Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
tales que
a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
un triangulo equilatero en el plano complejo.

Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
> tales que
> a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
> un triangulo equilatero en el plano complejo.
>

Te refieres a que:

a + bw + cw^2 = 0 ====> {a, b, c} vértices de un triángulo equilátero?

Sea x = a, y = bw y z = cw^2. El enunciado equivale a

x + y + z = 0 ===> {x, yw^2, zw} = {a, b, c} vértices de un triángulo
equilátero.


Tenemos que

(c - a)/(b - a) = (zw - x)/(yw^2 - x)

= (zw + y + z)/(yw^2 + y + z)

= (z(-1 - w^2) + y + z)/(y(-1 - w) + y + z)

= (-zw^2 + y)/(-yw + z) = -w^2 = 1_60º

(a - b)/(c - b) = (x - yw^2)/(zw - yw^2)

= (- y - z - yw^2)/(zw - yw^2)

= (wy - z)/(zw - yw^2) = -w^2 = 1_60º

Por tanto, dos de los ángulos son de 60º y el triángulo es equilátero.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
> tales que
> a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
> un triangulo equilatero en el plano complejo.
>

Te refieres a que:

a + bw + cw^2 = 0 ====> {a, b, c} vértices de un triángulo equilátero?

Sea x = a, y = bw y z = cw^2. El enunciado equivale a

x + y + z = 0 ===> {x, yw^2, zw} = {a, b, c} vértices de un triángulo
equilátero.


Tenemos que

(c - a)/(b - a) = (zw - x)/(yw^2 - x)

= (zw + y + z)/(yw^2 + y + z)

= (z(-1 - w^2) + y + z)/(y(-1 - w) + y + z)

= (-zw^2 + y)/(-yw + z) = -w^2 = 1_60º

(a - b)/(c - b) = (x - yw^2)/(zw - yw^2)

= (- y - z - yw^2)/(zw - yw^2)

= (wy - z)/(zw - yw^2) = -w^2 = 1_60º

Por tanto, dos de los ángulos son de 60º y el triángulo es equilátero.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
> tales que
> a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
> un triangulo equilatero en el plano complejo.
>

Te refieres a que:

a + bw + cw^2 = 0 ====> {a, b, c} vértices de un triángulo equilátero?

Sea x = a, y = bw y z = cw^2. El enunciado equivale a

x + y + z = 0 ===> {x, yw^2, zw} = {a, b, c} vértices de un triángulo
equilátero.


Tenemos que

(c - a)/(b - a) = (zw - x)/(yw^2 - x)

= (zw + y + z)/(yw^2 + y + z)

= (z(-1 - w^2) + y + z)/(y(-1 - w) + y + z)

= (-zw^2 + y)/(-yw + z) = -w^2 = 1_60º

(a - b)/(c - b) = (x - yw^2)/(zw - yw^2)

= (- y - z - yw^2)/(zw - yw^2)

= (wy - z)/(zw - yw^2) = -w^2 = 1_60º

Por tanto, dos de los ángulos son de 60º y el triángulo es equilátero.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Javier Esquinas wrote:
>> Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
>> tales que
>> a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
>> un triangulo equilatero en el plano complejo.
>>
>
> Te refieres a que:
>
> a + bw + cw^2 = 0 ====> {a, b, c} vértices de un triángulo
> equilátero?
> Sea x = a, y = bw y z = cw^2. El enunciado equivale a
>
> x + y + z = 0 ===> {x, yw^2, zw} = {a, b, c} vértices de un triángulo
> equilátero.
>
>
> Tenemos que
>
> (c - a)/(b - a) = (zw - x)/(yw^2 - x)
>
> = (zw + y + z)/(yw^2 + y + z)
>
> = (z(-1 - w^2) + y + z)/(y(-1 - w) + y + z)
>
> = (-zw^2 + y)/(-yw + z) = -w^2 = 1_60º
>
> (a - b)/(c - b) = (x - yw^2)/(zw - yw^2)
>
> = (- y - z - yw^2)/(zw - yw^2)
>
> = (wy - z)/(zw - yw^2) = -w^2 = 1_60º
>
> Por tanto, dos de los ángulos son de 60º y el triángulo es equilátero.

