Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como

e = 3V/SR

con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.

De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un cubo
o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?

Y para el caso del cubo recortado por el que preguntaba ayer, ¿por donde
hay que recortar para obtener el poliedro lo más esférico posible?


--

Antonio

Antonio González wrote:
> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>
> e = 3V/SR
>
> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.

Vamos de momento solo con l última.

> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un
> cubo o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>
> Y para el caso del cubo recortado por el que preguntaba ayer, ¿por
> donde hay que recortar para obtener el poliedro lo más esférico
> posible?

Tenemos que

S(x) = 6 - (12 - 4rq(3))x^2

V(x) = 1 - 4x^3/3

R(x) = rq(3/4 -x + x^2)

Por lo que es

e(x) = (3 - 4x^3)/((6 - (12 - 4rq(3))x^2)rq(3/4 -x + x^2))

La derivada tiene un polinomio de 5º grado en el numerador, que renuncio a
copiar, y que no parece poder resolverse algebraicamente. De sus tres raíces
reales, la única en el intervalo (0, 1/2) es x ~= 0.4725800108, para el que
la esfericidad es máxima:

e_max ~= 0.7484357834

Resulta más próximo al cuboctaedro que con la esfericidad anterior S/V, que
daba x ~= 0.4479817847

Por cierta, que la del cubo se obtiene para x = 0, y es

e(cubo) = rq(3)/3 ~= 0.5773502691

Para el cuboctaedro es muy poco menos que la máxima,

e(cuboctaedro) = e(1/2) = 5(3rq(2) - rq(6))/12 ~= 0.7471462268


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>
> e = 3V/SR
>
> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.

Vamos de momento solo con l última.

> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un
> cubo o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>
> Y para el caso del cubo recortado por el que preguntaba ayer, ¿por
> donde hay que recortar para obtener el poliedro lo más esférico
> posible?

Tenemos que

S(x) = 6 - (12 - 4rq(3))x^2

V(x) = 1 - 4x^3/3

R(x) = rq(3/4 -x + x^2)

Por lo que es

e(x) = (3 - 4x^3)/((6 - (12 - 4rq(3))x^2)rq(3/4 -x + x^2))

La derivada tiene un polinomio de 5º grado en el numerador, que renuncio a
copiar, y que no parece poder resolverse algebraicamente. De sus tres raíces
reales, la única en el intervalo (0, 1/2) es x ~= 0.4725800108, para el que
la esfericidad es máxima:

e_max ~= 0.7484357834

Resulta más próximo al cuboctaedro que con la esfericidad anterior S/V, que
daba x ~= 0.4479817847

Por cierta, que la del cubo se obtiene para x = 0, y es

e(cubo) = rq(3)/3 ~= 0.5773502691

Para el cuboctaedro es muy poco menos que la máxima,

e(cuboctaedro) = e(1/2) = 5(3rq(2) - rq(6))/12 ~= 0.7471462268


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González escribió:
> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sÃ*** adimensional) como
>
> e = 3V/SR
>
> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>
> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un cubo
> o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>

Como detalle, señalar que la esfericidad asÃ*** definida, para un fullereno
(un balón de fútbol) es 0.9218...

--

Antonio

Antonio González escribió:
> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sÃ*** adimensional) como
>
> e = 3V/SR
>
> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>
> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un cubo
> o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>

Como detalle, señalar que la esfericidad asÃ*** definida, para un fullereno
(un balón de fútbol) es 0.9218...

--

Antonio

Antonio González wrote:
> Antonio González escribió:
>> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>>
>> e = 3V/SR
>>
>> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
>> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
>> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>>
>> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
>> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un
>> cubo o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>>
>
> Como detalle, señalar que la esfericidad así definida, para un
> fullereno (un balón de fútbol) es 0.9218...

El fullereno (o buckybola) es al icosaedro como el cuboctaedro es al cubo.
Se obtiene de un icosaedro seccionando los vértices por un plano que pasa
por los puntos medios de las aristas que concurren en él. Si, como en el
caso del cubo, suponiendo 1 la arista del icosaedro, hacemos tales cortes a
una distancia x del vértice (0 <= x <= 1/2), ¿para que valor de x se
consigue la máxima esfericidad?


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Antonio González escribió:
>> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>>
>> e = 3V/SR
>>
>> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
>> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
>> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>>
>> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
>> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un
>> cubo o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>>
>
> Como detalle, señalar que la esfericidad así definida, para un
> fullereno (un balón de fútbol) es 0.9218...

El fullereno (o buckybola) es al icosaedro como el cuboctaedro es al cubo.
Se obtiene de un icosaedro seccionando los vértices por un plano que pasa
por los puntos medios de las aristas que concurren en él. Si, como en el
caso del cubo, suponiendo 1 la arista del icosaedro, hacemos tales cortes a
una distancia x del vértice (0 <= x <= 1/2), ¿para que valor de x se
consigue la máxima esfericidad?


