ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC tal que AP=2CP.
BP=1. Hallar el máxima area posible de ABC.

Saludos
León-Sotelo

On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC ***tal que AP=2CP.
> BP=1. ***Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
= PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A

Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP

1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A

cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2

Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2

Por tanto debemos de estudiar la expresión

81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
1)^2/144x^4)

simplificando:

[ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
- 1)

1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)

Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
polinomio tiene máximos absolutos
en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.

Operando

[ABC]^2 = 144/25

y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5

PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
haya algún atajo.

Saludos.

On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC ***tal que AP=2CP.
> BP=1. ***Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
= PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A

Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP

1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A

cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2

Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2

Por tanto debemos de estudiar la expresión

81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
1)^2/144x^4)

simplificando:

[ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
- 1)

1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)

Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
polinomio tiene máximos absolutos
en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.

Operando

[ABC]^2 = 144/25

y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5

PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
haya algún atajo.

Saludos.

On 8 abr, 10:39, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC ***tal que AP=2CP.
> > BP=1. ***Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
> = PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A
>
> Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP
>
> 1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A
>
> cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2
>
> Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2
>
> Por tanto debemos de estudiar la expresión
>
> 81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
> 1)^2/144x^4)
>
> simplificando:
>
> [ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
> - 1)
>
> 1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)
>
> Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
> polinomio tiene máximos absolutos
> en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.
>
> Operando
>
> [ABC]^2 = 144/25
>
> y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5
>
> PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
> haya algún atajo.
>
> Saludos.

Generalmente suelo mas o menos intentar hacer, si puedo el problema
que pongo y luego veo su solución o espero la vuestra.A este le he
perdido la pista de donde lo tomé anoche y me esperan en la puerta
para comer, pero esta tarde con tiempo lo encuentro.No me acuerdo
exactamente de la solución con atajo pero era "colgando pesitas".

Saludos
León-Sotelo

On 8 abr, 10:39, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC ***tal que AP=2CP.
> > BP=1. ***Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
> = PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A
>
> Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP
>
> 1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A
>
> cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2
>
> Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2
>
> Por tanto debemos de estudiar la expresión
>
> 81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
> 1)^2/144x^4)
>
> simplificando:
>
> [ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
> - 1)
>
> 1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)
>
> Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
> polinomio tiene máximos absolutos
> en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.
>
> Operando
>
> [ABC]^2 = 144/25
>
> y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5
>
> PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
> haya algún atajo.
>
> Saludos.

Generalmente suelo mas o menos intentar hacer, si puedo el problema
que pongo y luego veo su solución o espero la vuestra.A este le he
perdido la pista de donde lo tomé anoche y me esperan en la puerta
para comer, pero esta tarde con tiempo lo encuentro.No me acuerdo
exactamente de la solución con atajo pero era "colgando pesitas".

Saludos
León-Sotelo

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:6efd4e3b-b7ac-40d5-a9c4-5c8469422ae6***m36g2000hse.googlegroups.com...
On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC tal que AP=2CP.
> BP=1. Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
= PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A

Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP

1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A

cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2

Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2

Por tanto debemos de estudiar la expresión

81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
1)^2/144x^4)

simplificando:

[ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
- 1)

1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)

Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
polinomio tiene máximos absolutos
en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.

Operando

[ABC]^2 = 144/25

y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5

PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
haya algún atajo.

Saludos.


A mí no me sale eso.
Llamo 2x a la base del triángulo isósceles. Sea "y" su altura.
Situemos el origen de coordenadas en la mitad de la base
del triángulo.
El punto P tiene por abscisa x - (1/3)x = 2x/3 y por
ordenada (1/3)y.

Teorema de Pitágoras : (x + 2x/3)^2 + [(1/3)y]^2 = 1

Luego, y = sqrt(9-25x^2)

S= (1/2)2xy = x*sqrt(9-25x^2)

S' = 0 ==> x = 3 / ( 5*sqrt(2) )

S( 3 / ( 5*sqrt(2) ) ) = 9/10 sería la superficie máxima.

Saludos,

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:6efd4e3b-b7ac-40d5-a9c4-5c8469422ae6***m36g2000hse.googlegroups.com...
On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC tal que AP=2CP.
> BP=1. Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
= PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A

Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP

1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A

cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2

Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2

Por tanto debemos de estudiar la expresión

81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
1)^2/144x^4)

simplificando:

[ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
- 1)

1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)

Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
polinomio tiene máximos absolutos
en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.

