"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:65rneoF2hpo86U1***mid.individual.net...
> Antonio González escribió:
>> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>>
>> e = 3V/SR
>>
>> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
>> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
>> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>>
>> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
>> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un cubo
>> o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>
> Bueno, es evidente que para un poliedro regular, esta definición de
> esfericidad es equivalente a
>
> e = r/R

¿ Sabes dónde puede verse alguna demostración de que V = (1/3)*S*r
en los sólidos regulares ?


> siendo r el inradio. Por tanto no hay más que hallar los cocientes para
> los cinco sólidos. Obtenemos:
>
> Tetraedro:
>
> r = rq(6)a/12
>
> R = rq(6)a/4
>
> por tanto
>
> e = 1/3.
>
> Cubo:
>
> r = a/2
>
> R = a rq(3)/2
>
> e = 1/rq(3) = 0.577...
>
> Octaedro:
>
> r = R/rq(3)
>
> e = 1/rq(3) = 0.577...
>
> esto es, que con esta definición, el cubo y el octaedro son igual de
> esféricos.
>
> Dodecaedro:
>
> R = (rq(15)+rq(3))a/4
>
> r = rq(250 + 110 rq(5))a/20
>
> e = rq((5+2rq(5)/15) = 0.794...
>
> Icosaedro:
>
> r = (3rq(3)+rq(15))a/12
>
> R = rq(10+2rq(5))a/4
>
> e = rq((5+2rq(5)/15) = 0.794...
>
> Dada la igualdad entre el cubo y el octaedro, que son duales, no debe
> sorprendernos que el dodecaedro y el icosaedro, también duales, tengan la
> misma esfericidad.
>
>
>
> --
>
> Antonio
>

Luis escribió:
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:65rneoF2hpo86U1***mid.individual.net...
>> Antonio González escribió:
>>> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>>>
>>> e = 3V/SR
>>>
>>> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
>>> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
>>> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>>>
>>> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
>>> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un cubo
>>> o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>> Bueno, es evidente que para un poliedro regular, esta definición de
>> esfericidad es equivalente a
>>
>> e = r/R
>
> ¿ Sabes dónde puede verse alguna demostración de que V = (1/3)*S*r
> en los sólidos regulares ?
>

Es inmediato de que están formados por pirámides de base cada una de las
caras (S/n) y altura la distancia del centro del poliedro al centro de
la cara, esto es, el inradio r

V = n (1/3 (S/n) r) = Sr/3

--

Antonio

Luis escribió:
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:65rneoF2hpo86U1***mid.individual.net...
>> Antonio González escribió:
>>> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>>>
>>> e = 3V/SR
>>>
>>> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
>>> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
>>> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>>>
>>> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
>>> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un cubo
>>> o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>> Bueno, es evidente que para un poliedro regular, esta definición de
>> esfericidad es equivalente a
>>
>> e = r/R
>
> ¿ Sabes dónde puede verse alguna demostración de que V = (1/3)*S*r
> en los sólidos regulares ?
>

Es inmediato de que están formados por pirámides de base cada una de las
caras (S/n) y altura la distancia del centro del poliedro al centro de
la cara, esto es, el inradio r

V = n (1/3 (S/n) r) = Sr/3

--

Antonio