Resolver en C , cos(z) = 3

Saludos,

Luis wrote:
> Resolver en C , cos(z) = 3
>

cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2 = 3 ===>

Haciento w = e^(iz)

w^2 -6w + 1 = 0 ==>

w = (6 +/- rq(32))/2 = 3 +/- 2rq(2)

ln(w) = (z + 2kpi)i, k entero

iz = ln(w) + 2kpi

z = -i(ln(w) + 2kpi )

Es decir,

z = -i(ln(3 +/- 2rq(2)) + 2kpi)

Todas imaginarias puras, ya que 3 > 2rq(2).


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
> Resolver en C , cos(z) = 3
>

cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2 = 3 ===>

Haciento w = e^(iz)

w^2 -6w + 1 = 0 ==>

w = (6 +/- rq(32))/2 = 3 +/- 2rq(2)

ln(w) = (z + 2kpi)i, k entero

iz = ln(w) + 2kpi

z = -i(ln(w) + 2kpi )

Es decir,

z = -i(ln(3 +/- 2rq(2)) + 2kpi)

Todas imaginarias puras, ya que 3 > 2rq(2).


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis escribió:
> Resolver en C , cos(z) = 3
>

z = arccos(3)

¿Ves qué fácil?

Ahora, si lo que quieres son las partes real e imaginaria de z

cos(x + i y) = cos(x) cosh(y) + i sen(x)senh(y)

Por tanto

cos(x)cosh(y) = 3

sen(x)senh(y) = 0

como 3 > 1, no puede ser y = 0 (que daría cos(x)=3). Por tanto

sen(x) = 0 x = 2n pi

cosh(y) = 3 --> y = arccosh(3)

(no puede ser x = pi + 2npi porque entonces daría cosh(y) = -3).



--

Antonio

Luis escribió:
> Resolver en C , cos(z) = 3
>

z = arccos(3)

¿Ves qué fácil?

Ahora, si lo que quieres son las partes real e imaginaria de z

cos(x + i y) = cos(x) cosh(y) + i sen(x)senh(y)

Por tanto

cos(x)cosh(y) = 3

sen(x)senh(y) = 0

como 3 > 1, no puede ser y = 0 (que daría cos(x)=3). Por tanto

sen(x) = 0 x = 2n pi

cosh(y) = 3 --> y = arccosh(3)

(no puede ser x = pi + 2npi porque entonces daría cosh(y) = -3).



--

Antonio

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:63ngbuF28pd9tU1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> Resolver en C , cos(z) = 3
>>
>
> cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2 = 3 ===>
>
> Haciento w = e^(iz)
>
> w^2 -6w + 1 = 0 ==>
>
> w = (6 +/- rq(32))/2 = 3 +/- 2rq(2)
>
> ln(w) = (z + 2kpi)i, k entero
>
> iz = ln(w) + 2kpi

Debería ser iz = ln(w) + 2kpi*( i )

> z = -i(ln(w) + 2kpi )

Y entonces, z = (-i ) ln(w) + 2kpi

> Es decir,
>
> z = -i(ln(3 +/- 2rq(2)) + 2kpi)

Y entonces, z = (-i ) ln( 3 +/- 2rq(2) ) + 2kpi


> Todas imaginarias puras, ya que 3 > 2rq(2).
>
>

Ya no son todas imaginarias puras.

Y yo añadiría también z = 2kpi + ( i ) ln( 3 +/- 2rq(2) ), que
resulta de :

cos(z) = cos(x+iy) = cos(x)ch(y) - i sen(x)sh(y) = 3

Luego, cos(x)ch(y) = 3 y sen(x)sh(y) = 0

Si sh(y) = 0, es ch(y) = +/- 1 y entonces sería cos(x) = +/-3
que es imposible ( pues "x" es real )

Así que debe ser sen(x) = 0. Pero entonces, cos(x) = +/-1 y
si cos(x) = -1 resulta ch(y) = -3 que es imposible.

Luego debe ser sen(x) = 0 y cos(x) = 1, por lo que

x = 2kpi , k entero.

Y de ch(y) = 3, resulta e^y = ln(3+/- 2rq(2) )

Por tanto, también z = 2kpi + ( i ) ln ( 3 +/- 2rq(2) )


En definitiva, parece que todas las soluciones sean :

z = 2kpi +/- ( i ) ln ( 3 +/- 2rq(2) ) , k entero

Saludos,





> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:63ngbuF28pd9tU1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> Resolver en C , cos(z) = 3
>>
>
> cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2 = 3 ===>
>
> Haciento w = e^(iz)
>
> w^2 -6w + 1 = 0 ==>
>
> w = (6 +/- rq(32))/2 = 3 +/- 2rq(2)
>
> ln(w) = (z + 2kpi)i, k entero
>
> iz = ln(w) + 2kpi

Debería ser iz = ln(w) + 2kpi*( i )

> z = -i(ln(w) + 2kpi )

Y entonces, z = (-i ) ln(w) + 2kpi

> Es decir,
>
> z = -i(ln(3 +/- 2rq(2)) + 2kpi)

Y entonces, z = (-i ) ln( 3 +/- 2rq(2) ) + 2kpi


> Todas imaginarias puras, ya que 3 > 2rq(2).
>
>

Ya no son todas imaginarias puras.

