Hallar las familias de soluciones enteras de

x^2 - 65 y^2 = 3136

--

Antonio

Antonio González wrote:
> Hallar las familias de soluciones enteras de
>
> x^2 - 65 y^2 = 3136

Las primeras soluciones son

x(k) = 56, 61, 69, 74, 126, 186, 264, 399, 511, 776, 1114, 1694, 3306, 3701,
4749, 7224, 10989, 14101, 15786, 30814, 46874, 67336, ...

y(k) = 0, 3, 5, 6, 14, 22, 32, 49, 63, 96, 138, 210, 410, 459, 589, 896,
1363, 1749, 1958, 3822, 5814, 8352, ...

A partir de la solución (56, 0) obtenemos la familia:

(56, 0), (7224, 896), (1863736, 231168), ....

Por lo que solo hay 15 familias de soluciones ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Hallar las familias de soluciones enteras de
>
> x^2 - 65 y^2 = 3136

Las primeras soluciones son

x(k) = 56, 61, 69, 74, 126, 186, 264, 399, 511, 776, 1114, 1694, 3306, 3701,
4749, 7224, 10989, 14101, 15786, 30814, 46874, 67336, ...

y(k) = 0, 3, 5, 6, 14, 22, 32, 49, 63, 96, 138, 210, 410, 459, 589, 896,
1363, 1749, 1958, 3822, 5814, 8352, ...

A partir de la solución (56, 0) obtenemos la familia:

(56, 0), (7224, 896), (1863736, 231168), ....

Por lo que solo hay 15 familias de soluciones ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro a écrit :
> Antonio Gonz�lez wrote:
> > Hallar las familias de soluciones enteras de
> >
> > x^2 - 65 y^2 = 3136
>
> Las primeras soluciones son
>
> x(k) = 56, 61, 69, 74, 126, 186, 264, 399, 511, 776, 1114, 1694, 3306, 3701,
> 4749, 7224, 10989, 14101, 15786, 30814, 46874, 67336, ...
>
> y(k) = 0, 3, 5, 6, 14, 22, 32, 49, 63, 96, 138, 210, 410, 459, 589, 896,
> 1363, 1749, 1958, 3822, 5814, 8352, ...
>
> A partir de la soluci�n (56, 0) obtenemos la familia:
>
> (56, 0), (7224, 896), (1863736, 231168), ....
>
> Por lo que solo hay 15 familias de soluciones ...
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Hay una prueba (en un libro?) de lo que afirmas (encontrando las
primeras soluciones
con ordenador)?

y sin ordenador como se hace?

A partir de la solucion (61,3) con (61+3rc(65))(129-16rc(65))
encontramos la solucion
(4749,-589) (tenemos 1/(129+16rc(65))= (129-16rc(65)) )

etc.. y con (399+49rc(65))(129-16rc(65)) encontramos la solucion
(511,-63).

Asi que basta con 8 familias de soluciones. Es siempre asi?

Saludos,
Georges

Ignacio Larrosa Cañestro a écrit :
> Antonio Gonz�lez wrote:
> > Hallar las familias de soluciones enteras de
> >
> > x^2 - 65 y^2 = 3136
>
> Las primeras soluciones son
>
> x(k) = 56, 61, 69, 74, 126, 186, 264, 399, 511, 776, 1114, 1694, 3306, 3701,
> 4749, 7224, 10989, 14101, 15786, 30814, 46874, 67336, ...
>
> y(k) = 0, 3, 5, 6, 14, 22, 32, 49, 63, 96, 138, 210, 410, 459, 589, 896,
> 1363, 1749, 1958, 3822, 5814, 8352, ...
>
> A partir de la soluci�n (56, 0) obtenemos la familia:
>
> (56, 0), (7224, 896), (1863736, 231168), ....
>
> Por lo que solo hay 15 familias de soluciones ...
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Hay una prueba (en un libro?) de lo que afirmas (encontrando las
primeras soluciones
con ordenador)?

y sin ordenador como se hace?

