Estoy pretendiendo calcular a mano la integral doble siguiente:

Int(0,1)Int(y,5-4y)rq((x-y)(x+4y))dxdy

Se produce tal enredo que, aunque sé hacerlo, no me parece razonable
tanta complicación. Intuyo que tiene que haber un camino más sencillo.

Si lo intentamos en el orden dydx, entonces es mejor irse a dormir.

A ver ...

Gracias.

Saludos

jcb

antikaria***gmail.com escribió:
> Estoy pretendiendo calcular a mano la integral doble siguiente:
>
> Int(0,1)Int(y,5-4y)rq((x-y)(x+4y))dxdy
>
> Se produce tal enredo que, aunque sé hacerlo, no me parece razonable
> tanta complicación. Intuyo que tiene que haber un camino más sencillo.
>

Suele ser buena idea buscarse el término medio.

Sea

t = x + 3y/2

que nos deja la integral como

int_0^1 int_(5y/2,5-5y/2) rq((t-5y/2)(t+5y/2))dt dy

si ahora hacemos

t = 5u/2

nos queda

(5/2)^2 int_0^1 int_(y,2-y)rq(u^2 - y^2)du dy

Ahora el cambio de variable

u = y cosh(v)

nos deja con

(5/2)^2int_0^1 int_0^V0 senh^2(v) dv dy

con v0 = arccosh(2-y/y), que da

(5/2)^2 int_0^1(-v0/2 + senh(2v0)/4) dy =

= (5/2)^2 int_0^1(-arccosh((2-y)/y)/2 + 2rq(1-y)/y^2 - rq(1-y)/y)dy

Esta integral que, si no me equivoco, se puede hacer por partes. El
resultado final, según el Mathematica, es

50/9


--

Antonio

antikaria***gmail.com escribió:
> Estoy pretendiendo calcular a mano la integral doble siguiente:
>
> Int(0,1)Int(y,5-4y)rq((x-y)(x+4y))dxdy
>
> Se produce tal enredo que, aunque sé hacerlo, no me parece razonable
> tanta complicación. Intuyo que tiene que haber un camino más sencillo.
>

Suele ser buena idea buscarse el término medio.

Sea

t = x + 3y/2

que nos deja la integral como

int_0^1 int_(5y/2,5-5y/2) rq((t-5y/2)(t+5y/2))dt dy

si ahora hacemos

t = 5u/2

nos queda

(5/2)^2 int_0^1 int_(y,2-y)rq(u^2 - y^2)du dy

Ahora el cambio de variable

u = y cosh(v)

nos deja con

(5/2)^2int_0^1 int_0^V0 senh^2(v) dv dy

con v0 = arccosh(2-y/y), que da

(5/2)^2 int_0^1(-v0/2 + senh(2v0)/4) dy =

= (5/2)^2 int_0^1(-arccosh((2-y)/y)/2 + 2rq(1-y)/y^2 - rq(1-y)/y)dy

Esta integral que, si no me equivoco, se puede hacer por partes. El
resultado final, según el Mathematica, es

50/9


--

Antonio

On 7 abr, 23:27, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> antika...***gmail.com escribió:
>
> > Estoy pretendiendo calcular a mano la integral doble siguiente:
>
> > Int(0,1)Int(y,5-4y)rq((x-y)(x+4y))dxdy
>
> > Se produce tal enredo que, aunque sé hacerlo, no me parece razonable
> > tanta complicación. Intuyo que tiene que haber un camino más sencillo.
>
> Suele ser buena idea buscarse el término medio.
>
> Sea
>
> t = x + 3y/2
>
> que nos deja la integral como
>
> int_0^1 int_(5y/2,5-5y/2) rq((t-5y/2)(t+5y/2))dt dy
>
> si ahora hacemos
>
> t = 5u/2
>
> nos queda
>
> (5/2)^2 int_0^1 int_(y,2-y)rq(u^2 - y^2)du dy
>
> Ahora el cambio de variable
>
> u = y cosh(v)
>
> nos deja con
>
> (5/2)^2int_0^1 int_0^V0 senh^2(v) dv dy
>
> con v0 = arccosh(2-y/y), que da
>
> (5/2)^2 int_0^1(-v0/2 + senh(2v0)/4) dy =
>
> = (5/2)^2 int_0^1(-arccosh((2-y)/y)/2 + 2rq(1-y)/y^2 - rq(1-y)/y)dy
>
> Esta integral que, si no me equivoco, se puede hacer por partes. El
> resultado final, según el Mathematica, es
>
> 50/9
>
> --
>
> Antonio


Como se trata de una integral doble, lo más fácil es hacer un cambio
de variables en R^2.
Este cambio está sugerido por los factores que aparecen en la raíz.
Así pues, hagamos x+4y = u, x-y=v.
La región R={ (x,y) : 0<y<1 , y < x < 5-4y} se convierte mediante
dicho cambio en la región R' = { (u,v) : 0<u<5, 0<v<u} (basta hacer el
dibujo de R y describir su frontera en términos de u y v).

Por la fórmula del cambio de variables, la integral se escribe como

int_0^5 int_0^u (1/5) sqrt(uv) du dv

[el término 1/5 corresponde al jacobiano de la transformación]

Esa integral es inmediata (se resuelve directamente por iteración) y
el resultado es, efectivamente, 50/9.

Saludos,
(Pedro)

On 7 abr, 23:27, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> antika...***gmail.com escribió:
>
> > Estoy pretendiendo calcular a mano la integral doble siguiente:
>
> > Int(0,1)Int(y,5-4y)rq((x-y)(x+4y))dxdy
>
> > Se produce tal enredo que, aunque sé hacerlo, no me parece razonable
> > tanta complicación. Intuyo que tiene que haber un camino más sencillo.
>
> Suele ser buena idea buscarse el término medio.
>
> Sea
>
> t = x + 3y/2
>
> que nos deja la integral como
>
> int_0^1 int_(5y/2,5-5y/2) rq((t-5y/2)(t+5y/2))dt dy
>
> si ahora hacemos
>
> t = 5u/2
>
> nos queda
>
> (5/2)^2 int_0^1 int_(y,2-y)rq(u^2 - y^2)du dy
>
> Ahora el cambio de variable
>
> u = y cosh(v)
>
> nos deja con
>
> (5/2)^2int_0^1 int_0^V0 senh^2(v) dv dy
>
> con v0 = arccosh(2-y/y), que da
>
> (5/2)^2 int_0^1(-v0/2 + senh(2v0)/4) dy =
>
> = (5/2)^2 int_0^1(-arccosh((2-y)/y)/2 + 2rq(1-y)/y^2 - rq(1-y)/y)dy
>
> Esta integral que, si no me equivoco, se puede hacer por partes. El
> resultado final, según el Mathematica, es
>
> 50/9
>
> --
>
> Antonio


Como se trata de una integral doble, lo más fácil es hacer un cambio
de variables en R^2.
Este cambio está sugerido por los factores que aparecen en la raíz.
Así pues, hagamos x+4y = u, x-y=v.
La región R={ (x,y) : 0<y<1 , y < x < 5-4y} se convierte mediante
dicho cambio en la región R' = { (u,v) : 0<u<5, 0<v<u} (basta hacer el
dibujo de R y describir su frontera en términos de u y v).

Por la fórmula del cambio de variables, la integral se escribe como

int_0^5 int_0^u (1/5) sqrt(uv) du dv

[el término 1/5 corresponde al jacobiano de la transformación]

Esa integral es inmediata (se resuelve directamente por iteración) y
el resultado es, efectivamente, 50/9.

Saludos,
(Pedro)