Hola.
Encontrar todos los subgrupos de Z/16.

Por el teorema de Lagrange, el órden de un subgrupo de Z/16 tiene que ser un
divisor de 16, es decir, puede tener 2, 4, u 8 elementos.

¿Cómo los saco a partir de aqui?.

Muchas gracias.

On 2008-04-08, conchi <conchivgr***gmail.com> wrote:
> Hola.
> Encontrar todos los subgrupos de Z/16.
>
> Por el teorema de Lagrange, el órden de un subgrupo de Z/16 tiene que ser un
> divisor de 16, es decir, puede tener 2, 4, u 8 elementos.
>
> ¿Cómo los saco a partir de aqui?.

Probando todas las combinaciones, jjejeee

Bueno, más en serio. Tomemos un elemento, por ejemplo el 4.
Supongamos que pertenece al subgrupo. Entonces también pertenecerán
el 8 = 4+4 y el 0 = 8+4.

Si repites lo mismo con varios elementos verás salen algunos grupos.
De ahí quizá puedas extraer conclusiones.

Un saludo.

On 2008-04-08, conchi <conchivgr***gmail.com> wrote:
> Hola.
> Encontrar todos los subgrupos de Z/16.
>
> Por el teorema de Lagrange, el órden de un subgrupo de Z/16 tiene que ser un
> divisor de 16, es decir, puede tener 2, 4, u 8 elementos.
>
> ¿Cómo los saco a partir de aqui?.

Probando todas las combinaciones, jjejeee

Bueno, más en serio. Tomemos un elemento, por ejemplo el 4.
Supongamos que pertenece al subgrupo. Entonces también pertenecerán
el 8 = 4+4 y el 0 = 8+4.

Si repites lo mismo con varios elementos verás salen algunos grupos.
De ahí quizá puedas extraer conclusiones.

Un saludo.

conchi wrote:
> Hola.
> Encontrar todos los subgrupos de Z/16.
>
> Por el teorema de Lagrange, el órden de un subgrupo de Z/16 tiene que
> ser un divisor de 16, es decir, puede tener 2, 4, u 8 elementos.
>
> ¿Cómo los saco a partir de aqui?.
>
> Muchas gracias.

Empezando por el subgrupo de 1 elemento, el cero. El cero pertenece a todos
los subgrupos. Si le añades cualquier número impar, ya generas todo el grupo
Z/16.

Para dos elementos, tienes el {0, 8}, puesto que 8 + 8 = 0, isomorfo a Z/2.

Con cuatro elementos tienes a los múltiplos de 4, {0, 4, 8, 12}, isomorfo a
Z/4. Con ocho elementos todos los pares, isomorfo a Z/8, y con 16 elementos
el propio grupo.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

conchi wrote:
> Hola.
> Encontrar todos los subgrupos de Z/16.
>
> Por el teorema de Lagrange, el órden de un subgrupo de Z/16 tiene que
> ser un divisor de 16, es decir, puede tener 2, 4, u 8 elementos.
>
> ¿Cómo los saco a partir de aqui?.
>
> Muchas gracias.

Empezando por el subgrupo de 1 elemento, el cero. El cero pertenece a todos
los subgrupos. Si le añades cualquier número impar, ya generas todo el grupo
Z/16.

Para dos elementos, tienes el {0, 8}, puesto que 8 + 8 = 0, isomorfo a Z/2.

