Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
otros también.

Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
en estas ecuaciones que no sabía resolver.

Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.

Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
de Lagrange" ( al parecer )

Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.

Resolvamos en enteros : x^2 - 7y^2 = 1

1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.

Con la colaboración de Ignacio, sabemos que

sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]

2) Cálculo de las fracciones finitas :

f1 = c0 = 2/1

f2 = c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1

f3 = c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = 5/2

f4 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) = 8/3

f5 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =

= 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14

3) Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
anterior al período, es decir, f4 = 8/3.

Pues bien, si no estoy equivocado, x1 = 8 e y1 = 3 es la solución
más pequeña de la ecuación de Pell dada.

4) Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más soluciones
a partir de ella de la siguiente manera :

(8+sqrt(7)*3 )^2 = 127 + 48*sqrt(7) y x2 = 127 e y2 = 48 es
otra solución.

(8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =

= 2024 + 765*sqrt(7) y x3 = 2024 e y3 = 765 es otra.

Y así sucesivamente.

5) Dudas :

(i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?

(ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
Pell del tipo x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , donde k es un número
natural libre de cuadrados ?

(iii) ¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
"canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
forma x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, donde N es un número natural ?

El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os invito a
una
de vinos.

Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.

Un saludo,

Luis wrote:
> Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
> Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
> otros también.
>
> Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
> en estas ecuaciones que no sabía resolver.
>
> Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
> Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.
>
> Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
> ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
> buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
> de Lagrange" ( al parecer )
>
> Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
> haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.
>
> Resolvamos en enteros : x^2 - 7y^2 = 1
>
> 1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.
>
> Con la colaboración de Ignacio, sabemos que
>
> sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]
>
> 2) Cálculo de las fracciones finitas :
>
> f1 = c0 = 2/1
>
> f2 = c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1
>
> f3 = c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = 5/2
>
> f4 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) = 8/3
>
> f5 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =
>
> = 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14
>
> 3) Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
> anterior al período, es decir, f4 = 8/3.
>
> Pues bien, si no estoy equivocado, x1 = 8 e y1 = 3 es la
> solución más pequeña de la ecuación de Pell dada.
>
> 4) Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más
> soluciones a partir de ella de la siguiente manera :
>
> (8+sqrt(7)*3 )^2 = 127 + 48*sqrt(7) y x2 = 127 e y2 = 48 es
> otra solución.
>
> (8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =
>
> = 2024 + 765*sqrt(7) y x3 = 2024 e y3 = 765 es otra.
>
> Y así sucesivamente.
>
> 5) Dudas :
>
> (i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?

Si

> (ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
> Pell del tipo x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , donde k es un número
> natural libre de cuadrados ?

Si, hay solución si la longitud del período es impar, en caso contrario no.
Si (x_0, y_0) es la solución mínima de

x^2 - rq(k)y^2 = -1 (#1)

todas las soluciones (x_n, y_n) de #1, se obtienen como

x_n + rq(k)y_n = (x_0 + rq(k)y_0)^n, n impar

De aquí se obtienen relaciones de recurrencia cruzadas lineales para x_i e
y_i, que pueden transformarse en recurrencias de segundo orden, iguales
salvo los valores iniciales, para las x_i e y_i.

Para n par se obrienen soluciones de la ecuación de Pell estándard asociada:

x^2 - rq(k)y^2 = 1 (#2)


> (iii) ¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
> "canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
> forma x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, donde N es un número
> natural ?

El problema es similar. Se resuelve primero la ecuación de Pell asociada #2.
Se buscan luego las soluciones mínimas de

x^2 - rq(k)*y^2 = N (#3), N entero

Combinando, como antes, cada solución de #3 con las soluciones de #2, se
obtienen familias de soluciones de #3. Las soluciones de estas familias
estan intercaladas en el mismo orden siempre. De manera que si combinando la
primera solución de #3 con las soluciones de #2, la primera que obtenemos es
, por ejemplo, la cuarta de las de #3, es que solo hay tres familias
distintas de soluciones de #3, que se obtienen respectivamente combinando
las tres primeras soluciones de #3 con todas las soluciones de #2.