Expresado geométricamente:

Si giramos los vértices de un triángulo cualquiera ángulos de 0º, 120º y
240º respecto de su baricentro, en el mismo sentido, el triángulo así
obtenido es equilátero.

(Dedicado a Luis, que seguro que le encanta)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Javier Esquinas wrote:
>> Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
>> tales que
>> a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
>> un triangulo equilatero en el plano complejo.
>>
>
> Te refieres a que:
>
> a + bw + cw^2 = 0 ====> {a, b, c} vértices de un triángulo
> equilátero?
> Sea x = a, y = bw y z = cw^2. El enunciado equivale a
>
> x + y + z = 0 ===> {x, yw^2, zw} = {a, b, c} vértices de un triángulo
> equilátero.
>
>
> Tenemos que
>
> (c - a)/(b - a) = (zw - x)/(yw^2 - x)
>
> = (zw + y + z)/(yw^2 + y + z)
>
> = (z(-1 - w^2) + y + z)/(y(-1 - w) + y + z)
>
> = (-zw^2 + y)/(-yw + z) = -w^2 = 1_60º
>
> (a - b)/(c - b) = (x - yw^2)/(zw - yw^2)
>
> = (- y - z - yw^2)/(zw - yw^2)
>
> = (wy - z)/(zw - yw^2) = -w^2 = 1_60º
>
> Por tanto, dos de los ángulos son de 60º y el triángulo es equilátero.

Expresado geométricamente:

Si giramos los vértices de un triángulo cualquiera ángulos de 0º, 120º y
240º respecto de su baricentro, en el mismo sentido, el triángulo así
obtenido es equilátero.

(Dedicado a Luis, que seguro que le encanta)


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Ignacio Larrosa Cañestro
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Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Javier Esquinas wrote:
>> Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
>> tales que
>> a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
>> un triangulo equilatero en el plano complejo.
>>
>
> Te refieres a que:
>
> a + bw + cw^2 = 0 ====> {a, b, c} vértices de un triángulo
> equilátero?
> Sea x = a, y = bw y z = cw^2. El enunciado equivale a
>
> x + y + z = 0 ===> {x, yw^2, zw} = {a, b, c} vértices de un triángulo
> equilátero.
>
>
> Tenemos que
>
> (c - a)/(b - a) = (zw - x)/(yw^2 - x)
>
> = (zw + y + z)/(yw^2 + y + z)
>
> = (z(-1 - w^2) + y + z)/(y(-1 - w) + y + z)
>
> = (-zw^2 + y)/(-yw + z) = -w^2 = 1_60º
>
> (a - b)/(c - b) = (x - yw^2)/(zw - yw^2)
>
> = (- y - z - yw^2)/(zw - yw^2)
>
> = (wy - z)/(zw - yw^2) = -w^2 = 1_60º
>
> Por tanto, dos de los ángulos son de 60º y el triángulo es equilátero.

Expresado geométricamente:

Si giramos los vértices de un triángulo cualquiera ángulos de 0º, 120º y
240º respecto de su baricentro, en el mismo sentido, el triángulo así
obtenido es equilátero.

(Dedicado a Luis, que seguro que le encanta)


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Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:671j4uF2lqpfnU1***mid.individual.net...
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
>>> tales que
>>> a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
>>> un triangulo equilatero en el plano complejo.
>>>
>>
>> Te refieres a que:
>>
>> a + bw + cw^2 = 0 ====> {a, b, c} vértices de un triángulo
>> equilátero?
>> Sea x = a, y = bw y z = cw^2. El enunciado equivale a
>>
>> x + y + z = 0 ===> {x, yw^2, zw} = {a, b, c} vértices de un triángulo
>> equilátero.
>>
>>
>> Tenemos que
>>
>> (c - a)/(b - a) = (zw - x)/(yw^2 - x)
>>
>> = (zw + y + z)/(yw^2 + y + z)
>>
>> = (z(-1 - w^2) + y + z)/(y(-1 - w) + y + z)
>>
>> = (-zw^2 + y)/(-yw + z) = -w^2 = 1_60º
>>
>> (a - b)/(c - b) = (x - yw^2)/(zw - yw^2)
>>
>> = (- y - z - yw^2)/(zw - yw^2)
>>
>> = (wy - z)/(zw - yw^2) = -w^2 = 1_60º
>>
>> Por tanto, dos de los ángulos son de 60º y el triángulo es equilátero.
>
> Expresado geométricamente:
>
> Si giramos los vértices de un triángulo cualquiera ángulos de 0º, 120º y
> 240º respecto de su baricentro, en el mismo sentido, el triángulo así
> obtenido es equilátero.
>
> (Dedicado a Luis, que seguro que le encanta)
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
Muchas gracias. La verdad es que los problemas de geometría con
complejos son una de mis debilidades. El buen cordero es otra ....
Me parece que éste le propuse hace algún tiempo... o parecido.

