Hallar todos los complejos z tales que
(z+1)^7=z^7 +1

Saludos
León-Sotelo

León-Sotelo escribió:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>

Me suena que este ya ha salido antes, por una discusión sobre si la
ecuación era de sexto o de séptimo grado (ya que los términos en z^7 se
cancelan).

....googleando...

aquí está, en un hilo llamado "Zetas"

http://groups.google.com/group/es.ci...b22989c09e40ab



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>

Me suena que este ya ha salido antes, por una discusión sobre si la
ecuación era de sexto o de séptimo grado (ya que los términos en z^7 se
cancelan).

....googleando...

aquí está, en un hilo llamado "Zetas"

http://groups.google.com/group/es.ci...b22989c09e40ab



--

Antonio

León-Sotelo wrote:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>

De enmtrada, z = 0 y z = - 1. También 1_120º y 1_240º (las muy repetidas
raíces cúbicas de 1, distintas de 1), como se ve de inmediato en forma
polar.

Desarrollando la ecuación,

7z^6 + 21z^5 + 35z^4 + 35z^3 + 21z^2 + 7z = 0

7z(z^5 + 3z^4 + 5z^3 + 5z^2 + 3z + 1) = 0

7z(z + 1)(z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1) = 0

Como sabemos que z = (-1/2 +/- i*rq(3)/2) son raíces, tenemos que

(z - (-1/2 + i*rq(3)/2) )(z - (-1/2 - i*rq(3)/2)) = z^2 + z + 1

debe ser un factor. Pero justamente,

(z^2 + z + 1)^2 = z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1

Por lo que solo existen las 4 raíces ya mencionadas:

z = 0, z = -1, z = -1/2 +/- i*rq(3)/2

estas dos últimas dobles. En total 6, puesto que se trata de una ecuación de
6º grado, ya que los términos en z^7 se cancelan.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

León-Sotelo wrote:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>

De enmtrada, z = 0 y z = - 1. También 1_120º y 1_240º (las muy repetidas
raíces cúbicas de 1, distintas de 1), como se ve de inmediato en forma
polar.

Desarrollando la ecuación,

7z^6 + 21z^5 + 35z^4 + 35z^3 + 21z^2 + 7z = 0

7z(z^5 + 3z^4 + 5z^3 + 5z^2 + 3z + 1) = 0

7z(z + 1)(z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1) = 0

Como sabemos que z = (-1/2 +/- i*rq(3)/2) son raíces, tenemos que

(z - (-1/2 + i*rq(3)/2) )(z - (-1/2 - i*rq(3)/2)) = z^2 + z + 1

debe ser un factor. Pero justamente,

(z^2 + z + 1)^2 = z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1

Por lo que solo existen las 4 raíces ya mencionadas:

z = 0, z = -1, z = -1/2 +/- i*rq(3)/2

estas dos últimas dobles. En total 6, puesto que se trata de una ecuación de
6º grado, ya que los términos en z^7 se cancelan.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

León-Sotelo escribió:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>

Por hacerlo de otra manera a como lo resolví en el 2004.

Esta ecuación equivale a

(z+1)^7 - z^7 = 1

Si hacemos el cambio de variable

z = (t-1)/2

queda

(t + 1)^7 - (t - 1)^7 = 2^7

que tiene claramente las soluciones t = 1 y t = -1. Desarrollando

7t^6 + 35t^4 + 21t^2 + 1 = 64

o, lo que es lo mismo

t^6 + 5t^4 + 3t^2 = 9

haciendo u = t^2

u^3 + 5u^2 + 3u - 9 = 0

como he dicho, u = 1 es una solución, así que factorizamos

1 5 3 -9

1) 1 6 9
---------------
1 6 9 0

luego queda por resolver la ecuación de 2º grado

u^2 + 6u + 9 = 0

o lo que es lo mismo

(u + 3)^2 = 0

con solución u = -3 (doble).

Deshaciendo tenemos, para u

u = -3 (doble)

u = 1

Para t

t = +rq(3)i (doble)

t = -rq(3)i (doble)

t = 1

t = -1

y para z

z = (-1 + rq(3)i)/2 (doble)

z = (-1 - rq(3)i)/2 (doble)

z = 0

z = -1




--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>

Por hacerlo de otra manera a como lo resolví en el 2004.

