Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
puede procederse así :

4 < sqrt(17) < 5

sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = 4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =

= 4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =

= 4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,...]

Igual puede actuarse con sqrt(26).

Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
al quitar la expresión sqrt(17) - 4 ( ó sqrt(26) - 5 ) ,
pues (sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = 1.

¿ Pero cómo puede hacerse para sqrt(7), por ejemplo ?

sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =

= 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....

¿ cómo se sigue ?

El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
resto de coeficientes.
Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
es hacerlo " a manija " como en los dos ejemplos del principio.

Saludos,

Luis wrote:
> Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
> puede procederse así :
>
> 4 < sqrt(17) < 5
>
> sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = 4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =
>
> = 4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =
>
> = 4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,...]
>
> Igual puede actuarse con sqrt(26).
>
> Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
> al quitar la expresión sqrt(17) - 4 ( ó sqrt(26) - 5 ) ,
> pues (sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = 1.
>
> ¿ Pero cómo puede hacerse para sqrt(7), por ejemplo ?
>
> sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =
>
> = 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....
>
> ¿ cómo se sigue ?
>
> El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
> fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
> entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
> parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
> la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
> resto de coeficientes.
> Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
> es hacerlo " a manija " como en los dos ejemplos del principio.
>
> Saludos,

Sea

x = rq(7) - 2 = 1/(1/(rq(7) - 2)) = 1/((rq(7) + 2)/3) = 1/(1 + (rq(7) -
1)/3)

= 1/(1 + 1/(3/(rq(7) - 1))) = 1/(1 + 1/((rq(7) + 1)/2)) = 1/(1 + 1/(1 +
(rq(7) - 1)/2))

= 1/(1 + 1/(1 + 1/(2/(rq(7) - 1)))) = 1/(1 + 1/(1 + 1/((rq(7) + 1)/3)))

= 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + (rq(7) - 2)/3))) = 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 +
1/(3/(rq(7) - 2)))))

=1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(rq(7) + 2)))) = 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 +
(rq(7) - 2)))))

Por tanto,

x = 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 + x)))) ===>

rq(7) = 2 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 + x)))) ===>

rq(7) = [2; 1, 1, 1, 4]

De igual forma, en general,

rq((m + 1)^2 - k) = [m; 1, 2(m + 1)/k - 2, 1, 2m]

siempre que (2(m + 1)/k sea entero. En particular,

Para k = 1,

rq(m^2 + 2m) = [m, 1, 2m, 1, 2m] = [m; 1, 2m]

Para k = 2,

rq(m^2 + 2m - 1) = [m; 1, m - 1, 1, 2m]

Para k = m + 1,

rq(m^2 + m) = [m; 1, 0, 1, 2m] = [m; 2, 2m]

Si m es impar:

para k = 4,

rq((m + 1)^2 - 4) = [m; 1, (m - 3)/2, 1, 2m]

para k = (m + 1)/2

rq((m + 1)^2 - (m + 1)/2) = [m; 1, 2, 1, 2m]

Entendiendo siempre que lo que sigue al ";" se repite períodicamente.

Preguntas:

1) Como es la fracción continua de rq(m^2 + k), si 2m/k es entero)

2) Idem con rq(n^2 + 4), si n = 2m + 1

3) Idem con rq(n^2 - 4), si n = 2m + 1


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
> Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
> puede procederse así :
>
> 4 < sqrt(17) < 5
>
> sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = 4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =
>
> = 4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =
>
> = 4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,...]
>
> Igual puede actuarse con sqrt(26).
>
> Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
> al quitar la expresión sqrt(17) - 4 ( ó sqrt(26) - 5 ) ,
> pues (sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = 1.
>
> ¿ Pero cómo puede hacerse para sqrt(7), por ejemplo ?
>
> sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =
>
> = 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....
>
> ¿ cómo se sigue ?
>
> El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
> fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
> entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
> parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
> la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
> resto de coeficientes.
> Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
> es hacerlo " a manija " como en los dos ejemplos del principio.
>
> Saludos,

Sea

x = rq(7) - 2 = 1/(1/(rq(7) - 2)) = 1/((rq(7) + 2)/3) = 1/(1 + (rq(7) -
1)/3)

= 1/(1 + 1/(3/(rq(7) - 1))) = 1/(1 + 1/((rq(7) + 1)/2)) = 1/(1 + 1/(1 +
(rq(7) - 1)/2))