Saludos,

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:671j4uF2lqpfnU1***mid.individual.net...
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
>>> tales que
>>> a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
>>> un triangulo equilatero en el plano complejo.
>>>
>>
>> Te refieres a que:
>>
>> a + bw + cw^2 = 0 ====> {a, b, c} vértices de un triángulo
>> equilátero?
>> Sea x = a, y = bw y z = cw^2. El enunciado equivale a
>>
>> x + y + z = 0 ===> {x, yw^2, zw} = {a, b, c} vértices de un triángulo
>> equilátero.
>>
>>
>> Tenemos que
>>
>> (c - a)/(b - a) = (zw - x)/(yw^2 - x)
>>
>> = (zw + y + z)/(yw^2 + y + z)
>>
>> = (z(-1 - w^2) + y + z)/(y(-1 - w) + y + z)
>>
>> = (-zw^2 + y)/(-yw + z) = -w^2 = 1_60º
>>
>> (a - b)/(c - b) = (x - yw^2)/(zw - yw^2)
>>
>> = (- y - z - yw^2)/(zw - yw^2)
>>
>> = (wy - z)/(zw - yw^2) = -w^2 = 1_60º
>>
>> Por tanto, dos de los ángulos son de 60º y el triángulo es equilátero.
>
> Expresado geométricamente:
>
> Si giramos los vértices de un triángulo cualquiera ángulos de 0º, 120º y
> 240º respecto de su baricentro, en el mismo sentido, el triángulo así
> obtenido es equilátero.
>
> (Dedicado a Luis, que seguro que le encanta)
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
Muchas gracias. La verdad es que los problemas de geometría con
complejos son una de mis debilidades. El buen cordero es otra ....
Me parece que éste le propuse hace algún tiempo... o parecido.

Saludos,

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:671j4uF2lqpfnU1***mid.individual.net...
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> Sean a,b y c tres numeros complejos diferentes y w = (-1 + rq(3)i)/2
>>> tales que
>>> a + bz + cz^^2 = 0.Demostrar que a,b y c son entonces los vertices de
>>> un triangulo equilatero en el plano complejo.
>>>
>>
>> Te refieres a que:
>>
>> a + bw + cw^2 = 0 ====> {a, b, c} vértices de un triángulo
>> equilátero?
>> Sea x = a, y = bw y z = cw^2. El enunciado equivale a
>>
>> x + y + z = 0 ===> {x, yw^2, zw} = {a, b, c} vértices de un triángulo
>> equilátero.
>>
>>
>> Tenemos que
>>
>> (c - a)/(b - a) = (zw - x)/(yw^2 - x)
>>
>> = (zw + y + z)/(yw^2 + y + z)
>>
>> = (z(-1 - w^2) + y + z)/(y(-1 - w) + y + z)
>>
>> = (-zw^2 + y)/(-yw + z) = -w^2 = 1_60º
>>
>> (a - b)/(c - b) = (x - yw^2)/(zw - yw^2)
>>
>> = (- y - z - yw^2)/(zw - yw^2)
>>
>> = (wy - z)/(zw - yw^2) = -w^2 = 1_60º
>>
>> Por tanto, dos de los ángulos son de 60º y el triángulo es equilátero.
>
> Expresado geométricamente:
>
> Si giramos los vértices de un triángulo cualquiera ángulos de 0º, 120º y
> 240º respecto de su baricentro, en el mismo sentido, el triángulo así
> obtenido es equilátero.
>
> (Dedicado a Luis, que seguro que le encanta)
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
Muchas gracias. La verdad es que los problemas de geometría con
complejos son una de mis debilidades. El buen cordero es otra ....
Me parece que éste le propuse hace algún tiempo... o parecido.

Saludos,