Calcular :

Sum ( 1/(2n) - 1/(2n+1) , n = 3..oo )

Saludos,

Luis wrote:
> Calcular :
>
> Sum ( 1/(2n) - 1/(2n+1) , n = 3..oo )
>
¿Por qué desde n = 3? Sea S tu suma. Entonces,

ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - S ==>

S = 47/60 - Ln(2) ~= 0.09018615277

Calcular

S(p, q) = 1 + 1/3 + ... + 1/(2p-1) -1/2 - 1/4 - ... - 1/(2q)

+ 1/(2p+1) + ... + 1/(4p - 1) - 1/(2q+2) - ... - 1/(4q)

+ 1/(4p+1) + ... + 1/(6p - 1) - 1/(4q+2) - ... - 1/(6q)

+ ....

Se trata de una reordenación de la serie armónica alternada, en la que se
van alternativamente sumando p términos impares y restando q términos pares,
p y q >= 1. S(1, 1) = ln(2), claro, aunque esto también se demuestra
fácilmente a partir de

Sum(1/k, k, 1, n) = Ln(n) + gamma + eps(n)

donde ( = 0.5772156649..., la constante de Euler.Mascheroni que se desconoce
si es irracional, aunque se supone que es trascendente, y

Lim(eps(n), n, inf) = 0


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
> Calcular :
>
> Sum ( 1/(2n) - 1/(2n+1) , n = 3..oo )
>
¿Por qué desde n = 3? Sea S tu suma. Entonces,

ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - S ==>

S = 47/60 - Ln(2) ~= 0.09018615277

Calcular

S(p, q) = 1 + 1/3 + ... + 1/(2p-1) -1/2 - 1/4 - ... - 1/(2q)

+ 1/(2p+1) + ... + 1/(4p - 1) - 1/(2q+2) - ... - 1/(4q)

+ 1/(4p+1) + ... + 1/(6p - 1) - 1/(4q+2) - ... - 1/(6q)

+ ....

Se trata de una reordenación de la serie armónica alternada, en la que se
van alternativamente sumando p términos impares y restando q términos pares,
p y q >= 1. S(1, 1) = ln(2), claro, aunque esto también se demuestra
fácilmente a partir de

Sum(1/k, k, 1, n) = Ln(n) + gamma + eps(n)

donde ( = 0.5772156649..., la constante de Euler.Mascheroni que se desconoce
si es irracional, aunque se supone que es trascendente, y

Lim(eps(n), n, inf) = 0


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:64mtn0F2c4u2vU1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> Calcular :
>>
>> Sum ( 1/(2n) - 1/(2n+1) , n = 3..oo )
>>
> ¿Por qué desde n = 3?

Porque es la serie que tuve que calcular para determinar
la probabilidad que asigna una determinada función de
distribución a la unión de intervalos de la forma ( 2n, 2n+1 ).

Pero vamos, que debí escribir desde n = 1 para plantear la
serie aquí.

Sea S tu suma.
Entonces,

> ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - S ==>
>
> S = 47/60 - Ln(2) ~= 0.09018615277
>
> Calcular
>
> S(p, q) = 1 + 1/3 + ... + 1/(2p-1) -1/2 - 1/4 - ... - 1/(2q)
>
> + 1/(2p+1) + ... + 1/(4p - 1) - 1/(2q+2) - ... - 1/(4q)
>
> + 1/(4p+1) + ... + 1/(6p - 1) - 1/(4q+2) - ... - 1/(6q)
>
> + ....
>
> Se trata de una reordenación de la serie armónica alternada, en la que se
> van alternativamente sumando p términos impares y restando q términos
> pares, p y q >= 1. S(1, 1) = ln(2), claro, aunque esto también se
> demuestra fácilmente a partir de
>
> Sum(1/k, k, 1, n) = Ln(n) + gamma + eps(n)
>
> donde ( = 0.5772156649..., la constante de Euler.Mascheroni que se
> desconoce si es irracional, aunque se supone que es trascendente, y
>
> Lim(eps(n), n, inf) = 0
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>
>
>

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:64mtn0F2c4u2vU1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> Calcular :
>>
>> Sum ( 1/(2n) - 1/(2n+1) , n = 3..oo )
>>
> ¿Por qué desde n = 3?

Porque es la serie que tuve que calcular para determinar
la probabilidad que asigna una determinada función de
distribución a la unión de intervalos de la forma ( 2n, 2n+1 ).

