Siguiendo con esto de la ecuación de Pell, me he puesto con su versión
cúbica

x^3 - 2y^3 = 1

antes de probar ningún método analítico, he querido hacer una
exploración numérica.

Para ello, he calculado la cantidad

f(n) = n^3 - 2 [n/2^(1/3)]^3

([x] parte entera de x) para n de 1 a 2000. El resultado ha sido el
siguiente:

http://i28.photobucket.com/albums/c2.../cubicpell.gif

Dejando aparte por el momento la solución a la ecuación (que no la hay
al menos hasta 2000) , me ha llamado más la atención la estructura
cuasiperiódica de esta funciones.

¿Cuál es el límite superior de las curvas? Parece una parábola pero ¿lo es?

¿Cuál es la ecuación de las líneas definidas por los puntos?

¿Para que valores de n se alcanza el máximo de cada curva?


--

Antonio

Antonio González wrote:
> Siguiendo con esto de la ecuación de Pell, me he puesto con su versión
> cúbica
>
> x^3 - 2y^3 = 1

Una ecuación dioféntica en de grado mayor o igual que 3 solo tiene, si
acaso, un número finito de soluciones enteras. Es un resultado de Guelfond,
entre otros, creo. Si no es que se descompone en ecuaciones de grado menor,
claro.

Esta, apaerte de (1, 0), no tiene otros para y en [-50000, 50000]. Dado que
hay una solución, consideraciones módulo algún k no son útiles para eliminar
la posibilidad de otras soluciones. Pero si pueden constreñis la búsqueda.
Considerando la ecuación módulo 8, se ve que x debe ser impar e y par, y se
puede seguir algo más por ahi.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com










> antes de probar ningún método analítico, he querido hacer una
> exploración numérica.
>
> Para ello, he calculado la cantidad
>
> f(n) = n^3 - 2 [n/2^(1/3)]^3
>
> ([x] parte entera de x) para n de 1 a 2000. El resultado ha sido el
> siguiente:
>
> http://i28.photobucket.com/albums/c2.../cubicpell.gif
>
> Dejando aparte por el momento la solución a la ecuación (que no la hay
> al menos hasta 2000) , me ha llamado más la atención la estructura
> cuasiperiódica de esta funciones.
>
> ¿Cuál es el límite superior de las curvas? Parece una parábola pero
> ¿lo es?
> ¿Cuál es la ecuación de las líneas definidas por los puntos?
>
> ¿Para que valores de n se alcanza el máximo de cada curva?

Antonio González wrote:
> Siguiendo con esto de la ecuación de Pell, me he puesto con su versión
> cúbica
>
> x^3 - 2y^3 = 1

Una ecuación dioféntica en de grado mayor o igual que 3 solo tiene, si
acaso, un número finito de soluciones enteras. Es un resultado de Guelfond,
entre otros, creo. Si no es que se descompone en ecuaciones de grado menor,
claro.

Esta, apaerte de (1, 0), no tiene otros para y en [-50000, 50000]. Dado que
hay una solución, consideraciones módulo algún k no son útiles para eliminar
la posibilidad de otras soluciones. Pero si pueden constreñis la búsqueda.
Considerando la ecuación módulo 8, se ve que x debe ser impar e y par, y se
puede seguir algo más por ahi.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com










> antes de probar ningún método analítico, he querido hacer una
> exploración numérica.
>
> Para ello, he calculado la cantidad
>
> f(n) = n^3 - 2 [n/2^(1/3)]^3
>
> ([x] parte entera de x) para n de 1 a 2000. El resultado ha sido el
> siguiente:
>
> http://i28.photobucket.com/albums/c2.../cubicpell.gif
>
> Dejando aparte por el momento la solución a la ecuación (que no la hay
> al menos hasta 2000) , me ha llamado más la atención la estructura
> cuasiperiódica de esta funciones.
>
> ¿Cuál es el límite superior de las curvas? Parece una parábola pero
> ¿lo es?
> ¿Cuál es la ecuación de las líneas definidas por los puntos?
>
> ¿Para que valores de n se alcanza el máximo de cada curva?

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Antonio González wrote:
>> Siguiendo con esto de la ecuación de Pell, me he puesto con su
>> versión cúbica
>>
>> x^3 - 2y^3 = 1
>
> Una ecuación dioféntica en de grado mayor o igual que 3 solo tiene, si
> acaso, un número finito de soluciones enteras. Es un resultado de
> Guelfond, entre otros, creo. Si no es que se descompone en ecuaciones
> de grado menor, claro.
>
> Esta, apaerte de (1, 0), no tiene otros para y en [-50000, 50000].

Bueno, esa y la (-1, -1).


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

> Dado que hay una solución, consideraciones módulo algún k no son
> útiles para eliminar la posibilidad de otras soluciones. Pero si
> pueden constreñis la búsqueda. Considerando la ecuación módulo 8, se
> ve que x debe ser impar e y par, y se puede seguir algo más por ahi.
>
>
>
>> antes de probar ningún método analítico, he querido hacer una
>> exploración numérica.
>>
>> Para ello, he calculado la cantidad
>>
>> f(n) = n^3 - 2 [n/2^(1/3)]^3
>>
>> ([x] parte entera de x) para n de 1 a 2000. El resultado ha sido el
>> siguiente:
>>
>> http://i28.photobucket.com/albums/c2.../cubicpell.gif
>>
>> Dejando aparte por el momento la solución a la ecuación (que no la
>> hay al menos hasta 2000) , me ha llamado más la atención la
>> estructura cuasiperiódica de esta funciones.
>>
>> ¿Cuál es el límite superior de las curvas? Parece una parábola pero
>> ¿lo es?
>> ¿Cuál es la ecuación de las líneas definidas por los puntos?
>>
>> ¿Para que valores de n se alcanza el máximo de cada curva?

