demuestre que los puntos de Georgonne y Nagel de un triangulo son un
par de puntos conjugados isotónicos para el triangulo

dortega2005***gmail.com wrote:
> demuestre que los puntos de Georgonne y Nagel de un triangulo son un
> par de puntos conjugados isotónicos para el triangulo

Esto es inmediato, una vez aclarados los tres conceptos:

i) El punto de Gergonne es el punto de intersección de las tres cevianas
(rectas) que unen cada vértice de un triángulo con el punto de contacto de
la circunferencia inscrita con el lado opuesto.

ii) El punto de Nagel es lo mismo, pero con la circunferencia ex-inscrita,
tangente al lado opuesto y a las prolongaciones de los dos contiguos.

iii) Dos puntos se dice que son conjugados isotomicos cuando las
intersecciones de las cevianas que pasan por ellos con los lados opuestos
son simétricas respecto del punto medio de los lados.

Entonces todo se reduce a ver que la distancia de un vértice al punto de
contacto con la circunferencia inscrita, es igual a la distancia del otro
vértice de ese lado con el punto de contacto de la circunferencia
ex-inscrita correspondiente. Basta demostrarlo para uno de los lados.

Sean entonces D y E los puntos de contacto de la circunferencia inscrita y
ex-inscrita con el lado BC. Se trata entonces de ver que BE = CD. Como las
tangentes a una circunferencia trazadas desde un mismo punto son iguales,
tenemos que

AB + BE = AC + CE = s (semiperimetro)

Por tanto

BE = s - c

Por otro lado, llamando x a la distancia de A a los puntos de contacto
próximos de la cir, circunscrita, y para el vértice B y z para el C, tenemos
que

x + y + z = s

CD = z = s - (x + y) = s - c

Por tanto, BE = CD, y los puntos de Gergonne y Nagel son conjugados
isotómicos.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

dortega2005***gmail.com wrote:
> demuestre que los puntos de Georgonne y Nagel de un triangulo son un
> par de puntos conjugados isotónicos para el triangulo

Esto es inmediato, una vez aclarados los tres conceptos:

i) El punto de Gergonne es el punto de intersección de las tres cevianas
(rectas) que unen cada vértice de un triángulo con el punto de contacto de
la circunferencia inscrita con el lado opuesto.

ii) El punto de Nagel es lo mismo, pero con la circunferencia ex-inscrita,
tangente al lado opuesto y a las prolongaciones de los dos contiguos.

iii) Dos puntos se dice que son conjugados isotomicos cuando las
intersecciones de las cevianas que pasan por ellos con los lados opuestos
son simétricas respecto del punto medio de los lados.

Entonces todo se reduce a ver que la distancia de un vértice al punto de
contacto con la circunferencia inscrita, es igual a la distancia del otro
vértice de ese lado con el punto de contacto de la circunferencia
ex-inscrita correspondiente. Basta demostrarlo para uno de los lados.

Sean entonces D y E los puntos de contacto de la circunferencia inscrita y
ex-inscrita con el lado BC. Se trata entonces de ver que BE = CD. Como las
tangentes a una circunferencia trazadas desde un mismo punto son iguales,
tenemos que

AB + BE = AC + CE = s (semiperimetro)

Por tanto

BE = s - c

Por otro lado, llamando x a la distancia de A a los puntos de contacto
próximos de la cir, circunscrita, y para el vértice B y z para el C, tenemos
que

x + y + z = s

CD = z = s - (x + y) = s - c

Por tanto, BE = CD, y los puntos de Gergonne y Nagel son conjugados
isotómicos.


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com