León-Sotelo escribió:
> Expresada en base decimal la fracción 1/97 tiene un periodo de 96
> dígitos.Si los tres últimos dígitos del periodo son A67, hallar A.
>

Sea P el periodo. Tenemos que

10^96/97 = P + 1/97

(10^96 - 1) = 97P

siendo P = 1000m + 100A + 67. Por tanto

10^96 = 97000m + 9700A + 6500

10^94 = 970m + 97A + 65

Es evidente que para que esta cantidad sea igual a 0 (mod 10) debe ser

A = 5

--

Antonio

On 5 abr, 19:52, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> León-Sotelo escribió:
>
> > Expresada en base decimal la fracción 1/97 tiene un periodo de 96
> > dígitos.Si los tres últimos dígitos del periodo son A67, hallar A.
>
> Sea P el periodo. Tenemos que
>
> 10^96/97 = P + 1/97
>
> (10^96 - 1) = 97P
>
> siendo P = 1000m + 100A + 67. Por tanto
>
> 10^96 = 97000m + 9700A + 6500
>
> 10^94 = 970m + 97A + 65
>
> Es evidente que para que esta cantidad sea igual a 0 (mod 10) debe ser
>
> A = 5
>
> --
>
> Antonio

Así es como yo lo tengo resuelto para el caso de 1/7 y ademas no es
necesario saber ni en lo que termina el periodo.
1/7= ...DCBA como el periodo del 1/7 es 6 su periodo es (10^6-1)/7
=999999/7=...DCBA

Está claro que 7*A=9 de donde A=7 pues 7*7=49 (termina en 9)

999999/7=...DCB7; 999999/7 -7=...DCB0 => (999999-7*7)/7=DCB0 y si
dividimos por 10 nos queda

99995/7=DCB y seguimos el proceso 7B=5 para lo cual B=5; 99995/7=DC5

99995/7 -5= DC0 => (99995-7*5)/7=DC 996/7=DC y por tanto 7C=6 y
entonces C=8 ...

L-S

On 5 abr, 19:52, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> León-Sotelo escribió:
>
> > Expresada en base decimal la fracción 1/97 tiene un periodo de 96
> > dígitos.Si los tres últimos dígitos del periodo son A67, hallar A.
>
> Sea P el periodo. Tenemos que
>
> 10^96/97 = P + 1/97
>
> (10^96 - 1) = 97P
>
> siendo P = 1000m + 100A + 67. Por tanto
>
> 10^96 = 97000m + 9700A + 6500
>
> 10^94 = 970m + 97A + 65
>
> Es evidente que para que esta cantidad sea igual a 0 (mod 10) debe ser
>
> A = 5
>
> --
>
> Antonio

Así es como yo lo tengo resuelto para el caso de 1/7 y ademas no es
necesario saber ni en lo que termina el periodo.
1/7= ...DCBA como el periodo del 1/7 es 6 su periodo es (10^6-1)/7
=999999/7=...DCBA

Está claro que 7*A=9 de donde A=7 pues 7*7=49 (termina en 9)

999999/7=...DCB7; 999999/7 -7=...DCB0 => (999999-7*7)/7=DCB0 y si
dividimos por 10 nos queda

99995/7=DCB y seguimos el proceso 7B=5 para lo cual B=5; 99995/7=DC5

99995/7 -5= DC0 => (99995-7*5)/7=DC 996/7=DC y por tanto 7C=6 y
entonces C=8 ...

L-S

León-Sotelo escribió:
> On 5 abr, 19:52, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> León-Sotelo escribió:
>>
>>> Expresada en base decimal la fracción 1/97 tiene un periodo de 96
>>> dÃ***gitos.Si los tres últimos dÃ***gitos del periodo son A67, hallar A.
>> Sea P el periodo. Tenemos que
>>
>> 10^96/97 = P + 1/97
>>
>> (10^96 - 1) = 97P
>>
>> siendo P = 1000m + 100A + 67. Por tanto
>>
>> 10^96 = 97000m + 9700A + 6500
>>
>> 10^94 = 970m + 97A + 65
>>
>> Es evidente que para que esta cantidad sea igual a 0 (mod 10) debe ser
>>
>> A = 5
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> AsÃ*** es como yo lo tengo resuelto para el caso de 1/7 y ademas no es
> necesario saber ni en lo que termina el periodo.

Eso es lo que he hecho yo, solo que he usado el dato de que sabemos en
qué termina.

Si no lo hubiéramos sabido

10^96 = 97P + 1

Módulo 10

0 = 7P + 1 (mod 10)

luego P acaba en 7. P = 10N + 7

10^96 = 97*10N + 680

10^95 = 97N + 68

0 = 7N + 8 (mod 10)

y N = 6 (mod 10). Igual se obtiene la tercera cifra.

Y, de paso, es lo mismo que ha hecho Ignacio, sólo que él ha hallado las
tres cifras de una vez.