= 1/(1 + 1/(1 + 1/(2/(rq(7) - 1)))) = 1/(1 + 1/(1 + 1/((rq(7) + 1)/3)))

= 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + (rq(7) - 2)/3))) = 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 +
1/(3/(rq(7) - 2)))))

=1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(rq(7) + 2)))) = 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 +
(rq(7) - 2)))))

Por tanto,

x = 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 + x)))) ===>

rq(7) = 2 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 + x)))) ===>

rq(7) = [2; 1, 1, 1, 4]

De igual forma, en general,

rq((m + 1)^2 - k) = [m; 1, 2(m + 1)/k - 2, 1, 2m]

siempre que (2(m + 1)/k sea entero. En particular,

Para k = 1,

rq(m^2 + 2m) = [m, 1, 2m, 1, 2m] = [m; 1, 2m]

Para k = 2,

rq(m^2 + 2m - 1) = [m; 1, m - 1, 1, 2m]

Para k = m + 1,

rq(m^2 + m) = [m; 1, 0, 1, 2m] = [m; 2, 2m]

Si m es impar:

para k = 4,

rq((m + 1)^2 - 4) = [m; 1, (m - 3)/2, 1, 2m]

para k = (m + 1)/2

rq((m + 1)^2 - (m + 1)/2) = [m; 1, 2, 1, 2m]

Entendiendo siempre que lo que sigue al ";" se repite períodicamente.

Preguntas:

1) Como es la fracción continua de rq(m^2 + k), si 2m/k es entero)

2) Idem con rq(n^2 + 4), si n = 2m + 1

3) Idem con rq(n^2 - 4), si n = 2m + 1


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
> Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
> puede procederse así :
>
> 4 < sqrt(17) < 5
>
> sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = 4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =
>
> = 4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =
>
> = 4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,...]
>
> Igual puede actuarse con sqrt(26).
>
> Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
> al quitar la expresión sqrt(17) - 4 ( ó sqrt(26) - 5 ) ,
> pues (sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = 1.
>
> ¿ Pero cómo puede hacerse para sqrt(7), por ejemplo ?
>
> sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =
>
> = 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....
>
> ¿ cómo se sigue ?
>
> El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
> fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
> entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
> parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
> la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
> resto de coeficientes.
> Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
> es hacerlo " a manija " como en los dos ejemplos del principio.
>
> Saludos,

Sea

x = rq(7) - 2 = 1/(1/(rq(7) - 2)) = 1/((rq(7) + 2)/3) = 1/(1 + (rq(7) -
1)/3)

= 1/(1 + 1/(3/(rq(7) - 1))) = 1/(1 + 1/((rq(7) + 1)/2)) = 1/(1 + 1/(1 +
(rq(7) - 1)/2))

= 1/(1 + 1/(1 + 1/(2/(rq(7) - 1)))) = 1/(1 + 1/(1 + 1/((rq(7) + 1)/3)))

= 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + (rq(7) - 2)/3))) = 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 +
1/(3/(rq(7) - 2)))))

=1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(rq(7) + 2)))) = 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 +
(rq(7) - 2)))))

Por tanto,

x = 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 + x)))) ===>

rq(7) = 2 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 + x)))) ===>

rq(7) = [2; 1, 1, 1, 4]

De igual forma, en general,

rq((m + 1)^2 - k) = [m; 1, 2(m + 1)/k - 2, 1, 2m]

siempre que (2(m + 1)/k sea entero. En particular,

Para k = 1,

rq(m^2 + 2m) = [m, 1, 2m, 1, 2m] = [m; 1, 2m]

Para k = 2,

rq(m^2 + 2m - 1) = [m; 1, m - 1, 1, 2m]

Para k = m + 1,

rq(m^2 + m) = [m; 1, 0, 1, 2m] = [m; 2, 2m]

Si m es impar:

para k = 4,

rq((m + 1)^2 - 4) = [m; 1, (m - 3)/2, 1, 2m]

para k = (m + 1)/2

rq((m + 1)^2 - (m + 1)/2) = [m; 1, 2, 1, 2m]

Entendiendo siempre que lo que sigue al ";" se repite períodicamente.

