On 8 abr, 17:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> On 8 abr, 15:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
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> > "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el mensajenews:6efd4e3b-b7ac-40d5-a9c4-5c8469422ae6***m36g2000hse.googlegroups.com...
> > On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > > ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC tal que AP=2CP.
> > > BP=1. Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> > > Saludos
> > > León-Sotelo
>
> > Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
> > = PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A
>
> > Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP
>
> > 1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A
>
> > cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2
>
> > Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2
>
> > Por tanto debemos de estudiar la expresión
>
> > 81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
> > 1)^2/144x^4)
>
> > simplificando:
>
> > [ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
> > - 1)
>
> > 1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)
>
> > Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
> > polinomio tiene máximos absolutos
> > en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.
>
> > Operando
>
> > [ABC]^2 = 144/25
>
> > y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5
>
> > PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
> > haya algún atajo.
>
> > Saludos.
>
> > A mí no me sale eso.
> > Llamo 2x a la base del triángulo isósceles. Sea ***"y" su altura.
> > Situemos el origen de coordenadas en la mitad de la base
> > del triángulo.
> > El punto P tiene por abscisa ***x - (1/3)x ***= 2x/3 ***y por
> > ordenada ***(1/3)y.
>
> > Teorema de Pitágoras : ***(x + 2x/3)^2 + [(1/3)y]^2 = 1
>
> > Luego, ***y = ***sqrt(9-25x^2)
>
> > S= (1/2)2xy = x*sqrt(9-25x^2)
>
> > S' = 0 *** ==> ***x ***= ***3 / ( 5*sqrt(2) )
>
> > S( 3 / ( 5*sqrt(2) ) ) = ***9/10 *** ***sería la superficie máxima..
>
> > Saludos,
>
> Sí,es que me he confundido.Realmente me he comido al operar un 81 por
> lo que la expresión correcta para el área al cuadrado del triángulo
> es :
>
> [ABC]^2 = 81/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)
>
> El máximo absoluto se sigue alcanzando en rq(13)/5 por supuesto,pero
> el valor máximo entonces sí que es 9/10 como tú también has obtenido.
>
> Saludos.- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Trazamos la altura desde A que corta a BC en R.El simétrico del punto
P respecto a la altura AR es el punto Q situado en AB.Equilibramos el
triangulo respecto a las cevianas CQ y BP que se cortan en el punto
O.Colocamos una masa de 1 en A con lo que en B Y C van masas de 2.Con
ello las masas respectivas en P,Q,R y O son 3,3,4 y 5.
OB=OC=(3/5)*(BP)=(3/5)*1=3/5
RO=(1/5)*AR por lo que el area de ABC es 5 veces el area de BOC.
[ABC]=5*[BOC]=5*(1/2)*(3/5)*(3/5)*sen(BOC) que es máxima cuando este
seno vale 1 con lo que [ABC]=9/10

León-Sotelo