Pues más de geometría sencillita:

Sea ABCD un paralelogramo cualquiera. Se escogen puntos X, Y, Z y T en cada
uno de sus lados, de manera que el cuadrilátero que definen tiene la mitad
de área que el paralelogramo. Hay que probar que al menos una de sus
diagonales es paralela a dos de los lados del paralelogramo.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 9 abr, 13:19, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Pues más de geometría sencillita:
>
> Sea ABCD un paralelogramo cualquiera. Se escogen puntos X, Y, Z y T en cada
> uno de sus lados, de manera que el cuadrilátero que definen tiene la mitad
> de área que el paralelogramo. Hay que probar ***que al menos una de sus
> diagonales es paralela a dos de los lados del paralelogramo.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com



Veamos el resultado para un cuadrado de lado 1.
Para referenciarlo lo coloco en los ejes coordenados en la parte
positiva (x >0,y > 0).
Los vértices del cuadrilátero ABCD los coloco de forma que:

A = (x,0)
B = (1,t)
C = (z,1)
D = (0,y)

El área del cuadrilátero será el área del cuadrado : 1 menos el área
de los cuatro triángulos rectángulos que quedan con catetos situados
en los lados del cuadrado.
Si suponemos que [ABCD] = 1/2 tendremos que:

1 - 1/2(xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t) = 1/2

Es decir:

xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t = 1

y simplificando:

xy + tz - tx - yz = 0

x(y - t) + z(t - y) = 0

(x - z)(y - t) = 0

Luego ,efectivamente,en este caso particular de un un paralelogramo/
cuadrado de lado 1 se cumple el resultado.
Para un paralelogramo genérico se aplican las transformaciones esas a
las que de vez en cuando se refiere Ignacio y de las que ya no
recuerdo nada y sale.


Ahora bien,¿existe un demostración más sintética y menos algebraica de
este resultado?Es que esta forma de resolverlo no me gusta nada.

Saludos.

On 9 abr, 13:19, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Pues más de geometría sencillita:
>
> Sea ABCD un paralelogramo cualquiera. Se escogen puntos X, Y, Z y T en cada
> uno de sus lados, de manera que el cuadrilátero que definen tiene la mitad
> de área que el paralelogramo. Hay que probar ***que al menos una de sus
> diagonales es paralela a dos de los lados del paralelogramo.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com



Veamos el resultado para un cuadrado de lado 1.
Para referenciarlo lo coloco en los ejes coordenados en la parte
positiva (x >0,y > 0).
Los vértices del cuadrilátero ABCD los coloco de forma que:

A = (x,0)
B = (1,t)
C = (z,1)
D = (0,y)

El área del cuadrilátero será el área del cuadrado : 1 menos el área
de los cuatro triángulos rectángulos que quedan con catetos situados
en los lados del cuadrado.
Si suponemos que [ABCD] = 1/2 tendremos que:

1 - 1/2(xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t) = 1/2

Es decir:

xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t = 1

y simplificando:

xy + tz - tx - yz = 0

x(y - t) + z(t - y) = 0

(x - z)(y - t) = 0

Luego ,efectivamente,en este caso particular de un un paralelogramo/
cuadrado de lado 1 se cumple el resultado.
Para un paralelogramo genérico se aplican las transformaciones esas a
las que de vez en cuando se refiere Ignacio y de las que ya no
recuerdo nada y sale.


Ahora bien,¿existe un demostración más sintética y menos algebraica de
este resultado?Es que esta forma de resolverlo no me gusta nada.

Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> On 9 abr, 13:19, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Pues más de geometría sencillita:
>>
>> Sea ABCD un paralelogramo cualquiera. Se escogen puntos X, Y, Z y T
>> en cada uno de sus lados, de manera que el cuadrilátero que definen
>> tiene la mitad de área que el paralelogramo. Hay que probar que al
>> menos una de sus diagonales es paralela a dos de los lados del
>> paralelogramo.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
>
>
> Veamos el resultado para un cuadrado de lado 1.
> Para referenciarlo lo coloco en los ejes coordenados en la parte
> positiva (x >0,y > 0).
> Los vértices del cuadrilátero ABCD los coloco de forma que:
>
> A = (x,0)
> B = (1,t)
> C = (z,1)
> D = (0,y)
>
> El área del cuadrilátero será el área del cuadrado : 1 menos el área
> de los cuatro triángulos rectángulos que quedan con catetos situados
> en los lados del cuadrado.
> Si suponemos que [ABCD] = 1/2 tendremos que:
>
> 1 - 1/2(xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t) = 1/2
>
> Es decir:
>
> xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t = 1
>
> y simplificando:
>
> xy + tz - tx - yz = 0
>
> x(y - t) + z(t - y) = 0
>
> (x - z)(y - t) = 0
>
> Luego ,efectivamente,en este caso particular de un un paralelogramo/
> cuadrado de lado 1 se cumple el resultado.
> Para un paralelogramo genérico se aplican las transformaciones esas a
> las que de vez en cuando se refiere Ignacio y de las que ya no
> recuerdo nada y sale.
>
>
> Ahora bien,¿existe un demostración más sintética y menos algebraica de
> este resultado?Es que esta forma de resolverlo no me gusta nada.

Supongamos que TY no es paralelo a AB, T en DA e Y en BC. Escogemos U en BC
de manera que TU sea paralelo a AB. Entonces claramente (TUX) = (1/2)(TABU)
y (TUC) = (1/2)(TUCD), haciendo que (XUZT) = (1/2)(ABCD).

Pero los cuadriláteros XUZT y XYZT tienen la misma área, (1/2)(ABCD), y
comparten el triángulo (TXZ). Por tanto,

(XYZ) = (XUZ)

Como estos dos triángulos comparten la base XZ, su altura debe ser la misma,
por lo que XZ // BC

Por tanto, al menos una de las diagonales es paralela a los lados
correspondientes del paralelogramo ABCD.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> On 9 abr, 13:19, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Pues más de geometría sencillita:
>>
>> Sea ABCD un paralelogramo cualquiera. Se escogen puntos X, Y, Z y T
>> en cada uno de sus lados, de manera que el cuadrilátero que definen
>> tiene la mitad de área que el paralelogramo. Hay que probar que al
>> menos una de sus diagonales es paralela a dos de los lados del
>> paralelogramo.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
>
>
> Veamos el resultado para un cuadrado de lado 1.
> Para referenciarlo lo coloco en los ejes coordenados en la parte
> positiva (x >0,y > 0).
> Los vértices del cuadrilátero ABCD los coloco de forma que:
>
> A = (x,0)
> B = (1,t)
> C = (z,1)
> D = (0,y)
>
> El área del cuadrilátero será el área del cuadrado : 1 menos el área
> de los cuatro triángulos rectángulos que quedan con catetos situados
> en los lados del cuadrado.
> Si suponemos que [ABCD] = 1/2 tendremos que:
>
> 1 - 1/2(xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t) = 1/2
>
> Es decir:
>
> xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t = 1
>
> y simplificando:
>
> xy + tz - tx - yz = 0
>
> x(y - t) + z(t - y) = 0
>
> (x - z)(y - t) = 0
>
> Luego ,efectivamente,en este caso particular de un un paralelogramo/
> cuadrado de lado 1 se cumple el resultado.
> Para un paralelogramo genérico se aplican las transformaciones esas a
> las que de vez en cuando se refiere Ignacio y de las que ya no
> recuerdo nada y sale.
>
>
> Ahora bien,¿existe un demostración más sintética y menos algebraica de
> este resultado?Es que esta forma de resolverlo no me gusta nada.

Supongamos que TY no es paralelo a AB, T en DA e Y en BC. Escogemos U en BC
de manera que TU sea paralelo a AB. Entonces claramente (TUX) = (1/2)(TABU)
y (TUC) = (1/2)(TUCD), haciendo que (XUZT) = (1/2)(ABCD).

Pero los cuadriláteros XUZT y XYZT tienen la misma área, (1/2)(ABCD), y
comparten el triángulo (TXZ). Por tanto,

(XYZ) = (XUZ)

Como estos dos triángulos comparten la base XZ, su altura debe ser la misma,
por lo que XZ // BC

Por tanto, al menos una de las diagonales es paralela a los lados
correspondientes del paralelogramo ABCD.


