Sean las funciones

a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...

b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...

c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...

1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1

2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y), como
funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).

--

Antonio

Antonio González wrote:
> Sean las funciones
>
> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>
> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>
> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>
> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>
> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>
> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).

Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos transcritos
....":^(. Así que ahora resumo:

Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces cúnicas de la
unidad, se tiene que

a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3

b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3

c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3

Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes son w y
w', para obtener la "igualdad fundamental" de la trigonometría de Antonio.

Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos que

e(x) = a(x) + b(x) + c(x)

e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)

e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)

Entonces,

a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3

= (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3

= (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3

Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),

a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)

Igualmente

b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)

c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)

De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables. Parece que
el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x). Salvo error posible e
incluso probable ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Sean las funciones
>
> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>
> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>
> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>
> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>
> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>
> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).

Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos transcritos
....":^(. Así que ahora resumo:

Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces cúnicas de la
unidad, se tiene que

a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3

b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3

c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3

Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes son w y
w', para obtener la "igualdad fundamental" de la trigonometría de Antonio.

Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos que

e(x) = a(x) + b(x) + c(x)

e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)

e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)

Entonces,

a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3

= (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3

= (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3

Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),

a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)

Igualmente

b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)

c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)

De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables. Parece que
el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x). Salvo error posible e
incluso probable ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Sean las funciones
>>
>> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>>
>> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>>
>> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>>
>> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>>
>> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>>
>> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
>> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).
>
> Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos transcritos
> ...":^(. Así que ahora resumo:
>
> Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces cúnicas de la
> unidad, se tiene que
>
> a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3
>
> b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3
>
> c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3
>
> Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes son w y
> w', para obtener la "igualdad fundamental" de la trigonometría de Antonio.
>
> Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos que
>
> e(x) = a(x) + b(x) + c(x)
>
> e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)
>
> e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)
>
> Entonces,
>
> a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),
>
> a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)
>
> Igualmente
>
> b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)
>
> c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)
>
> De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables. Parece que
> el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x).

Efectivamente. a(x) es la que vale 1 para x=0.

Por ello, si uno hace y = 0 en las expresiones anteriores

b(x) = a(x)b(0) + a(0)b(x) + c(x)c(0) = b(x)

Es lo mismo que cuando uno escribe sen(x+y) y cos(x+y), el seno y el
coseno no son intercambiables.





Salvo error posible e
> incluso probable ...
>
>


--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Sean las funciones
>>
>> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>>
>> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>>
>> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>>
>> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>>
>> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>>
>> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
>> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).
>
> Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos transcritos
> ...":^(. Así que ahora resumo:
>
> Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces cúnicas de la
> unidad, se tiene que
>
> a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3
>
> b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3
>
> c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3
>
> Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes son w y
> w', para obtener la "igualdad fundamental" de la trigonometría de Antonio.
>
> Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos que
>
> e(x) = a(x) + b(x) + c(x)
>
> e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)
>
> e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)
>
> Entonces,
>
> a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),
>
> a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)
>
> Igualmente
>
> b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)
>
> c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)
>
> De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables. Parece que
> el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x).

Efectivamente. a(x) es la que vale 1 para x=0.

Por ello, si uno hace y = 0 en las expresiones anteriores

b(x) = a(x)b(0) + a(0)b(x) + c(x)c(0) = b(x)

Es lo mismo que cuando uno escribe sen(x+y) y cos(x+y), el seno y el
coseno no son intercambiables.





Salvo error posible e
> incluso probable ...
>
>


--

Antonio

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:659f7bF2cr86jU1***mid.individual.net...
> Antonio González wrote:
>> Sean las funciones
>>
>> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>>
>> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>>
>> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>>
>> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>>
>> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>>
>> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
>> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).
>
> Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos transcritos
> ...":^(. Así que ahora resumo:
>
> Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces cúnicas de
> la unidad, se tiene que
>
> a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3
>
> b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3
>
> c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3
>
> Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes son w y
> w', para obtener la "igualdad fundamental" de la trigonometría de Antonio.
>
> Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos que
>
> e(x) = a(x) + b(x) + c(x)
>
> e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)
>
> e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)
>
> Entonces,
>
> a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),
>
> a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)
>
> Igualmente
>
> b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)
>
> c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)
>
> De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables. Parece
> que el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x). Salvo error
> posible e incluso probable ...
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>
Ignacio, ¿ cómo se te ha ocurrido relacionar las exponenciales
de las raíces cúbicas de la unidad con las funciones a(x), b(x) y c(x) ?
Me gustaría ver dicha conexión de una forma natural.....