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Antonio González wrote:
>> Siguiendo con esto de la ecuación de Pell, me he puesto con su
>> versión cúbica
>>
>> x^3 - 2y^3 = 1
>
> Una ecuación dioféntica en de grado mayor o igual que 3 solo tiene, si
> acaso, un número finito de soluciones enteras. Es un resultado de
> Guelfond, entre otros, creo. Si no es que se descompone en ecuaciones
> de grado menor, claro.
>
> Esta, apaerte de (1, 0), no tiene otros para y en [-50000, 50000].

Bueno, esa y la (-1, -1).


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

> Dado que hay una solución, consideraciones módulo algún k no son
> útiles para eliminar la posibilidad de otras soluciones. Pero si
> pueden constreñis la búsqueda. Considerando la ecuación módulo 8, se
> ve que x debe ser impar e y par, y se puede seguir algo más por ahi.
>
>
>
>> antes de probar ningún método analítico, he querido hacer una
>> exploración numérica.
>>
>> Para ello, he calculado la cantidad
>>
>> f(n) = n^3 - 2 [n/2^(1/3)]^3
>>
>> ([x] parte entera de x) para n de 1 a 2000. El resultado ha sido el
>> siguiente:
>>
>> http://i28.photobucket.com/albums/c2.../cubicpell.gif
>>
>> Dejando aparte por el momento la solución a la ecuación (que no la
>> hay al menos hasta 2000) , me ha llamado más la atención la
>> estructura cuasiperiódica de esta funciones.
>>
>> ¿Cuál es el límite superior de las curvas? Parece una parábola pero
>> ¿lo es?
>> ¿Cuál es la ecuación de las líneas definidas por los puntos?
>>
>> ¿Para que valores de n se alcanza el máximo de cada curva?

Antonio González wrote:
> Siguiendo con esto de la ecuación de Pell, me he puesto con su versión
> cúbica
>
> x^3 - 2y^3 = 1
>
> antes de probar ningún método analítico, he querido hacer una
> exploración numérica.
>
> Para ello, he calculado la cantidad
>
> f(n) = n^3 - 2 [n/2^(1/3)]^3
>
> ([x] parte entera de x) para n de 1 a 2000. El resultado ha sido el
> siguiente:
>
> http://i28.photobucket.com/albums/c2.../cubicpell.gif

Esa imagen es un 'artefacto', producido por la combinación de la escala y la
discretización de la gráfica.

Contra lo que sugiere esa imagen, f es una función univaluada y creciente en
los intervalos en que es continua, [krc(2), (k+1)rc(2)).

> Dejando aparte por el momento la solución a la ecuación (que no la hay
> al menos hasta 2000) , me ha llamado más la atención la estructura
> cuasiperiódica de esta funciones.
>
> ¿Cuál es el límite superior de las curvas? Parece una parábola pero
> ¿lo es?

Si, se trata de

g(x) = x^3 - 2(x/rc(2) - 1)^3 = 3rc(2)x^2 - 3rc(4)x + 2


> ¿Cuál es la ecuación de las líneas definidas por los puntos?

No se exactamente a que te refieres

> ¿Para que valores de n se alcanza el máximo de cada curva?

Sería para n = k*rc(2), pero no se alcanza, el limite por la izquierda sería
el supremo en cada intervalo de continuidad, y valdría 6k^2 - 6k + 2.

Por si no queda claro, utilizo rc(x) para indicar la raíz cúbica de x.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Siguiendo con esto de la ecuación de Pell, me he puesto con su versión
> cúbica
>
> x^3 - 2y^3 = 1
>
> antes de probar ningún método analítico, he querido hacer una
> exploración numérica.
>
> Para ello, he calculado la cantidad
>
> f(n) = n^3 - 2 [n/2^(1/3)]^3
>
> ([x] parte entera de x) para n de 1 a 2000. El resultado ha sido el
> siguiente:
>
> http://i28.photobucket.com/albums/c2.../cubicpell.gif

Esa imagen es un 'artefacto', producido por la combinación de la escala y la
discretización de la gráfica.

Contra lo que sugiere esa imagen, f es una función univaluada y creciente en
los intervalos en que es continua, [krc(2), (k+1)rc(2)).

> Dejando aparte por el momento la solución a la ecuación (que no la hay
> al menos hasta 2000) , me ha llamado más la atención la estructura
> cuasiperiódica de esta funciones.
>
> ¿Cuál es el límite superior de las curvas? Parece una parábola pero
> ¿lo es?

Si, se trata de

g(x) = x^3 - 2(x/rc(2) - 1)^3 = 3rc(2)x^2 - 3rc(4)x + 2


> ¿Cuál es la ecuación de las líneas definidas por los puntos?

No se exactamente a que te refieres

> ¿Para que valores de n se alcanza el máximo de cada curva?

Sería para n = k*rc(2), pero no se alcanza, el limite por la izquierda sería
el supremo en cada intervalo de continuidad, y valdría 6k^2 - 6k + 2.

Por si no queda claro, utilizo rc(x) para indicar la raíz cúbica de x.


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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