Preguntas:

1) Como es la fracción continua de rq(m^2 + k), si 2m/k es entero)

2) Idem con rq(n^2 + 4), si n = 2m + 1

3) Idem con rq(n^2 - 4), si n = 2m + 1


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 20 abr, 06:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
> puede procederse así :
>
> 4 < sqrt(17) < 5
>
> sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = ***4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =
>
> *** *** *** *** *** *** ***= ***4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =
>
> *** *** *** *** *** *** ***= ***4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,....]
>
> Igual puede actuarse con sqrt(26).
>
> Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
> al quitar la expresión sqrt(17) - 4 *** ( ***ó ***sqrt(26) - 5 ) ,
> pues ***(sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = ***1.
>
> ¿ Pero cómo puede hacerse para ***sqrt(7), por ejemplo ?
>
> sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =
>
> *** *** *** *** *** ***= 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....
>
> ¿ cómo se sigue ?
>
> El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
> fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
> entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
> parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
> la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
> resto de coeficientes.
> Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
> es hacerlo " a manija " ***como en los dos ejemplos del principio.
>
> Saludos,

Hay una forma "chapucera" a nivel de secundaria de hallar una raiz
pero curiosamente elevando al cuadrado:
Sqrt(7) sabemos que ha de estar entre 2 y 3 por lo que sqrt(7)=2+x.Si
logramos hacer esta x lo mas
pequeña posible tendremos resuelto el problema.
x=sqrt(7)-2 x^2=7+4-4sqrt(7)=11-4x si despreciamos en primera
aproximacion x^2 nos
queda 11-4x=0 x=11/4 y seguimos
Ahora x=sqrt(7)-11/4=> x^2=7+121/16-2*sqrt(7)*(11/4)=233/16-11x/2 que
hacien^do x^2=0
nos queda x=233/88 ...
Es decir que siguiendo el algoritmo obtenemos x con la aproximacion
racional que nos de la gana
No tiene nada que ver con la formalisima respuesta de Ignacio pero es
simplemente como curiosidad.

León-Sotelo

On 20 abr, 06:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
> puede procederse así :
>
> 4 < sqrt(17) < 5
>
> sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = ***4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =
>
> *** *** *** *** *** *** ***= ***4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =
>
> *** *** *** *** *** *** ***= ***4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,....]
>
> Igual puede actuarse con sqrt(26).
>
> Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
> al quitar la expresión sqrt(17) - 4 *** ( ***ó ***sqrt(26) - 5 ) ,
> pues ***(sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = ***1.
>
> ¿ Pero cómo puede hacerse para ***sqrt(7), por ejemplo ?
>
> sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =
>
> *** *** *** *** *** ***= 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....
>
> ¿ cómo se sigue ?
>
> El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
> fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
> entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
> parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
> la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
> resto de coeficientes.
> Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
> es hacerlo " a manija " ***como en los dos ejemplos del principio.
>
> Saludos,

Hay una forma "chapucera" a nivel de secundaria de hallar una raiz
pero curiosamente elevando al cuadrado:
Sqrt(7) sabemos que ha de estar entre 2 y 3 por lo que sqrt(7)=2+x.Si
logramos hacer esta x lo mas
pequeña posible tendremos resuelto el problema.
x=sqrt(7)-2 x^2=7+4-4sqrt(7)=11-4x si despreciamos en primera
aproximacion x^2 nos
queda 11-4x=0 x=11/4 y seguimos
Ahora x=sqrt(7)-11/4=> x^2=7+121/16-2*sqrt(7)*(11/4)=233/16-11x/2 que
hacien^do x^2=0
nos queda x=233/88 ...
Es decir que siguiendo el algoritmo obtenemos x con la aproximacion
racional que nos de la gana
No tiene nada que ver con la formalisima respuesta de Ignacio pero es
simplemente como curiosidad.

León-Sotelo

On 20 abr, 06:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
> puede procederse así :
>
> 4 < sqrt(17) < 5
>
> sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = ***4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =
>
> *** *** *** *** *** *** ***= ***4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =
>
> *** *** *** *** *** *** ***= ***4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,....]
>
> Igual puede actuarse con sqrt(26).
>
> Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
> al quitar la expresión sqrt(17) - 4 *** ( ***ó ***sqrt(26) - 5 ) ,
> pues ***(sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = ***1.
>
> ¿ Pero cómo puede hacerse para ***sqrt(7), por ejemplo ?
>
> sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =
>
> *** *** *** *** *** ***= 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....
>
> ¿ cómo se sigue ?
>
> El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
> fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
> entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
> parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
> la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
> resto de coeficientes.
> Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
> es hacerlo " a manija " ***como en los dos ejemplos del principio.
>
> Saludos,