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González escribió:
> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>
> e = 3V/SR
>
> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>
> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un cubo
> o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?

Bueno, es evidente que para un poliedro regular, esta definición de
esfericidad es equivalente a

e = r/R

siendo r el inradio. Por tanto no hay más que hallar los cocientes para
los cinco sólidos. Obtenemos:

Tetraedro:

r = rq(6)a/12

R = rq(6)a/4

por tanto

e = 1/3.

Cubo:

r = a/2

R = a rq(3)/2

e = 1/rq(3) = 0.577...

Octaedro:

r = R/rq(3)

e = 1/rq(3) = 0.577...

esto es, que con esta definición, el cubo y el octaedro son igual de
esféricos.

Dodecaedro:

R = (rq(15)+rq(3))a/4

r = rq(250 + 110 rq(5))a/20

e = rq((5+2rq(5)/15) = 0.794...

Icosaedro:

r = (3rq(3)+rq(15))a/12

R = rq(10+2rq(5))a/4

e = rq((5+2rq(5)/15) = 0.794...

Dada la igualdad entre el cubo y el octaedro, que son duales, no debe
sorprendernos que el dodecaedro y el icosaedro, también duales, tengan
la misma esfericidad.



--

Antonio

Antonio González escribió:
> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>
> e = 3V/SR
>
> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>
> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un cubo
> o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?

Bueno, es evidente que para un poliedro regular, esta definición de
esfericidad es equivalente a

e = r/R

siendo r el inradio. Por tanto no hay más que hallar los cocientes para
los cinco sólidos. Obtenemos:

Tetraedro:

r = rq(6)a/12

R = rq(6)a/4

por tanto

e = 1/3.

Cubo:

r = a/2

R = a rq(3)/2

e = 1/rq(3) = 0.577...

Octaedro:

r = R/rq(3)

e = 1/rq(3) = 0.577...

esto es, que con esta definición, el cubo y el octaedro son igual de
esféricos.

Dodecaedro:

R = (rq(15)+rq(3))a/4

r = rq(250 + 110 rq(5))a/20

e = rq((5+2rq(5)/15) = 0.794...

Icosaedro:

r = (3rq(3)+rq(15))a/12

R = rq(10+2rq(5))a/4

e = rq((5+2rq(5)/15) = 0.794...

Dada la igualdad entre el cubo y el octaedro, que son duales, no debe
sorprendernos que el dodecaedro y el icosaedro, también duales, tengan
la misma esfericidad.



--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:65rneoF2hpo86U1***mid.individual.net...
> Antonio González escribió:
>> Definamos la esfericidad de un poliedro (esta sí adimensional) como
>>
>> e = 3V/SR
>>
>> con S el área lateral, V el volumen y R el radio de la esfera
>> circunscrita al poliedro. El 3 está para hacer que en el caso de la
>> esfera e = 1. Para el resto de los cuerpos e < 1.
>>
>> De los sólidos platónicos es evidente que el menos esférico es el
>> tetraedro (¿cuál es su esfericidad?), pero ¿qué es más esférico, un cubo
>> o un octaedro? ¿Un dodecaedro o un icosaedro?
>
> Bueno, es evidente que para un poliedro regular, esta definición de
> esfericidad es equivalente a
>
> e = r/R

¿ Sabes dónde puede verse alguna demostración de que V = (1/3)*S*r
en los sólidos regulares ?


> siendo r el inradio. Por tanto no hay más que hallar los cocientes para
> los cinco sólidos. Obtenemos:
>
> Tetraedro:
>
> r = rq(6)a/12
>
> R = rq(6)a/4
>
> por tanto
>
> e = 1/3.
>
> Cubo:
>
> r = a/2
>
> R = a rq(3)/2
>
> e = 1/rq(3) = 0.577...
>
> Octaedro:
>
> r = R/rq(3)
>
> e = 1/rq(3) = 0.577...
>
> esto es, que con esta definición, el cubo y el octaedro son igual de
> esféricos.
>
> Dodecaedro:
>
> R = (rq(15)+rq(3))a/4
>
> r = rq(250 + 110 rq(5))a/20
>
> e = rq((5+2rq(5)/15) = 0.794...
>
> Icosaedro:
>
> r = (3rq(3)+rq(15))a/12
>
> R = rq(10+2rq(5))a/4
>
> e = rq((5+2rq(5)/15) = 0.794...
>
> Dada la igualdad entre el cubo y el octaedro, que son duales, no debe
> sorprendernos que el dodecaedro y el icosaedro, también duales, tengan la
> misma esfericidad.
>
>
>
> --
>
> Antonio
>