Y yo añadiría también z = 2kpi + ( i ) ln( 3 +/- 2rq(2) ), que
resulta de :

cos(z) = cos(x+iy) = cos(x)ch(y) - i sen(x)sh(y) = 3

Luego, cos(x)ch(y) = 3 y sen(x)sh(y) = 0

Si sh(y) = 0, es ch(y) = +/- 1 y entonces sería cos(x) = +/-3
que es imposible ( pues "x" es real )

Así que debe ser sen(x) = 0. Pero entonces, cos(x) = +/-1 y
si cos(x) = -1 resulta ch(y) = -3 que es imposible.

Luego debe ser sen(x) = 0 y cos(x) = 1, por lo que

x = 2kpi , k entero.

Y de ch(y) = 3, resulta e^y = ln(3+/- 2rq(2) )

Por tanto, también z = 2kpi + ( i ) ln ( 3 +/- 2rq(2) )


En definitiva, parece que todas las soluciones sean :

z = 2kpi +/- ( i ) ln ( 3 +/- 2rq(2) ) , k entero

Saludos,





> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>

Luis wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
> escribió en el mensaje news:63ngbuF28pd9tU1***mid.individual.net...
>> Luis wrote:
>>> Resolver en C , cos(z) = 3
>>>
>>
>> cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2 = 3 ===>
>>
>> Haciento w = e^(iz)
>>
>> w^2 -6w + 1 = 0 ==>
>>
>> w = (6 +/- rq(32))/2 = 3 +/- 2rq(2)
>>
>> ln(w) = (z + 2kpi)i, k entero
>>
>> iz = ln(w) + 2kpi
>
> Debería ser iz = ln(w) + 2kpi*( i )

Si, ah-i me líe con la i ...

w = e^(iz) ===> ln(w) =iz + 2kpi*i

i*ln(w) = -z - 2kpi

z = -i*ln(w) - 2kpi

equivalente, pues k es un entero cualquiera, a

z = -i*ln(w) + 2kpi

Que sustituyendo w, queda

z = 2kpi - i*ln(3 +/- 2rq(2))

que solo es imaginario puro para k = 0 y, como no podía ser de otra forma,
nunca es real.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
> escribió en el mensaje news:63ngbuF28pd9tU1***mid.individual.net...
>> Luis wrote:
>>> Resolver en C , cos(z) = 3
>>>
>>
>> cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2 = 3 ===>
>>
>> Haciento w = e^(iz)
>>
>> w^2 -6w + 1 = 0 ==>
>>
>> w = (6 +/- rq(32))/2 = 3 +/- 2rq(2)
>>
>> ln(w) = (z + 2kpi)i, k entero
>>
>> iz = ln(w) + 2kpi
>
> Debería ser iz = ln(w) + 2kpi*( i )

Si, ah-i me líe con la i ...

w = e^(iz) ===> ln(w) =iz + 2kpi*i

i*ln(w) = -z - 2kpi

z = -i*ln(w) - 2kpi

equivalente, pues k es un entero cualquiera, a

z = -i*ln(w) + 2kpi

Que sustituyendo w, queda

z = 2kpi - i*ln(3 +/- 2rq(2))

que solo es imaginario puro para k = 0 y, como no podía ser de otra forma,
nunca es real.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:63nrgdF220hhqU1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
>> escribió en el mensaje news:63ngbuF28pd9tU1***mid.individual.net...
>>> Luis wrote:
>>>> Resolver en C , cos(z) = 3
>>>>
>>>
>>> cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2 = 3 ===>
>>>
>>> Haciento w = e^(iz)
>>>
>>> w^2 -6w + 1 = 0 ==>
>>>
>>> w = (6 +/- rq(32))/2 = 3 +/- 2rq(2)
>>>
>>> ln(w) = (z + 2kpi)i, k entero
>>>
>>> iz = ln(w) + 2kpi
>>
>> Debería ser iz = ln(w) + 2kpi*( i )
>
> Si, ah-i me líe con la i ...
>
> w = e^(iz) ===> ln(w) =iz + 2kpi*i
>
> i*ln(w) = -z - 2kpi
>
> z = -i*ln(w) - 2kpi
>
> equivalente, pues k es un entero cualquiera, a
>
> z = -i*ln(w) + 2kpi
>
> Que sustituyendo w, queda
>
> z = 2kpi - i*ln(3 +/- 2rq(2))
>
> que solo es imaginario puro para k = 0 y, como no podía ser de otra forma,
> nunca es real.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>

Y z = 2kpi + i*ln(3 +/- 2rq(2)) también vale, pues cos(z) = cos(z*)