Hay una forma "chapucera" a nivel de secundaria de hallar una raiz
pero curiosamente elevando al cuadrado:
Sqrt(7) sabemos que ha de estar entre 2 y 3 por lo que sqrt(7)=2+x.Si
logramos hacer esta x lo mas
pequeña posible tendremos resuelto el problema.
x=sqrt(7)-2 x^2=7+4-4sqrt(7)=11-4x si despreciamos en primera
aproximacion x^2 nos
queda 11-4x=0 x=11/4 y seguimos
Ahora x=sqrt(7)-11/4=> x^2=7+121/16-2*sqrt(7)*(11/4)=233/16-11x/2 que
hacien^do x^2=0
nos queda x=233/88 ...
Es decir que siguiendo el algoritmo obtenemos x con la aproximacion
racional que nos de la gana
No tiene nada que ver con la formalisima respuesta de Ignacio pero es
simplemente como curiosidad.

León-Sotelo

León-Sotelo escribió:
> On 20 abr, 06:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
>> Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
>> puede procederse así :
>>
>> 4 < sqrt(17) < 5
>>
>> sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = 4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =
>>
>> = 4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =
>>
>> = 4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,...]
>>
>> Igual puede actuarse con sqrt(26).
>>
>> Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
>> al quitar la expresión sqrt(17) - 4 ( ó sqrt(26) - 5 ) ,
>> pues (sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = 1.
>>
>> ¿ Pero cómo puede hacerse para sqrt(7), por ejemplo ?
>>
>> sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =
>>
>> = 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....
>>
>> ¿ cómo se sigue ?
>>
>> El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
>> fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
>> entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
>> parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
>> la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
>> resto de coeficientes.
>> Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
>> es hacerlo " a manija " como en los dos ejemplos del principio.
>>
>> Saludos,
>
> Hay una forma "chapucera" a nivel de secundaria de hallar una raiz
> pero curiosamente elevando al cuadrado:
> Sqrt(7) sabemos que ha de estar entre 2 y 3 por lo que sqrt(7)=2+x.Si
> logramos hacer esta x lo mas
> pequeña posible tendremos resuelto el problema.
> x=sqrt(7)-2 x^2=7+4-4sqrt(7)=11-4x si despreciamos en primera
> aproximacion x^2 nos
> queda 11-4x=0 x=11/4 y seguimos
> Ahora x=sqrt(7)-11/4=> x^2=7+121/16-2*sqrt(7)*(11/4)=233/16-11x/2 que
> hacien^do x^2=0
> nos queda x=233/88 ...
> Es decir que siguiendo el algoritmo obtenemos x con la aproximacion
> racional que nos de la gana

Sí, pero Luis no pide la aproximación racional, sino la fracción
continua. A partir de lo que tú haces, luego habría que hacer algo como

rq(7) ~ 11/4 = 2 + 3/4 = 2 + 1/(4/3) = 2 + 1/(1 + 1/3)

rq(7) ~ 233/88 = 2 + 57/88 = 2 + 1/(88/57) =

= 2 + 1/(1 + 31/57) = 2 + 1/(1 + 1/(57/33)) =

= 2 + 1/(1 + 1/(1 + 8/11)) =

= 2 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 3/8)))

y así sucesivamente.

--
Antonio

León-Sotelo escribió:
> On 20 abr, 06:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
>> Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
>> puede procederse así :
>>
>> 4 < sqrt(17) < 5
>>
>> sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = 4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =
>>
>> = 4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =
>>
>> = 4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,...]
>>
>> Igual puede actuarse con sqrt(26).
>>
>> Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
>> al quitar la expresión sqrt(17) - 4 ( ó sqrt(26) - 5 ) ,
>> pues (sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = 1.
>>
>> ¿ Pero cómo puede hacerse para sqrt(7), por ejemplo ?
>>
>> sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =
>>
>> = 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....
>>
>> ¿ cómo se sigue ?
>>
>> El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
>> fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
>> entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
>> parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
>> la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
>> resto de coeficientes.
>> Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
>> es hacerlo " a manija " como en los dos ejemplos del principio.
>>
>> Saludos,
>
> Hay una forma "chapucera" a nivel de secundaria de hallar una raiz
> pero curiosamente elevando al cuadrado:
> Sqrt(7) sabemos que ha de estar entre 2 y 3 por lo que sqrt(7)=2+x.Si
> logramos hacer esta x lo mas
> pequeña posible tendremos resuelto el problema.
> x=sqrt(7)-2 x^2=7+4-4sqrt(7)=11-4x si despreciamos en primera
> aproximacion x^2 nos
> queda 11-4x=0 x=11/4 y seguimos
> Ahora x=sqrt(7)-11/4=> x^2=7+121/16-2*sqrt(7)*(11/4)=233/16-11x/2 que
> hacien^do x^2=0
> nos queda x=233/88 ...
> Es decir que siguiendo el algoritmo obtenemos x con la aproximacion
> racional que nos de la gana