Puede ocurrir naturalmente que no haya soluciones, y también que las
soluciones mínimas no sean de encontrar por que sean muy grandes. Para ello
hay métodos, pero no me los se.

> El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
> al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os
> invito a una
> de vinos.
>
> Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.
>
> Un saludo,

Hay un librito, creo que publicado por Ed. Alhambra, titulado algo así como
"Introducción a la Teoría de Números", de Alan Baker, que te viene que ni
piuntado para estas dudas. También hay un folletito de la extinta ed. MIR,
de la colección "Lecciones Populares de Matemáticas", de título "Ecuaciones
Diofánticas", en el que también tienes esto muy bien. Y michos otros con
seguridad, pero esos los conozco.

Lo de que las soluciones de #3 están agrupadas en un número finito de
familias, e intercaladas en el mismo orden, está en un artículo que mencioné
recientemente, y que ahora no tengo a mano.

Ahora no tengo tiempo de contestarte con más extensión, quizá a la
noche.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
> Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
> Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
> otros también.
>
> Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
> en estas ecuaciones que no sabía resolver.
>
> Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
> Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.
>
> Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
> ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
> buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
> de Lagrange" ( al parecer )
>
> Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
> haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.
>
> Resolvamos en enteros : x^2 - 7y^2 = 1
>
> 1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.
>
> Con la colaboración de Ignacio, sabemos que
>
> sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]
>
> 2) Cálculo de las fracciones finitas :
>
> f1 = c0 = 2/1
>
> f2 = c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1
>
> f3 = c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = 5/2
>
> f4 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) = 8/3
>
> f5 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =
>
> = 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14
>
> 3) Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
> anterior al período, es decir, f4 = 8/3.
>
> Pues bien, si no estoy equivocado, x1 = 8 e y1 = 3 es la
> solución más pequeña de la ecuación de Pell dada.
>
> 4) Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más
> soluciones a partir de ella de la siguiente manera :
>
> (8+sqrt(7)*3 )^2 = 127 + 48*sqrt(7) y x2 = 127 e y2 = 48 es
> otra solución.
>
> (8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =
>
> = 2024 + 765*sqrt(7) y x3 = 2024 e y3 = 765 es otra.
>
> Y así sucesivamente.
>
> 5) Dudas :
>
> (i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?

Si

> (ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
> Pell del tipo x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , donde k es un número
> natural libre de cuadrados ?

Si, hay solución si la longitud del período es impar, en caso contrario no.
Si (x_0, y_0) es la solución mínima de

x^2 - rq(k)y^2 = -1 (#1)

todas las soluciones (x_n, y_n) de #1, se obtienen como

x_n + rq(k)y_n = (x_0 + rq(k)y_0)^n, n impar

De aquí se obtienen relaciones de recurrencia cruzadas lineales para x_i e
y_i, que pueden transformarse en recurrencias de segundo orden, iguales
salvo los valores iniciales, para las x_i e y_i.

Para n par se obrienen soluciones de la ecuación de Pell estándard asociada:

x^2 - rq(k)y^2 = 1 (#2)


> (iii) ¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
> "canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
> forma x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, donde N es un número
> natural ?

El problema es similar. Se resuelve primero la ecuación de Pell asociada #2.
Se buscan luego las soluciones mínimas de

x^2 - rq(k)*y^2 = N (#3), N entero

Combinando, como antes, cada solución de #3 con las soluciones de #2, se
obtienen familias de soluciones de #3. Las soluciones de estas familias
estan intercaladas en el mismo orden siempre. De manera que si combinando la
primera solución de #3 con las soluciones de #2, la primera que obtenemos es
, por ejemplo, la cuarta de las de #3, es que solo hay tres familias
distintas de soluciones de #3, que se obtienen respectivamente combinando
las tres primeras soluciones de #3 con todas las soluciones de #2.

Puede ocurrir naturalmente que no haya soluciones, y también que las
soluciones mínimas no sean de encontrar por que sean muy grandes. Para ello
hay métodos, pero no me los se.