A partir de la solucion (61,3) con (61+3rc(65))(129-16rc(65))
encontramos la solucion
(4749,-589) (tenemos 1/(129+16rc(65))= (129-16rc(65)) )

etc.. y con (399+49rc(65))(129-16rc(65)) encontramos la solucion
(511,-63).

Asi que basta con 8 familias de soluciones. Es siempre asi?

Saludos,
Georges

On 29 feb, 16:07, georgesZ <zell...***numericable.fr> wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro a écrit :
>
>
>
>
>
> > Antonio Gonz�lez wrote:
> > > Hallar las familias de soluciones enteras de
>
> > > Â***x^2 - 65 y^2 = 3136
>
> > Las primeras soluciones son
>
> > x(k) = 56, 61, 69, 74, 126, 186, 264, 399, 511, 776, 1114, 1694, 3306,3701,
> > 4749, 7224, 10989, 14101, 15786, 30814, 46874, 67336, ...
>
> > y(k) = 0, 3, 5, 6, 14, 22, 32, 49, 63, 96, 138, 210, 410, 459, 589, 896,
> > 1363, 1749, 1958, 3822, 5814, 8352, ...
>
> > A partir de la soluci�n (56, 0) obtenemos la familia:
>
> > (56, 0), (7224, 896), (1863736, 231168), ....
>
> > Por lo que solo hay 15 familias de soluciones ...
>
> > --
> > Saludos,
>
> > Ignacio Larrosa Ca�estro
> > A Coru�a (Espa�a)
> > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Hay una prueba (en un libro?) de lo que afirmas (encontrando las
> primeras soluciones
> con ordenador)?
>
> y sin ordenador como se hace?
>
> A partir de la solucion Â***(61,3) Â***con (61+3rc(65))(129-16rc(65))
> encontramos la solucion
> (4749,-589) Â***(tenemos 1/(129+16rc(65))= (129-16rc(65)) )
>
> etc.. y con (399+49rc(65))(129-16rc(65)) Â***encontramos la solucion
> (511,-63).
>
> Â***Asi que basta con 8 familias de soluciones. Es siempre asi?
>
> Saludos,
> Georges- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Yo tengo un libro en formato .pdf llamado Pell's equation que supongo
debe de afinar mucho el tema.Es 1Mb,si alguno lo quiere que me lo pida
por e-mail.

Saludos.

On 29 feb, 16:07, georgesZ <zell...***numericable.fr> wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro a écrit :
>
>
>
>
>
> > Antonio Gonz�lez wrote:
> > > Hallar las familias de soluciones enteras de
>
> > > Â***x^2 - 65 y^2 = 3136
>
> > Las primeras soluciones son
>
> > x(k) = 56, 61, 69, 74, 126, 186, 264, 399, 511, 776, 1114, 1694, 3306,3701,
> > 4749, 7224, 10989, 14101, 15786, 30814, 46874, 67336, ...
>
> > y(k) = 0, 3, 5, 6, 14, 22, 32, 49, 63, 96, 138, 210, 410, 459, 589, 896,
> > 1363, 1749, 1958, 3822, 5814, 8352, ...
>
> > A partir de la soluci�n (56, 0) obtenemos la familia:
>
> > (56, 0), (7224, 896), (1863736, 231168), ....
>
> > Por lo que solo hay 15 familias de soluciones ...
>
> > --
> > Saludos,
>
> > Ignacio Larrosa Ca�estro
> > A Coru�a (Espa�a)
> > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Hay una prueba (en un libro?) de lo que afirmas (encontrando las
> primeras soluciones
> con ordenador)?
>
> y sin ordenador como se hace?
>
> A partir de la solucion Â***(61,3) Â***con (61+3rc(65))(129-16rc(65))
> encontramos la solucion
> (4749,-589) Â***(tenemos 1/(129+16rc(65))= (129-16rc(65)) )
>
> etc.. y con (399+49rc(65))(129-16rc(65)) Â***encontramos la solucion
> (511,-63).
>
> Â***Asi que basta con 8 familias de soluciones. Es siempre asi?
>
> Saludos,
> Georges- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Yo tengo un libro en formato .pdf llamado Pell's equation que supongo
debe de afinar mucho el tema.Es 1Mb,si alguno lo quiere que me lo pida
por e-mail.