Sí, pero Luis no pide la aproximación racional, sino la fracción
continua. A partir de lo que tú haces, luego habría que hacer algo como

rq(7) ~ 11/4 = 2 + 3/4 = 2 + 1/(4/3) = 2 + 1/(1 + 1/3)

rq(7) ~ 233/88 = 2 + 57/88 = 2 + 1/(88/57) =

= 2 + 1/(1 + 31/57) = 2 + 1/(1 + 1/(57/33)) =

= 2 + 1/(1 + 1/(1 + 8/11)) =

= 2 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 3/8)))

y así sucesivamente.

--
Antonio

León-Sotelo escribió:
> On 20 abr, 06:25, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
>> Para expresar sqrt(17) como una fracción continua
>> puede procederse así :
>>
>> 4 < sqrt(17) < 5
>>
>> sqrt(17) = 4 + sqrt(17) - 4 = 4 + 1/1/(sqrt(17)-4) =
>>
>> = 4 + 1/(sqrt(17)+4) = 4 + 1/(8+sqrt(17)-4) =
>>
>> = 4 + 1/(8+1/1/(sqrt(17)-4)) = [4,8,8,8,...]
>>
>> Igual puede actuarse con sqrt(26).
>>
>> Claro, en estos casos, obtenemos un 1 en el denominador
>> al quitar la expresión sqrt(17) - 4 ( ó sqrt(26) - 5 ) ,
>> pues (sqrt(17) - 4 )*(sqrt(17 + 4 ) = 1.
>>
>> ¿ Pero cómo puede hacerse para sqrt(7), por ejemplo ?
>>
>> sqrt(7) = 2 + sqrt(7) - 2 = 2 + 1/1/(sqrt(7)-2) =
>>
>> = 2 + 1/(sqrt(7)+2)/3) = .....
>>
>> ¿ cómo se sigue ?
>>
>> El método para expresar cualquier raíz cuadrada como una
>> fracción continua lo conozco ( basta comenzar por la parte
>> entera de la raíz cuadrada, restar la raíz cuadrada de su
>> parte entera y calcular el inverso. El siguiente coeficiente será
>> la parte entera de ese inverso y así sucesivamente para el
>> resto de coeficientes.
>> Pero para eso hay que utilizar la calculadora y lo que quiero
>> es hacerlo " a manija " como en los dos ejemplos del principio.
>>
>> Saludos,
>
> Hay una forma "chapucera" a nivel de secundaria de hallar una raiz
> pero curiosamente elevando al cuadrado:
> Sqrt(7) sabemos que ha de estar entre 2 y 3 por lo que sqrt(7)=2+x.Si
> logramos hacer esta x lo mas
> pequeña posible tendremos resuelto el problema.
> x=sqrt(7)-2 x^2=7+4-4sqrt(7)=11-4x si despreciamos en primera
> aproximacion x^2 nos
> queda 11-4x=0 x=11/4 y seguimos
> Ahora x=sqrt(7)-11/4=> x^2=7+121/16-2*sqrt(7)*(11/4)=233/16-11x/2 que
> hacien^do x^2=0
> nos queda x=233/88 ...
> Es decir que siguiendo el algoritmo obtenemos x con la aproximacion
> racional que nos de la gana

Sí, pero Luis no pide la aproximación racional, sino la fracción
continua. A partir de lo que tú haces, luego habría que hacer algo como

rq(7) ~ 11/4 = 2 + 3/4 = 2 + 1/(4/3) = 2 + 1/(1 + 1/3)

rq(7) ~ 233/88 = 2 + 57/88 = 2 + 1/(88/57) =

= 2 + 1/(1 + 31/57) = 2 + 1/(1 + 1/(57/33)) =

= 2 + 1/(1 + 1/(1 + 8/11)) =

= 2 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 3/8)))

y así sucesivamente.

--
Antonio