Con cuatro elementos tienes a los múltiplos de 4, {0, 4, 8, 12}, isomorfo a
Z/4. Con ocho elementos todos los pares, isomorfo a Z/8, y con 16 elementos
el propio grupo.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 9 abr, 00:56, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> conchi wrote:
> > Hola.
> > Encontrar todos los subgrupos de Z/16.
>
> > Por el teorema de Lagrange, el órden de un subgrupo de Z/16 tiene que
> > ser un divisor de 16, es decir, puede tener 2, 4, u 8 elementos.
>
> > ¿Cómo los saco a partir de aqui?.
>
> > Muchas gracias.
>
> Empezando por el subgrupo de 1 elemento, el cero. El cero pertenece a todos
> los subgrupos. Si le añades cualquier número impar, ya generas todo elgrupo
> Z/16.
>
> Para dos elementos, tienes el {0, 8}, puesto que 8 + 8 = 0, isomorfo a Z/2.
>
> Con cuatro elementos tienes a los múltiplos de 4, {0, 4, 8, 12}, isomorfo a
> Z/4. Con ocho elementos todos los pares, isomorfo a Z/8, y con 16 elementos
> el propio grupo.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

Hola. Estoy empezando con la Teoría de Grupos y de momento es todo
nuevo y extraño para mi. Lo digo por si mis dudas son triviales para
los expertos en el tema.

Alguna duda.

1.- Cuando dices que añadiendo a 0 cualquier número impar generas todo
Z/16, ¿a qué te refieres?. Si al 0 le añadimos el 5, por ejemplo,
¿cómo se genera Z/16?.

2.- La clase Z/16 es la clase de restos módulo 16. ¿Por qué sumas 8 +
8, en lugar de multiplicar?. ¿Por qué {0,4} no es subgrupo, ya que
4·4=16?.

Es decir, {0,1,2,3} no es subgrupo porque, por ejemplo, 2·3=6 que no
pertenece a {0,1,2,3}, pero con {0,4} no ocurre esto. Sin embargo, sin
ser {0,1,2,3} = Z/4 subgrupo de Z/16, {0,4,8,12} si es subgrupo y es
isomorfo a Z/4. ¿Por qué?.

Muchas gracias.

On 9 abr, 00:56, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> conchi wrote:
> > Hola.
> > Encontrar todos los subgrupos de Z/16.
>
> > Por el teorema de Lagrange, el órden de un subgrupo de Z/16 tiene que
> > ser un divisor de 16, es decir, puede tener 2, 4, u 8 elementos.
>
> > ¿Cómo los saco a partir de aqui?.
>
> > Muchas gracias.
>
> Empezando por el subgrupo de 1 elemento, el cero. El cero pertenece a todos
> los subgrupos. Si le añades cualquier número impar, ya generas todo elgrupo
> Z/16.
>
> Para dos elementos, tienes el {0, 8}, puesto que 8 + 8 = 0, isomorfo a Z/2.
>
> Con cuatro elementos tienes a los múltiplos de 4, {0, 4, 8, 12}, isomorfo a
> Z/4. Con ocho elementos todos los pares, isomorfo a Z/8, y con 16 elementos
> el propio grupo.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

Hola. Estoy empezando con la Teoría de Grupos y de momento es todo
nuevo y extraño para mi. Lo digo por si mis dudas son triviales para
los expertos en el tema.

Alguna duda.

1.- Cuando dices que añadiendo a 0 cualquier número impar generas todo
Z/16, ¿a qué te refieres?. Si al 0 le añadimos el 5, por ejemplo,
¿cómo se genera Z/16?.

2.- La clase Z/16 es la clase de restos módulo 16. ¿Por qué sumas 8 +
8, en lugar de multiplicar?. ¿Por qué {0,4} no es subgrupo, ya que
4·4=16?.

Es decir, {0,1,2,3} no es subgrupo porque, por ejemplo, 2·3=6 que no
pertenece a {0,1,2,3}, pero con {0,4} no ocurre esto. Sin embargo, sin
ser {0,1,2,3} = Z/4 subgrupo de Z/16, {0,4,8,12} si es subgrupo y es
isomorfo a Z/4. ¿Por qué?.

Muchas gracias.