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:659f7bF2cr86jU1***mid.individual.net...
> Antonio González wrote:
>> Sean las funciones
>>
>> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>>
>> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>>
>> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>>
>> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>>
>> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>>
>> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
>> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).
>
> Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos transcritos
> ...":^(. Así que ahora resumo:
>
> Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces cúnicas de
> la unidad, se tiene que
>
> a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3
>
> b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3
>
> c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3
>
> Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes son w y
> w', para obtener la "igualdad fundamental" de la trigonometría de Antonio.
>
> Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos que
>
> e(x) = a(x) + b(x) + c(x)
>
> e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)
>
> e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)
>
> Entonces,
>
> a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),
>
> a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)
>
> Igualmente
>
> b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)
>
> c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)
>
> De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables. Parece
> que el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x). Salvo error
> posible e incluso probable ...
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>
Ignacio, ¿ cómo se te ha ocurrido relacionar las exponenciales
de las raíces cúbicas de la unidad con las funciones a(x), b(x) y c(x) ?
Me gustaría ver dicha conexión de una forma natural.....

Luis wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
> escribió en el mensaje news:659f7bF2cr86jU1***mid.individual.net...
>> Antonio González wrote:
>>> Sean las funciones
>>>
>>> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>>>
>>> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>>>
>>> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>>>
>>> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>>>
>>> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>>>
>>> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
>>> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).
>>
>> Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos
>> transcritos ...":^(. Así que ahora resumo:
>>
>> Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces
>> cúnicas de la unidad, se tiene que
>>
>> a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3
>>
>> b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3
>>
>> c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3
>>
>> Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes
>> son w y w', para obtener la "igualdad fundamental" de la
>> trigonometría de Antonio. Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos
>> que
>>
>> e(x) = a(x) + b(x) + c(x)
>>
>> e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)
>>
>> e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)
>>
>> Entonces,
>>
>> a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3
>>
>> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>>
>> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>>
>> Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),
>>
>> a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)
>>
>> Igualmente
>>
>> b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)
>>
>> c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)
>>
>> De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables.
>> Parece que el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x).
>> Salvo error posible e incluso probable ...
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>
>>
> Ignacio, ¿ cómo se te ha ocurrido relacionar las exponenciales
> de las raíces cúbicas de la unidad con las funciones a(x), b(x) y
> c(x) ? Me gustaría ver dicha conexión de una forma natural.....

--
Es la forma natural de separar los términos seguyn el resto módulo 3, en
este caso, de los exponentes. Para separar las pares e impares usas las
raíces cuadradas de 1, 1 y - 1, como en senh y cosh. Y para separarlas
módulo 4, la raíz cuarta de 1, i..

Esto también es útil para sumar numeros combinatorios: Todos (1 + 1)^n, por
separados de índice par e impar (1 - 1)^n, uno de cada tres (1 + w)^n y (1 +
w^2)^n, donde w es la raíz cúbica de la unidad, etc...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
> escribió en el mensaje news:659f7bF2cr86jU1***mid.individual.net...
>> Antonio González wrote:
>>> Sean las funciones
>>>
>>> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>>>
>>> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>>>
>>> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>>>
>>> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>>>
>>> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>>>
>>> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
>>> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).
>>
>> Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos
>> transcritos ...":^(. Así que ahora resumo:
>>
>> Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces
>> cúnicas de la unidad, se tiene que
>>
>> a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3
>>
>> b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3
>>
>> c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3
>>
>> Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes
>> son w y w', para obtener la "igualdad fundamental" de la
>> trigonometría de Antonio. Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos
>> que
>>
>> e(x) = a(x) + b(x) + c(x)
>>
>> e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)
>>
>> e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)
>>
>> Entonces,
>>
>> a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3
>>
>> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>>
>> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>>
>> Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),
>>
>> a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)
>>
>> Igualmente
>>
>> b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)
>>
>> c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)
>>
>> De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables.
>> Parece que el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x).
>> Salvo error posible e incluso probable ...
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>
>>
> Ignacio, ¿ cómo se te ha ocurrido relacionar las exponenciales
> de las raíces cúbicas de la unidad con las funciones a(x), b(x) y
> c(x) ? Me gustaría ver dicha conexión de una forma natural.....