> El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
> al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os
> invito a una
> de vinos.
>
> Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.
>
> Un saludo,

Hay un librito, creo que publicado por Ed. Alhambra, titulado algo así como
"Introducción a la Teoría de Números", de Alan Baker, que te viene que ni
piuntado para estas dudas. También hay un folletito de la extinta ed. MIR,
de la colección "Lecciones Populares de Matemáticas", de título "Ecuaciones
Diofánticas", en el que también tienes esto muy bien. Y michos otros con
seguridad, pero esos los conozco.

Lo de que las soluciones de #3 están agrupadas en un número finito de
familias, e intercaladas en el mismo orden, está en un artículo que mencioné
recientemente, y que ahora no tengo a mano.

Ahora no tengo tiempo de contestarte con más extensión, quizá a la
noche.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
> Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
> Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
> otros también.
>
> Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
> en estas ecuaciones que no sabía resolver.
>
> Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
> Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.
>
> Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
> ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
> buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
> de Lagrange" ( al parecer )
>
> Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
> haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.
>
> Resolvamos en enteros : x^2 - 7y^2 = 1
>
> 1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.
>
> Con la colaboración de Ignacio, sabemos que
>
> sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]
>
> 2) Cálculo de las fracciones finitas :
>
> f1 = c0 = 2/1
>
> f2 = c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1
>
> f3 = c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = 5/2
>
> f4 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) = 8/3
>
> f5 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =
>
> = 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14
>
> 3) Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
> anterior al período, es decir, f4 = 8/3.
>
> Pues bien, si no estoy equivocado, x1 = 8 e y1 = 3 es la
> solución más pequeña de la ecuación de Pell dada.
>
> 4) Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más
> soluciones a partir de ella de la siguiente manera :
>
> (8+sqrt(7)*3 )^2 = 127 + 48*sqrt(7) y x2 = 127 e y2 = 48 es
> otra solución.
>
> (8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =
>
> = 2024 + 765*sqrt(7) y x3 = 2024 e y3 = 765 es otra.
>
> Y así sucesivamente.
>
> 5) Dudas :
>
> (i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?

Si

> (ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
> Pell del tipo x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , donde k es un número
> natural libre de cuadrados ?

Si, hay solución si la longitud del período es impar, en caso contrario no.
Si (x_0, y_0) es la solución mínima de

x^2 - rq(k)y^2 = -1 (#1)

todas las soluciones (x_n, y_n) de #1, se obtienen como

x_n + rq(k)y_n = (x_0 + rq(k)y_0)^n, n impar

De aquí se obtienen relaciones de recurrencia cruzadas lineales para x_i e
y_i, que pueden transformarse en recurrencias de segundo orden, iguales
salvo los valores iniciales, para las x_i e y_i.

Para n par se obrienen soluciones de la ecuación de Pell estándard asociada:

x^2 - rq(k)y^2 = 1 (#2)


> (iii) ¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
> "canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
> forma x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, donde N es un número
> natural ?

El problema es similar. Se resuelve primero la ecuación de Pell asociada #2.
Se buscan luego las soluciones mínimas de

x^2 - rq(k)*y^2 = N (#3), N entero

Combinando, como antes, cada solución de #3 con las soluciones de #2, se
obtienen familias de soluciones de #3. Las soluciones de estas familias
estan intercaladas en el mismo orden siempre. De manera que si combinando la
primera solución de #3 con las soluciones de #2, la primera que obtenemos es
, por ejemplo, la cuarta de las de #3, es que solo hay tres familias
distintas de soluciones de #3, que se obtienen respectivamente combinando
las tres primeras soluciones de #3 con todas las soluciones de #2.

Puede ocurrir naturalmente que no haya soluciones, y también que las
soluciones mínimas no sean de encontrar por que sean muy grandes. Para ello
hay métodos, pero no me los se.