CochiVgr wrote:
> On 9 abr, 00:56, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> conchi wrote:
>>> Hola.
>>> Encontrar todos los subgrupos de Z/16.
>>
>>> Por el teorema de Lagrange, el órden de un subgrupo de Z/16 tiene
>>> que ser un divisor de 16, es decir, puede tener 2, 4, u 8 elementos.
>>
>>> ¿Cómo los saco a partir de aqui?.
>>
>>> Muchas gracias.
>>
>> Empezando por el subgrupo de 1 elemento, el cero. El cero pertenece
>> a todos los subgrupos. Si le añades cualquier número impar, ya
>> generas todo el grupo Z/16.
>>
>> Para dos elementos, tienes el {0, 8}, puesto que 8 + 8 = 0, isomorfo
>> a Z/2.
>>
>> Con cuatro elementos tienes a los múltiplos de 4, {0, 4, 8, 12},
>> isomorfo a Z/4. Con ocho elementos todos los pares, isomorfo a Z/8,
>> y con 16 elementos el propio grupo.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Hola. Estoy empezando con la Teoría de Grupos y de momento es todo
> nuevo y extraño para mi. Lo digo por si mis dudas son triviales para
> los expertos en el tema.
>
> Alguna duda.
>
> 1.- Cuando dices que añadiendo a 0 cualquier número impar generas todo
> Z/16, ¿a qué te refieres?. Si al 0 le añadimos el 5, por ejemplo,
> ¿cómo se genera Z/16?.

Antes que nada, supongo que hablamos de grupo respecto de la suma. Más que
nada, porque Z/16 no es un grupo, pues los pares no tienen inverso.

Entonces al ser 5, y en general cualquier impar, primos con 16, siempre
tiene solución la ecuación lineal

5a + 16b = 1

y multiplicando por c,

5ac + 16bc = c

por lo que todos serán multiplos de 5 (mod 16):

5 = 5
5 + 5 = 10 (mod 16)
10 + 5 = 15 (mod 16)
15 + 5 = 20 = 4 (mod 16)
4 + 5 = 9 (mod 16)
9 + 5 = 14 (mod 16)
14 + 5 = 19 = 3 (mod 16)
3 + 5 = 8 (mod 16)
8 + 5 = 13 (mod 16)
13 + 5 = 18 = 2 (mod 16)
2 + 5 = 7 (mod 16)
7 + 5 = 12 (mod 16)
12 + 5 = 17 = 1 (mod 16)
1 + 5 = 6 (mod 16)
6 + 5= 11 (mod 16)
11 + 5 = 16 = 0 (mod 16)



> 2.- La clase Z/16 es la clase de restos módulo 16. ¿Por qué sumas 8 +
> 8, en lugar de multiplicar?. ¿Por qué {0,4} no es subgrupo, ya que
> 4·4=16?.

{0, 4} no es un subgrupo porque no es cerrado: 4 + 4 = 8. El subgrupo mínimo
que lo contiene es {0, 4, 8, 12}

Todos los subgrupos son entonces:

De 1 elemento {0}

De 2 elementos; {0, 8}

De 4 elementos: {0, 4, 8, 12}

De 8 elementos: {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

De 16 elementos: todo Z/16


> Es decir, {0,1,2,3} no es subgrupo porque, por ejemplo, 2·3=6 que no
> pertenece a {0,1,2,3}, pero con {0,4} no ocurre esto.

Estamos siempre hablando de grupo respecto de la suma. No sería subgrupo
porque 2 + 3 = 5, que no pertenece al subconjunto.

> Sin embargo, sin
> ser {0,1,2,3} = Z/4 subgrupo de Z/16, {0,4,8,12} si es subgrupo y es
> isomorfo a Z/4. ¿Por qué?.

Porqué la aplicación que lleva de Z/4 en {0, 4, 8, 12}(subconjunto de Z/16),
es un isomorfismo. Es decir, verifica que

f(a + b) = f(a) + f(b)

además de ser inyectivo y suprayectivo.