Operando

[ABC]^2 = 144/25

y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5

PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
haya algún atajo.

Saludos.


A mí no me sale eso.
Llamo 2x a la base del triángulo isósceles. Sea "y" su altura.
Situemos el origen de coordenadas en la mitad de la base
del triángulo.
El punto P tiene por abscisa x - (1/3)x = 2x/3 y por
ordenada (1/3)y.

Teorema de Pitágoras : (x + 2x/3)^2 + [(1/3)y]^2 = 1

Luego, y = sqrt(9-25x^2)

S= (1/2)2xy = x*sqrt(9-25x^2)

S' = 0 ==> x = 3 / ( 5*sqrt(2) )

S( 3 / ( 5*sqrt(2) ) ) = 9/10 sería la superficie máxima.

Saludos,

On 8 abr, 15:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el mensajenews:6efd4e3b-b7ac-40d5-a9c4-5c8469422ae6***m36g2000hse.googlegroups.com...
> On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC tal que AP=2CP.
> > BP=1. Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
> = PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A
>
> Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP
>
> 1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A
>
> cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2
>
> Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2
>
> Por tanto debemos de estudiar la expresión
>
> 81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
> 1)^2/144x^4)
>
> simplificando:
>
> [ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
> - 1)
>
> 1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)
>
> Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
> polinomio tiene máximos absolutos
> en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.
>
> Operando
>
> [ABC]^2 = 144/25
>
> y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5
>
> PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
> haya algún atajo.
>
> Saludos.
>
> A mí no me sale eso.
> Llamo 2x a la base del triángulo isósceles. Sea ***"y" su altura.
> Situemos el origen de coordenadas en la mitad de la base
> del triángulo.
> El punto P tiene por abscisa ***x - (1/3)x ***= 2x/3 ***y por
> ordenada ***(1/3)y.
>
> Teorema de Pitágoras : ***(x + 2x/3)^2 + [(1/3)y]^2 = 1
>
> Luego, ***y = ***sqrt(9-25x^2)
>
> S= (1/2)2xy = x*sqrt(9-25x^2)
>
> S' = 0 *** ==> ***x ***= ***3 / ( 5*sqrt(2) )
>
> S( 3 / ( 5*sqrt(2) ) ) = ***9/10 *** ***sería la superficie máxima.
>
> Saludos,

Sí,es que me he confundido.Realmente me he comido al operar un 81 por
lo que la expresión correcta para el área al cuadrado del triángulo
es :

[ABC]^2 = 81/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)

El máximo absoluto se sigue alcanzando en rq(13)/5 por supuesto,pero
el valor máximo entonces sí que es 9/10 como tú también has obtenido..

Saludos.

On 8 abr, 15:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el mensajenews:6efd4e3b-b7ac-40d5-a9c4-5c8469422ae6***m36g2000hse.googlegroups.com...
> On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC tal que AP=2CP.
> > BP=1. Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
> = PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A
>
> Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP
>
> 1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A
>
> cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2
>
> Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2
>
> Por tanto debemos de estudiar la expresión
>
> 81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
> 1)^2/144x^4)
>
> simplificando:
>
> [ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
> - 1)
>
> 1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)
>
> Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
> polinomio tiene máximos absolutos
> en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.
>
> Operando
>
> [ABC]^2 = 144/25
>
> y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5
>
> PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
> haya algún atajo.
>
> Saludos.
>
> A mí no me sale eso.
> Llamo 2x a la base del triángulo isósceles. Sea ***"y" su altura.
> Situemos el origen de coordenadas en la mitad de la base
> del triángulo.
> El punto P tiene por abscisa ***x - (1/3)x ***= 2x/3 ***y por
> ordenada ***(1/3)y.
>
> Teorema de Pitágoras : ***(x + 2x/3)^2 + [(1/3)y]^2 = 1
>
> Luego, ***y = ***sqrt(9-25x^2)
>
> S= (1/2)2xy = x*sqrt(9-25x^2)
>
> S' = 0 *** ==> ***x ***= ***3 / ( 5*sqrt(2) )
>
> S( 3 / ( 5*sqrt(2) ) ) = ***9/10 *** ***sería la superficie máxima.
>
> Saludos,

Sí,es que me he confundido.Realmente me he comido al operar un 81 por
lo que la expresión correcta para el área al cuadrado del triángulo
es :

[ABC]^2 = 81/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)

El máximo absoluto se sigue alcanzando en rq(13)/5 por supuesto,pero
el valor máximo entonces sí que es 9/10 como tú también has obtenido..