> El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
> al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os
> invito a una
> de vinos.
>
> Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.
>
> Un saludo,

Hay un librito, creo que publicado por Ed. Alhambra, titulado algo así como
"Introducción a la Teoría de Números", de Alan Baker, que te viene que ni
piuntado para estas dudas. También hay un folletito de la extinta ed. MIR,
de la colección "Lecciones Populares de Matemáticas", de título "Ecuaciones
Diofánticas", en el que también tienes esto muy bien. Y michos otros con
seguridad, pero esos los conozco.

Lo de que las soluciones de #3 están agrupadas en un número finito de
familias, e intercaladas en el mismo orden, está en un artículo que mencioné
recientemente, y que ahora no tengo a mano.

Ahora no tengo tiempo de contestarte con más extensión, quizá a la
noche.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:6735srF2mgie6U1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
>> Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
>> otros también.
>>
>> Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
>> en estas ecuaciones que no sabía resolver.
>>
>> Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
>> Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.
>>
>> Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
>> ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
>> buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
>> de Lagrange" ( al parecer )
>>
>> Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
>> haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.
>>
>> Resolvamos en enteros : x^2 - 7y^2 = 1
>>
>> 1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.
>>
>> Con la colaboración de Ignacio, sabemos que
>>
>> sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]
>>
>> 2) Cálculo de las fracciones finitas :
>>
>> f1 = c0 = 2/1
>>
>> f2 = c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1
>>
>> f3 = c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = 5/2
>>
>> f4 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) = 8/3
>>
>> f5 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =
>>
>> = 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14
>>
>> 3) Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
>> anterior al período, es decir, f4 = 8/3.
>>
>> Pues bien, si no estoy equivocado, x1 = 8 e y1 = 3 es la
>> solución más pequeña de la ecuación de Pell dada.
>>
>> 4) Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más
>> soluciones a partir de ella de la siguiente manera :
>>
>> (8+sqrt(7)*3 )^2 = 127 + 48*sqrt(7) y x2 = 127 e y2 = 48 es
>> otra solución.
>>
>> (8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =
>>
>> = 2024 + 765*sqrt(7) y x3 = 2024 e y3 = 765 es otra.
>>
>> Y así sucesivamente.
>>
>> 5) Dudas :
>>
>> (i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?
>
> Si
>
>> (ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
>> Pell del tipo x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , donde k es un número
>> natural libre de cuadrados ?
>
> Si, hay solución si la longitud del período es impar, en caso contrario
> no. Si (x_0, y_0) es la solución mínima de
>
> x^2 - rq(k)y^2 = -1 (#1)
>
> todas las soluciones (x_n, y_n) de #1, se obtienen como
>
> x_n + rq(k)y_n = (x_0 + rq(k)y_0)^n, n impar
>
> De aquí se obtienen relaciones de recurrencia cruzadas lineales para x_i e
> y_i, que pueden transformarse en recurrencias de segundo orden, iguales
> salvo los valores iniciales, para las x_i e y_i.
>
> Para n par se obrienen soluciones de la ecuación de Pell estándard
> asociada:
>
> x^2 - rq(k)y^2 = 1 (#2)
>
>
>> (iii) ¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
>> "canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
>> forma x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, donde N es un número
>> natural ?
>
> El problema es similar. Se resuelve primero la ecuación de Pell asociada
> #2. Se buscan luego las soluciones mínimas de
>
> x^2 - rq(k)*y^2 = N (#3), N entero
>
> Combinando, como antes, cada solución de #3 con las soluciones de #2, se
> obtienen familias de soluciones de #3. Las soluciones de estas familias
> estan intercaladas en el mismo orden siempre. De manera que si combinando
> la primera solución de #3 con las soluciones de #2, la primera que
> obtenemos es , por ejemplo, la cuarta de las de #3, es que solo hay tres
> familias distintas de soluciones de #3, que se obtienen respectivamente
> combinando las tres primeras soluciones de #3 con todas las soluciones de
> #2.
>
> Puede ocurrir naturalmente que no haya soluciones, y también que las
> soluciones mínimas no sean de encontrar por que sean muy grandes. Para
> ello hay métodos, pero no me los se.
>
>> El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
>> al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os
>> invito a una
>> de vinos.
>>
>> Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.
>>
>> Un saludo,
>
> Hay un librito, creo que publicado por Ed. Alhambra, titulado algo así
> como "Introducción a la Teoría de Números", de Alan Baker, que te viene
> que ni piuntado para estas dudas. También hay un folletito de la extinta
> ed. MIR, de la colección "Lecciones Populares de Matemáticas", de título
> "Ecuaciones Diofánticas", en el que también tienes esto muy bien. Y michos
> otros con seguridad, pero esos los conozco.
>
> Lo de que las soluciones de #3 están agrupadas en un número finito de
> familias, e intercaladas en el mismo orden, está en un artículo que
> mencioné recientemente, y que ahora no tengo a mano.
>
> Ahora no tengo tiempo de contestarte con más extensión, quizá a la
> noche.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Muchísimas gracias, Ignacio. Tus indicaciones me han ayudado mucho. Me
pondré
manos a la obra con diversos ejemplos a ver si van saliendo.
Por cierto, el libro de Alan Baker ( Medalla Fields ) lo tengo en casa. Es
una joya que
compré hace mucho tiempo y no me acordaba que en el último capítulo habla de
varios tipos
de ecuaciones en enteros. ( Está editado en Alianza Editorial - Alianza
Universidad y supongo
que ya estará descatalogado ). Un libro breve pero denso. Muy
recomendable....