Esta ecuación equivale a

(z+1)^7 - z^7 = 1

Si hacemos el cambio de variable

z = (t-1)/2

queda

(t + 1)^7 - (t - 1)^7 = 2^7

que tiene claramente las soluciones t = 1 y t = -1. Desarrollando

7t^6 + 35t^4 + 21t^2 + 1 = 64

o, lo que es lo mismo

t^6 + 5t^4 + 3t^2 = 9

haciendo u = t^2

u^3 + 5u^2 + 3u - 9 = 0

como he dicho, u = 1 es una solución, así que factorizamos

1 5 3 -9

1) 1 6 9
---------------
1 6 9 0

luego queda por resolver la ecuación de 2º grado

u^2 + 6u + 9 = 0

o lo que es lo mismo

(u + 3)^2 = 0

con solución u = -3 (doble).

Deshaciendo tenemos, para u

u = -3 (doble)

u = 1

Para t

t = +rq(3)i (doble)

t = -rq(3)i (doble)

t = 1

t = -1

y para z

z = (-1 + rq(3)i)/2 (doble)

z = (-1 - rq(3)i)/2 (doble)

z = 0

z = -1




--

Antonio

On 1 abr, 09:32, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>
> Saludos
> León-Sotelo

Buenos días antes de nada que he estado de vacaciones con mi hijo y
llevaba días sin trabajar.

Por hacer una mínima varaiación:

partiendo de la ecuación :

7z(z + 1)(z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1) = 0

Dividiendo por z^2 (despues de obviar las raices z = 0 ,z = -1):

z^2 + 2z + 3 + 2/z + 1/z^2 = 0

que es el típico truco para los polinomios de coeficientes simétricos.

Haciendo z + 1/z = t y elevando al cuadrado:

z^2 + 1/z^2 + 2 = t^2

por tanto sustituyendo:

t^2 - 2 + 2t + 3 = 0

t^2 + 2t + 1 = 0

(t + 1)^2 = 0

luego t = -1 es raiz doble y por tanto

z + 1/z = -1

z^2 + 1 = -z

es decir : z^2 + z + 1 = 0

de donde queda claro que las soluciones de

z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1 = 0

son las dos raices cúbicas de la unidad (distintas de 1) y de forma
doble.

Saludos.

On 1 abr, 09:32, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>
> Saludos
> León-Sotelo

Buenos días antes de nada que he estado de vacaciones con mi hijo y
llevaba días sin trabajar.

Por hacer una mínima varaiación:

partiendo de la ecuación :

7z(z + 1)(z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1) = 0

Dividiendo por z^2 (despues de obviar las raices z = 0 ,z = -1):

z^2 + 2z + 3 + 2/z + 1/z^2 = 0

que es el típico truco para los polinomios de coeficientes simétricos.

Haciendo z + 1/z = t y elevando al cuadrado:

z^2 + 1/z^2 + 2 = t^2

por tanto sustituyendo:

t^2 - 2 + 2t + 3 = 0

t^2 + 2t + 1 = 0

(t + 1)^2 = 0

luego t = -1 es raiz doble y por tanto

z + 1/z = -1

z^2 + 1 = -z

es decir : z^2 + z + 1 = 0

de donde queda claro que las soluciones de

z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1 = 0

son las dos raices cúbicas de la unidad (distintas de 1) y de forma
doble.

Saludos.

On 1 abr, 09:41, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> León-Sotelo escribió:
>
> > Hallar todos los complejos z tales que
> > (z+1)^7=z^7 +1
>
> Me suena que este ya ha salido antes, por una discusión sobre si la
> ecuación era de sexto o de séptimo grado (ya que los términos en z^7se
> cancelan).
>
> ...googleando...
>
> aquí está, en un hilo llamado "Zetas"
>
> http://groups.google.com/group/es.ci...rowse_frm/thre...
>
> --
>
> *** ***Antonio

Pue este no lo he googleado como tu porque es de una competencion de
este año 2008.Buena memoria incluso sin Google si señor.

L-S