Saludos.

Antonio González escribió:
> Hallar las familias de soluciones enteras de
>
> x^2 - 65 y^2 = 3136
>

Bueno, aunque ya veo que Ignacio ha encontrado todas las soluciones de
esta ecuación, en realidad se me coló un gazapo.

Yo querÃ***a proponer:

Hallar las familias de soluciones enteras de

x^2 - 65 y^2 = -3136



--

Antonio

Antonio González escribió:
> Hallar las familias de soluciones enteras de
>
> x^2 - 65 y^2 = 3136
>

Bueno, aunque ya veo que Ignacio ha encontrado todas las soluciones de
esta ecuación, en realidad se me coló un gazapo.

Yo querÃ***a proponer:

Hallar las familias de soluciones enteras de

x^2 - 65 y^2 = -3136



--

Antonio

georgesZ escribió:
>
> Ignacio Larrosa Cañestro a écrit :
>> Antonio Gonz�lez wrote:
>>> Hallar las familias de soluciones enteras de
>>>
>>> x^2 - 65 y^2 = 3136
>> Las primeras soluciones son
>>
>> x(k) = 56, 61, 69, 74, 126, 186, 264, 399, 511, 776, 1114, 1694, 3306, 3701,
>> 4749, 7224, 10989, 14101, 15786, 30814, 46874, 67336, ...
>>
>> y(k) = 0, 3, 5, 6, 14, 22, 32, 49, 63, 96, 138, 210, 410, 459, 589, 896,
>> 1363, 1749, 1958, 3822, 5814, 8352, ...
>>
>> A partir de la soluci�n (56, 0) obtenemos la familia:
>>
>> (56, 0), (7224, 896), (1863736, 231168), ....
>>
>> Por lo que solo hay 15 familias de soluciones ...
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca�estro
>> A Coru�a (Espa�a)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
> Hay una prueba (en un libro?) de lo que afirmas (encontrando las
> primeras soluciones
> con ordenador)?
>
> y sin ordenador como se hace?
>
> A partir de la solucion (61,3) con (61+3rc(65))(129-16rc(65))
> encontramos la solucion
> (4749,-589) (tenemos 1/(129+16rc(65))= (129-16rc(65)) )
>
> etc.. y con (399+49rc(65))(129-16rc(65)) encontramos la solucion
> (511,-63).
>
> Asi que basta con 8 familias de soluciones. Es siempre asi?
>

Puede haber un número impar de familias, si alguna coincide consigo
misma, como ocurre con los divisores de un número, que si es un cuadrado
perfecto salen impares.

Una posibilidad a la hora de encontrar familias, es observar que

65 = 9^2-4^2

lo que nos permite escribir la ecuación como

x^2 - (9y)^2 = 56^2-4^2y^2

(x-9y)(x+9y)=16(14-y)(14+y)

Si hacemos la equivalencia

x - 9y = 16(14-y)

x + 9y = 14+y

obtenemos (1694,-210) que lleva a (126,14)

Con

x - 9y = 4(14-y)

x + 9y = 4(14+y)

resulta (56,0). Poniendo 1 y 16 resulta (1694,210).

Por otro lado también se cumple que

65 = 33^2 - 32^2

por lo que equivale a

(x-33)(x+33)=64(7-4y)(7+4y)

lo que nos da (+-61,+-3), (+-74,+-6)


--

Antonio