Pero vamos, que debí escribir desde n = 1 para plantear la
serie aquí.

Sea S tu suma.
Entonces,

> ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - S ==>
>
> S = 47/60 - Ln(2) ~= 0.09018615277
>
> Calcular
>
> S(p, q) = 1 + 1/3 + ... + 1/(2p-1) -1/2 - 1/4 - ... - 1/(2q)
>
> + 1/(2p+1) + ... + 1/(4p - 1) - 1/(2q+2) - ... - 1/(4q)
>
> + 1/(4p+1) + ... + 1/(6p - 1) - 1/(4q+2) - ... - 1/(6q)
>
> + ....
>
> Se trata de una reordenación de la serie armónica alternada, en la que se
> van alternativamente sumando p términos impares y restando q términos
> pares, p y q >= 1. S(1, 1) = ln(2), claro, aunque esto también se
> demuestra fácilmente a partir de
>
> Sum(1/k, k, 1, n) = Ln(n) + gamma + eps(n)
>
> donde ( = 0.5772156649..., la constante de Euler.Mascheroni que se
> desconoce si es irracional, aunque se supone que es trascendente, y
>
> Lim(eps(n), n, inf) = 0
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>
>
>

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:fs4hsi$jig$1***registered.motzarella.org...
> Calcular :
>
> Sum ( 1/(2n) - 1/(2n+1) , n = 3..oo )
>
> Saludos,
>
>
Consideramos la función

f[z] = Sum[z^(2n+1)( 1/(2n) - 1/(2n+1)), n=1..oo ]
= Sum[z^(2n+1)/((2n)(2n+1)), n=1..oo ]
= z^3/6 + z^5/20 + ...

Diferenciando dos veces tenemos una serie geométrica

f''[z] = Sum[ z^(2n-1), n=1..oo ] = z^2 Sum[z^2n, n=0..oo] = z /(1-z^2)

Ahora, integrando dos veces desde 0 a s, tenemos

f[s] = s - 1/2 Log[(1 + s)/(1 - s)] - s/2 Log[1 - s^2]

y el límite s->1 es

Lim f[s] = 1 - 1/2 Log[2] + 1/2 Log[1-s]-1/2 Log[2]-s/2 Log[1-s] = 1 -
Log[2]

Pero

Suma (buscada) = Lim f[z->1] - Suma (n=1) - Suma (n=2)

Por tanto

Suma (buscada) = 1-Log[2] - 1/6 - 1/20 = 47/60 - Log[2] = 0,0901862...

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:fs4hsi$jig$1***registered.motzarella.org...
> Calcular :
>
> Sum ( 1/(2n) - 1/(2n+1) , n = 3..oo )
>
> Saludos,
>
>
Consideramos la función

f[z] = Sum[z^(2n+1)( 1/(2n) - 1/(2n+1)), n=1..oo ]
= Sum[z^(2n+1)/((2n)(2n+1)), n=1..oo ]
= z^3/6 + z^5/20 + ...

Diferenciando dos veces tenemos una serie geométrica

f''[z] = Sum[ z^(2n-1), n=1..oo ] = z^2 Sum[z^2n, n=0..oo] = z /(1-z^2)

Ahora, integrando dos veces desde 0 a s, tenemos

f[s] = s - 1/2 Log[(1 + s)/(1 - s)] - s/2 Log[1 - s^2]

y el límite s->1 es

Lim f[s] = 1 - 1/2 Log[2] + 1/2 Log[1-s]-1/2 Log[2]-s/2 Log[1-s] = 1 -
Log[2]

Pero

Suma (buscada) = Lim f[z->1] - Suma (n=1) - Suma (n=2)

Por tanto

Suma (buscada) = 1-Log[2] - 1/6 - 1/20 = 47/60 - Log[2] = 0,0901862...

Luis escribió:
> Calcular :
>
> Sum ( 1/(2n) - 1/(2n+1) , n = 3..oo )
>
> Saludos,
>
>
>
Como ln(2)= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - Sum

resulta Sum = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ln(2)

= 0.090186153

Saludos

Pedro

Luis escribió:
> Calcular :
>
> Sum ( 1/(2n) - 1/(2n+1) , n = 3..oo )
>
> Saludos,
>
>
>
Como ln(2)= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - Sum

resulta Sum = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ln(2)

= 0.090186153

Saludos

Pedro