--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

CochiVgr wrote:
> On 9 abr, 00:56, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> conchi wrote:
>>> Hola.
>>> Encontrar todos los subgrupos de Z/16.
>>
>>> Por el teorema de Lagrange, el órden de un subgrupo de Z/16 tiene
>>> que ser un divisor de 16, es decir, puede tener 2, 4, u 8 elementos.
>>
>>> ¿Cómo los saco a partir de aqui?.
>>
>>> Muchas gracias.
>>
>> Empezando por el subgrupo de 1 elemento, el cero. El cero pertenece
>> a todos los subgrupos. Si le añades cualquier número impar, ya
>> generas todo el grupo Z/16.
>>
>> Para dos elementos, tienes el {0, 8}, puesto que 8 + 8 = 0, isomorfo
>> a Z/2.
>>
>> Con cuatro elementos tienes a los múltiplos de 4, {0, 4, 8, 12},
>> isomorfo a Z/4. Con ocho elementos todos los pares, isomorfo a Z/8,
>> y con 16 elementos el propio grupo.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Hola. Estoy empezando con la Teoría de Grupos y de momento es todo
> nuevo y extraño para mi. Lo digo por si mis dudas son triviales para
> los expertos en el tema.
>
> Alguna duda.
>
> 1.- Cuando dices que añadiendo a 0 cualquier número impar generas todo
> Z/16, ¿a qué te refieres?. Si al 0 le añadimos el 5, por ejemplo,
> ¿cómo se genera Z/16?.

Antes que nada, supongo que hablamos de grupo respecto de la suma. Más que
nada, porque Z/16 no es un grupo, pues los pares no tienen inverso.

Entonces al ser 5, y en general cualquier impar, primos con 16, siempre
tiene solución la ecuación lineal

5a + 16b = 1

y multiplicando por c,

5ac + 16bc = c

por lo que todos serán multiplos de 5 (mod 16):

5 = 5
5 + 5 = 10 (mod 16)
10 + 5 = 15 (mod 16)
15 + 5 = 20 = 4 (mod 16)
4 + 5 = 9 (mod 16)
9 + 5 = 14 (mod 16)
14 + 5 = 19 = 3 (mod 16)
3 + 5 = 8 (mod 16)
8 + 5 = 13 (mod 16)
13 + 5 = 18 = 2 (mod 16)
2 + 5 = 7 (mod 16)
7 + 5 = 12 (mod 16)
12 + 5 = 17 = 1 (mod 16)
1 + 5 = 6 (mod 16)
6 + 5= 11 (mod 16)
11 + 5 = 16 = 0 (mod 16)



> 2.- La clase Z/16 es la clase de restos módulo 16. ¿Por qué sumas 8 +
> 8, en lugar de multiplicar?. ¿Por qué {0,4} no es subgrupo, ya que
> 4·4=16?.

{0, 4} no es un subgrupo porque no es cerrado: 4 + 4 = 8. El subgrupo mínimo
que lo contiene es {0, 4, 8, 12}

Todos los subgrupos son entonces:

De 1 elemento {0}

De 2 elementos; {0, 8}

De 4 elementos: {0, 4, 8, 12}

De 8 elementos: {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

De 16 elementos: todo Z/16


> Es decir, {0,1,2,3} no es subgrupo porque, por ejemplo, 2·3=6 que no
> pertenece a {0,1,2,3}, pero con {0,4} no ocurre esto.

Estamos siempre hablando de grupo respecto de la suma. No sería subgrupo
porque 2 + 3 = 5, que no pertenece al subconjunto.

> Sin embargo, sin
> ser {0,1,2,3} = Z/4 subgrupo de Z/16, {0,4,8,12} si es subgrupo y es
> isomorfo a Z/4. ¿Por qué?.

Porqué la aplicación que lleva de Z/4 en {0, 4, 8, 12}(subconjunto de Z/16),
es un isomorfismo. Es decir, verifica que

f(a + b) = f(a) + f(b)

además de ser inyectivo y suprayectivo.



--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com