Saludos.

On 8 abr, 17:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> On 8 abr, 15:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
>
>
>
>
>
> > "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el mensajenews:6efd4e3b-b7ac-40d5-a9c4-5c8469422ae6***m36g2000hse.googlegroups.com...
> > On 8 abr, 09:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
>
> > > ABC es isósceles con AB=AC. P es un punto en AC tal que AP=2CP.
> > > BP=1. Hallar el máxima area posible de ABC.
>
> > > Saludos
> > > León-Sotelo
>
> > Si denotamos por <A al ángulo comprendido entre los lados AB y AC y x
> > = PC tendremos que [ABC] = 1/2(3x)^2sen<A = 1/2·9x^2·sen<A
>
> > Por otra parte,aplicando el teorema del coseno al triángulo ABP
>
> > 1^2 = 9x^2 + 4x^2 - 12x^2cos<A
>
> > cos<A = (13x^2 - 1)/12x^2
>
> > Para maximizar el área de ABC basta maximizar su cuadrado [ABC]^2
>
> > Por tanto debemos de estudiar la expresión
>
> > 81/4x^4(sen<A)^2 = 81/4x^4(1 - (cos<A)^2) = 81/4x^4(1 - (13x^2 -
> > 1)^2/144x^4)
>
> > simplificando:
>
> > [ABC]^2 = 1/64(144x^4 - (13x^2 - 1)^2) = 1/64(144x^4 - 169x^4 + 26x^2
> > - 1)
>
> > 1/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)
>
> > Se puede comprobar entonces usando la derivada que el anterior
> > polinomio tiene máximos absolutos
> > en x = +-rq(13)/5.El valor válido en nuestro caso es rq(13)/5.
>
> > Operando
>
> > [ABC]^2 = 144/25
>
> > y por tanto el máximo valor es [ABC] = 12/5
>
> > PD: Me da que sale un resultado demasiado redondo como para que no
> > haya algún atajo.
>
> > Saludos.
>
> > A mí no me sale eso.
> > Llamo 2x a la base del triángulo isósceles. Sea ***"y" su altura.
> > Situemos el origen de coordenadas en la mitad de la base
> > del triángulo.
> > El punto P tiene por abscisa ***x - (1/3)x ***= 2x/3 ***y por
> > ordenada ***(1/3)y.
>
> > Teorema de Pitágoras : ***(x + 2x/3)^2 + [(1/3)y]^2 = 1
>
> > Luego, ***y = ***sqrt(9-25x^2)
>
> > S= (1/2)2xy = x*sqrt(9-25x^2)
>
> > S' = 0 *** ==> ***x ***= ***3 / ( 5*sqrt(2) )
>
> > S( 3 / ( 5*sqrt(2) ) ) = ***9/10 *** ***sería la superficie máxima..
>
> > Saludos,
>
> Sí,es que me he confundido.Realmente me he comido al operar un 81 por
> lo que la expresión correcta para el área al cuadrado del triángulo
> es :
>
> [ABC]^2 = 81/64(-25x^4 + 26x^2 - 1)
>
> El máximo absoluto se sigue alcanzando en rq(13)/5 por supuesto,pero
> el valor máximo entonces sí que es 9/10 como tú también has obtenido.
>
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Trazamos la altura desde A que corta a BC en R.El simétrico del punto
P respecto a la altura AR es el punto Q situado en AB.Equilibramos el
triangulo respecto a las cevianas CQ y BP que se cortan en el punto
O.Colocamos una masa de 1 en A con lo que en B Y C van masas de 2.Con
ello las masas respectivas en P,Q,R y O son 3,3,4 y 5.
OB=OC=(3/5)*(BP)=(3/5)*1=3/5
RO=(1/5)*AR por lo que el area de ABC es 5 veces el area de BOC.
[ABC]=5*[BOC]=5*(1/2)*(3/5)*(3/5)*sen(BOC) que es máxima cuando este
seno vale 1 con lo que [ABC]=9/10

León-Sotelo