--
Es la forma natural de separar los términos seguyn el resto módulo 3, en
este caso, de los exponentes. Para separar las pares e impares usas las
raíces cuadradas de 1, 1 y - 1, como en senh y cosh. Y para separarlas
módulo 4, la raíz cuarta de 1, i..

Esto también es útil para sumar numeros combinatorios: Todos (1 + 1)^n, por
separados de índice par e impar (1 - 1)^n, uno de cada tres (1 + w)^n y (1 +
w^2)^n, donde w es la raíz cúbica de la unidad, etc...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis escribió:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
> en el mensaje news:659f7bF2cr86jU1***mid.individual.net...
>> Antonio González wrote:
>>> Sean las funciones
>>>
>>> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>>>
>>> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>>>
>>> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>>>
>>> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>>>
>>> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>>>
>>> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
>>> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).
>> Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos transcritos
>> ...":^(. Así que ahora resumo:
>>
>> Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces cúnicas de
>> la unidad, se tiene que
>>
>> a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3
>>
>> b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3
>>
>> c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3
>>
>> Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes son w y
>> w', para obtener la "igualdad fundamental" de la trigonometría de Antonio.
>>
>> Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos que
>>
>> e(x) = a(x) + b(x) + c(x)
>>
>> e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)
>>
>> e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)
>>
>> Entonces,
>>
>> a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3
>>
>> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>>
>> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>>
>> Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),
>>
>> a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)
>>
>> Igualmente
>>
>> b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)
>>
>> c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)
>>
>> De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables. Parece
>> que el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x). Salvo error
>> posible e incluso probable ...
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>
>>
> Ignacio, ¿ cómo se te ha ocurrido relacionar las exponenciales
> de las raíces cúbicas de la unidad con las funciones a(x), b(x) y c(x) ?
> Me gustaría ver dicha conexión de una forma natural.....
>

Es una técnica estándar.

Por ejemplo, imagina que tienes una función expresable como una serie

f(x) = a(0) + a(1) x + a(2)x^2 + ...

y quieres separarla en su parte par y su parte impar. Escribimos la
serie de f(-x)

f(-x) = a(0) - a(1) x + a(2)x^2 + ...

en la que los signos se van alternando. Si sumamos estas dos series y
dividimos por 2

(f(x) + f(-x))/2 = a(0) + a(2) x^2 + ...

solo"sobreviven" los términos pares. Si en cambio restamos

(f(x) - f(-x))/2 = a(1)x + a(3) x^3 + ...

Ahora imagina que lo que queremos obtener es la serie

S(x) = a(0) + a(4)x^4 + a(8)x^8 + ...

debemos conseguir entonces que se vayan los términos en x^2. Esto lo
conseguimos introduciendo las otras dos raíces cuartas de la unidad

f(ix) = a(0) + a(1)ix - a(2)x^2 - a(3)ix^3 + a(4)x^4 + ....

f(-ix) = a(0) - a(1)ix - a(2)x^2 + a(3)ix^3 + a(4)x^4 + ....

de forma que si sumamos las cuatro series

(f(x) + f(ix) + f(-x) + f(-ix))/4 =

= a(0) + a(4)x^4 + ...

Si en cambio queremos hallar la subserie con exponentes iguales a 1 (mod
4), debemos multiplicar cada serie por aquel factor que hace que el
término en x aparezca multiplicado por 1

f(x) = a(0) + a(1)x + a(2)x^2 + ...

-if(ix) = -ia(0) + a(1)x + ia(2)x^2 + ...

-f(-x) = -a(0) + a(1)x - a(2)x^2 + ...

if(-ix) = ia(0) + a(1)x - ia(2)x^2 + ...

y hallando la media aritmética obtenemos la series buscada

(f(x) - if(ix) - f(-x) + if(-ix))/4 =

= a(1)x + a(5)x^5 + ...

Análogamente si queremos los términos con exponente 2 (mod 4) ó 3 (mod 4).

Si en lugar de ir de cuatro en cuatro queremos ir de 5 en 5, pues esamos
las raíces quintas de la unidad

(f(x) + f(wx) + f(w^2x) + f(w^3x) + f(w^4x))/5 =

= a(0) + a(5)x^5 + ...

y en el problema que yo he propuesto es igual, pero con las raíces cúbicas.

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Antonio