de (1+iz)/(1-iz) es
>>
>> sqrt( ( x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )
>>
>> Pero, para el argumento principal de (1+iz)/(1-iz),
>>
>> ¿ puedo escribir
>>
>> arg( (1+iz)/(1-iz) ) = arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) ?
>>
>>
>> Lo pregunto porque entonces
>>
>> ln(1+iz)/(1-iz) ) = (1/2) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 ) +
>>
>> + i ( arctan( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi ) , k entero
>>
>> y tendría :
>>
>> Re( arctan(z) ) = (1/2) ( arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi )
>>
>> Im ( arctan(z) ) = (-1/4) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )
>>
>> Pero si compruebo el resultado con la función arctan(z) que tiene
>> incorporada Maple ( con z = 1 + 3i, por ejemplo ) , me da
>>
>> arctan( 1+3i ) = 1.461461855+.3059438580*I
>>
>> Y si utilizo mis resultados, haciendo x = 1 e y = 3 :
>>
>> Re ( arctan(1+3i) ) = -.1093344730
>
> que se diferencia en pi/2 de tu resultado, lo que debe darte una pista.
>
>>
>> Im ( arctan(1+3i) ) = .3059438578
>>
>> Es decir, coincido con el programa en la parte imaginaria,
>> pero no en la parte real.
>>
>> Creo que no hay ningún error al operar, así que el fallo debe
>> estar en asignar directamente la función real arctan(x) al
>> argumento.
>
> El problema es que has usado como ejemplo una arcotangente negativa (-2/9)
> con lo cual puedes elegir o el segundo cuadrante (si consideras que los
> argumentos van de 0 a pi) o el cuarto (si van de -pi/2 a pi/2).
>
> Es un problema de multivaluación, que se resuleve eligiendo de antemano
> dónde vas a considerar los argumentos de z, y colocando los cortes de
> ramificación adecuados.
>
> --
>
> Antonio
>

Y, entonces, ¿ cuáles son las expresiones para
Re(arctan(z) ) e Im(arctan(z) ) ?

¿ No hay una única expresión ?

Saludos,

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:620o2uF2163p4U1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> Me asalta la siguiente duda :
>>
>> Si tengo un número complejo z = x + iy
>> y quiero calcular las partes reales e imaginarias de
>> arctan(z), deduzco primero que
>>
>> arctan(z) = (1/2i)ln( (1+iz)/(1-iz) )
>>
>> y después trato de poner ese número complejo
>> en la forma a + bi.
>>
>> Teniendo en cuenta que z = x + iy , obtengo :
>>
>> Re( (1+iz)/(1-iz) ) = (1-x^2-y^2 ) / ( x^2 +(y+1)^2 )
>>
>> Im( (1+iz)/(1-iz) ) = 2x / ( x^2 +(y+1)^2 )
>>
>>
>> Entonces, el módulo de (1+iz)/(1-iz) es
>>
>> sqrt( ( x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )
>>
>> Pero, para el argumento principal de (1+iz)/(1-iz),
>>
>> ¿ puedo escribir
>>
>> arg( (1+iz)/(1-iz) ) = arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) ?
>>
>>
>> Lo pregunto porque entonces
>>
>> ln(1+iz)/(1-iz) ) = (1/2) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 ) +
>>
>> + i ( arctan( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi ) , k entero
>>
>> y tendría :
>>
>> Re( arctan(z) ) = (1/2) ( arctan ( 2x / (1-x^2-y^2 ) ) + 2kPi )
>>
>> Im ( arctan(z) ) = (-1/4) ln( (x^2 + (y-1)^2 )/( x^2 + (y+1)^2 )
>>
>> Pero si compruebo el resultado con la función arctan(z) que tiene
>> incorporada Maple ( con z = 1 + 3i, por ejemplo ) , me da
>>
>> arctan( 1+3i ) = 1.461461855+.3059438580*I
>>
>> Y si utilizo mis resultados, haciendo x = 1 e y = 3 :
>>
>> Re ( arctan(1+3i) ) = -.1093344730
>
> que se diferencia en pi/2 de tu resultado, lo que debe darte una pista.
>
>>
>> Im ( arctan(1+3i) ) = .3059438578
>>
>> Es decir, coincido con el programa en la parte imaginaria,
>> pero no en la parte real.
>>
>> Creo que no hay ningún error al operar, así que el fallo debe
>> estar en asignar directamente la función real arctan(x) al
>> argumento.
>
> El problema es que has usado como ejemplo una arcotangente negativa (-2/9)
> con lo cual puedes elegir o el segundo cuadrante (si consideras que los
> argumentos van de 0 a pi) o el cuarto (si van de -pi/2 a pi/2).
>
> Es un problema de multivaluación, que se resuleve eligiendo de antemano
> dónde vas a considerar los argumentos de z, y colocando los cortes de
> ramificación adecuados.
>
> --
>
> Antonio
>