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> On 5 abr, 19:52, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> León-Sotelo escribió:
>>
>>> Expresada en base decimal la fracción 1/97 tiene un periodo de 96
>>> dÃ***gitos.Si los tres últimos dÃ***gitos del periodo son A67, hallar A.
>> Sea P el periodo. Tenemos que
>>
>> 10^96/97 = P + 1/97
>>
>> (10^96 - 1) = 97P
>>
>> siendo P = 1000m + 100A + 67. Por tanto
>>
>> 10^96 = 97000m + 9700A + 6500
>>
>> 10^94 = 970m + 97A + 65
>>
>> Es evidente que para que esta cantidad sea igual a 0 (mod 10) debe ser
>>
>> A = 5
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> AsÃ*** es como yo lo tengo resuelto para el caso de 1/7 y ademas no es
> necesario saber ni en lo que termina el periodo.

Eso es lo que he hecho yo, solo que he usado el dato de que sabemos en
qué termina.

Si no lo hubiéramos sabido

10^96 = 97P + 1

Módulo 10

0 = 7P + 1 (mod 10)

luego P acaba en 7. P = 10N + 7

10^96 = 97*10N + 680

10^95 = 97N + 68

0 = 7N + 8 (mod 10)

y N = 6 (mod 10). Igual se obtiene la tercera cifra.

Y, de paso, es lo mismo que ha hecho Ignacio, sólo que él ha hallado las
tres cifras de una vez.



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> On 5 abr, 19:52, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> León-Sotelo escribió:
>>
>>> Expresada en base decimal la fracción 1/97 tiene un periodo de 96
>>> dígitos.Si los tres últimos dígitos del periodo son A67, hallar A.
>> Sea P el periodo. Tenemos que
>>
>> 10^96/97 = P + 1/97
>>
>> (10^96 - 1) = 97P
>>
>> siendo P = 1000m + 100A + 67. Por tanto
>>
>> 10^96 = 97000m + 9700A + 6500
>>
>> 10^94 = 970m + 97A + 65
>>
>> Es evidente que para que esta cantidad sea igual a 0 (mod 10) debe ser
>>
>> A = 5
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Así es como yo lo tengo resuelto para el caso de 1/7 y ademas no es
> necesario saber ni en lo que termina el periodo.
> 1/7= ...DCBA como el periodo del 1/7 es 6 su periodo es (10^6-1)/7
> =999999/7=...DCBA
>
> Está claro que 7*A=9 de donde A=7 pues 7*7=49 (termina en 9)
>
> 999999/7=...DCB7; 999999/7 -7=...DCB0 => (999999-7*7)/7=DCB0 y si
> dividimos por 10 nos queda
>
> 99995/7=DCB y seguimos el proceso 7B=5 para lo cual B=5; 99995/7=DC5
>
> 99995/7 -5= DC0 => (99995-7*5)/7=DC 996/7=DC y por tanto 7C=6 y
> entonces C=8 ...
>
> L-S
>
El último resto del periodo debe ser 1.
La última cifra del periodo multiplicada por 97 debe acabar en 9.
Esto la obliga a ser 7. El resto anterior será (97*7+1)/10=68.

La anterior multiplicada por 97 debe acabar en 10 -8 =2
Debe ser 6. El resto anterior será (6*97+68)/10 = 65.

La anterior multiplicada por 97 debe acabar en 10-5=5.
Debe ser 5. El resto anterior será (5*97+65)/10 = 55.

De esta forma se pueden ir obteniendo las cifras anteriores sucesivas.

Un saludo.
Pedro

León-Sotelo escribió:
> On 5 abr, 19:52, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> León-Sotelo escribió:
>>
>>> Expresada en base decimal la fracción 1/97 tiene un periodo de 96
>>> dígitos.Si los tres últimos dígitos del periodo son A67, hallar A.
>> Sea P el periodo. Tenemos que
>>
>> 10^96/97 = P + 1/97
>>
>> (10^96 - 1) = 97P
>>
>> siendo P = 1000m + 100A + 67. Por tanto
>>
>> 10^96 = 97000m + 9700A + 6500
>>
>> 10^94 = 970m + 97A + 65
>>
>> Es evidente que para que esta cantidad sea igual a 0 (mod 10) debe ser
>>
>> A = 5
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Así es como yo lo tengo resuelto para el caso de 1/7 y ademas no es
> necesario saber ni en lo que termina el periodo.
> 1/7= ...DCBA como el periodo del 1/7 es 6 su periodo es (10^6-1)/7
> =999999/7=...DCBA
>
> Está claro que 7*A=9 de donde A=7 pues 7*7=49 (termina en 9)
>
> 999999/7=...DCB7; 999999/7 -7=...DCB0 => (999999-7*7)/7=DCB0 y si
> dividimos por 10 nos queda
>
> 99995/7=DCB y seguimos el proceso 7B=5 para lo cual B=5; 99995/7=DC5
>
> 99995/7 -5= DC0 => (99995-7*5)/7=DC 996/7=DC y por tanto 7C=6 y
> entonces C=8 ...
>
> L-S
>
El último resto del periodo debe ser 1.
La última cifra del periodo multiplicada por 97 debe acabar en 9.
Esto la obliga a ser 7. El resto anterior será (97*7+1)/10=68.

La anterior multiplicada por 97 debe acabar en 10 -8 =2
Debe ser 6. El resto anterior será (6*97+68)/10 = 65.

La anterior multiplicada por 97 debe acabar en 10-5=5.
Debe ser 5. El resto anterior será (5*97+65)/10 = 55.

De esta forma se pueden ir obteniendo las cifras anteriores sucesivas.

Un saludo.
Pedro