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas escribió:
> On 9 abr, 13:19, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Pues más de geometría sencillita:
>>
>> Sea ABCD un paralelogramo cualquiera. Se escogen puntos X, Y, Z y T en cada
>> uno de sus lados, de manera que el cuadrilátero que definen tiene la mitad
>> de área que el paralelogramo. Hay que probar que al menos una de sus
>> diagonales es paralela a dos de los lados del paralelogramo.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
>
>
> Veamos el resultado para un cuadrado de lado 1.
> Para referenciarlo lo coloco en los ejes coordenados en la parte
> positiva (x >0,y > 0).
> Los vértices del cuadrilátero ABCD los coloco de forma que:
>
> A = (x,0)
> B = (1,t)
> C = (z,1)
> D = (0,y)
>
> El área del cuadrilátero será el área del cuadrado : 1 menos el área
> de los cuatro triángulos rectángulos que quedan con catetos situados
> en los lados del cuadrado.
> Si suponemos que [ABCD] = 1/2 tendremos que:
>
> 1 - 1/2(xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t) = 1/2
>
> Es decir:
>
> xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t = 1
>
> y simplificando:
>
> xy + tz - tx - yz = 0
>
> x(y - t) + z(t - y) = 0
>
> (x - z)(y - t) = 0
>
> Luego ,efectivamente,en este caso particular de un un paralelogramo/
> cuadrado de lado 1 se cumple el resultado.
> Para un paralelogramo genérico se aplican las transformaciones esas a
> las que de vez en cuando se refiere Ignacio y de las que ya no
> recuerdo nada y sale.
>
>
> Ahora bien,¿existe un demostración más sintética y menos algebraica de
> este resultado?Es que esta forma de resolverlo no me gusta nada.
>
> Saludos.
>
Traza paralelas a los lados del paralelogramo por los puntos X, Y, Z, T
de modo que se formen paralelogramos con diagonales XY, YZ, ZT, TX
Quedan de ese modo triángulos iguales dentro y fuera del cuadrilátero
XYZT. Además queda un paralelogramo, que solo tendrá area nula si
coinciden las palelas trazadas por X y Z, o las trazadas por Y y T

Un saludo
Pedro

Javier Esquinas escribió:
> On 9 abr, 13:19, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Pues más de geometría sencillita:
>>
>> Sea ABCD un paralelogramo cualquiera. Se escogen puntos X, Y, Z y T en cada
>> uno de sus lados, de manera que el cuadrilátero que definen tiene la mitad
>> de área que el paralelogramo. Hay que probar que al menos una de sus
>> diagonales es paralela a dos de los lados del paralelogramo.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
>
>
> Veamos el resultado para un cuadrado de lado 1.
> Para referenciarlo lo coloco en los ejes coordenados en la parte
> positiva (x >0,y > 0).
> Los vértices del cuadrilátero ABCD los coloco de forma que:
>
> A = (x,0)
> B = (1,t)
> C = (z,1)
> D = (0,y)
>
> El área del cuadrilátero será el área del cuadrado : 1 menos el área
> de los cuatro triángulos rectángulos que quedan con catetos situados
> en los lados del cuadrado.
> Si suponemos que [ABCD] = 1/2 tendremos que:
>
> 1 - 1/2(xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t) = 1/2
>
> Es decir:
>
> xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t = 1
>
> y simplificando:
>
> xy + tz - tx - yz = 0
>
> x(y - t) + z(t - y) = 0
>
> (x - z)(y - t) = 0
>
> Luego ,efectivamente,en este caso particular de un un paralelogramo/
> cuadrado de lado 1 se cumple el resultado.
> Para un paralelogramo genérico se aplican las transformaciones esas a
> las que de vez en cuando se refiere Ignacio y de las que ya no
> recuerdo nada y sale.
>
>
> Ahora bien,¿existe un demostración más sintética y menos algebraica de
> este resultado?Es que esta forma de resolverlo no me gusta nada.
>
> Saludos.
>
Traza paralelas a los lados del paralelogramo por los puntos X, Y, Z, T
de modo que se formen paralelogramos con diagonales XY, YZ, ZT, TX
Quedan de ese modo triángulos iguales dentro y fuera del cuadrilátero
XYZT. Además queda un paralelogramo, que solo tendrá area nula si
coinciden las palelas trazadas por X y Z, o las trazadas por Y y T

Un saludo
Pedro