(i) Encontrar todas las soluciones enteras de la ecuación
x^3 - 2y^3 - 4z^3 = 0

(ii) Probar que si a,b y c son números complejos de módulo 1 entonces
|ab + ac + bc| = |a + b + c|

(iii) ¿Cuál es la primera fila del triángulo de Pascal que contiene un
número divisible por 2002?

(iv) Si z es un número complejo de módulo 1 obtener el valor máximo de
la expresión
|z^3 + z^2 - z|

(v) ¿Es 3rq(3) - 2rq(6) + 7rq(5) - 5rq(10) positivo?

(vi) ¿Cuántas raices reales tiene la ecuación |senx| = 2x/(1997pi) ?

Saludos.

Javier Esquinas wrote:

> (v) ¿Es 3rq(3) - 2rq(6) + 7rq(5) - 5rq(10) positivo?


Supongamos que si

M = 3rq(3) - 2rq(6) + 7rq(5) - 5rq(10) > 0 <===>

Elevando al cuadrado, puesto que ambas cantidades son positivas,

3rq(3) + 7rq(5) > 2rq(6) + 5rq(10) <===>

42rq(15) + 272 > 40rq(15) + 274 <===>

2rq(15) > 2 <===> rq(15) > 1

lo que es visiblemente cierto ...

Por tanto, M > 0

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:

> (v) ¿Es 3rq(3) - 2rq(6) + 7rq(5) - 5rq(10) positivo?


Supongamos que si

M = 3rq(3) - 2rq(6) + 7rq(5) - 5rq(10) > 0 <===>

Elevando al cuadrado, puesto que ambas cantidades son positivas,

3rq(3) + 7rq(5) > 2rq(6) + 5rq(10) <===>

42rq(15) + 272 > 40rq(15) + 274 <===>

2rq(15) > 2 <===> rq(15) > 1

lo que es visiblemente cierto ...

Por tanto, M > 0

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:

> (iii) ¿Cuál es la primera fila del triángulo de Pascal que contiene un
> número divisible por 2002?
>

Como 2002 = 2*7*11*13, debe ser de la 13 3n adelante. Y es en la 14 donde
empieza un curioso triángulo

C(14,4) = 1001, C(14, 5) = 2002, C(14, 6) = 3003

Este 3003 por cierto, ¿cuántas veces aparece en el triángulo?


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:

> (iii) ¿Cuál es la primera fila del triángulo de Pascal que contiene un
> número divisible por 2002?
>

Como 2002 = 2*7*11*13, debe ser de la 13 3n adelante. Y es en la 14 donde
empieza un curioso triángulo

C(14,4) = 1001, C(14, 5) = 2002, C(14, 6) = 3003

Este 3003 por cierto, ¿cuántas veces aparece en el triángulo?


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
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ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:

> (iv) Si z es un número complejo de módulo 1 obtener el valor máximo de
> la expresión
>> z^3 + z^2 - z|


Haciendo z = cos(t) + i*sen(t), queda

|z^3 + z^2 - z| = rq(1 + 4sen^2(t))

con lo que el máximo valor, para z = +/- i, es rq(5)

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
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ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:

> (iv) Si z es un número complejo de módulo 1 obtener el valor máximo de
> la expresión
>> z^3 + z^2 - z|


Haciendo z = cos(t) + i*sen(t), queda

|z^3 + z^2 - z| = rq(1 + 4sen^2(t))

con lo que el máximo valor, para z = +/- i, es rq(5)

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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:

> (vi) ¿Cuántas raices reales tiene la ecuación |senx| = 2x/(1997pi) ?


x = 0 es una, y para las otras x > 0.

Tenemos que

2x/(1997pi) > 1 ===> x > 1997pi/2 = 998pi + pi/2

Por lo tanto, contando x = 0, la recta corta dos veces a las primeras 999
semiondas, lo que da un tyotal de 1998 soluciones.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:

> (vi) ¿Cuántas raices reales tiene la ecuación |senx| = 2x/(1997pi) ?


x = 0 es una, y para las otras x > 0.

Tenemos que

2x/(1997pi) > 1 ===> x > 1997pi/2 = 998pi + pi/2

Por lo tanto, contando x = 0, la recta corta dos veces a las primeras 999
semiondas, lo que da un tyotal de 1998 soluciones.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 16 abr, 13:07, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > (vi) ¿Cuántas raices reales tiene la ecuación |senx| = 2x/(1997pi) ?
>
> x = 0 es una, y para las otras x > 0.
>
> Tenemos que
>
> 2x/(1997pi) > 1 ***===> x > 1997pi/2 = 998pi + pi/2
>
> Por lo tanto, contando x = 0, la recta corta dos veces a las primeras 999
> semiondas, lo que da un tyotal de 1998 soluciones.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

Y no pudiera ser que en la última semionda sólo cortara una vez ,justo
en el "vértice" de la onda? ;-)

Saludos.