Un saludo,

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:6735srF2mgie6U1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
>> Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
>> otros también.
>>
>> Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
>> en estas ecuaciones que no sabía resolver.
>>
>> Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
>> Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.
>>
>> Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
>> ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
>> buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
>> de Lagrange" ( al parecer )
>>
>> Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
>> haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.
>>
>> Resolvamos en enteros : x^2 - 7y^2 = 1
>>
>> 1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.
>>
>> Con la colaboración de Ignacio, sabemos que
>>
>> sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]
>>
>> 2) Cálculo de las fracciones finitas :
>>
>> f1 = c0 = 2/1
>>
>> f2 = c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1
>>
>> f3 = c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = 5/2
>>
>> f4 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) = 8/3
>>
>> f5 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =
>>
>> = 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14
>>
>> 3) Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
>> anterior al período, es decir, f4 = 8/3.
>>
>> Pues bien, si no estoy equivocado, x1 = 8 e y1 = 3 es la
>> solución más pequeña de la ecuación de Pell dada.
>>
>> 4) Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más
>> soluciones a partir de ella de la siguiente manera :
>>
>> (8+sqrt(7)*3 )^2 = 127 + 48*sqrt(7) y x2 = 127 e y2 = 48 es
>> otra solución.
>>
>> (8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =
>>
>> = 2024 + 765*sqrt(7) y x3 = 2024 e y3 = 765 es otra.
>>
>> Y así sucesivamente.
>>
>> 5) Dudas :
>>
>> (i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?
>
> Si
>
>> (ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
>> Pell del tipo x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , donde k es un número
>> natural libre de cuadrados ?
>
> Si, hay solución si la longitud del período es impar, en caso contrario
> no. Si (x_0, y_0) es la solución mínima de
>
> x^2 - rq(k)y^2 = -1 (#1)
>
> todas las soluciones (x_n, y_n) de #1, se obtienen como
>
> x_n + rq(k)y_n = (x_0 + rq(k)y_0)^n, n impar
>
> De aquí se obtienen relaciones de recurrencia cruzadas lineales para x_i e
> y_i, que pueden transformarse en recurrencias de segundo orden, iguales
> salvo los valores iniciales, para las x_i e y_i.
>
> Para n par se obrienen soluciones de la ecuación de Pell estándard
> asociada:
>
> x^2 - rq(k)y^2 = 1 (#2)
>
>
>> (iii) ¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
>> "canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
>> forma x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, donde N es un número
>> natural ?
>
> El problema es similar. Se resuelve primero la ecuación de Pell asociada
> #2. Se buscan luego las soluciones mínimas de
>
> x^2 - rq(k)*y^2 = N (#3), N entero
>
> Combinando, como antes, cada solución de #3 con las soluciones de #2, se
> obtienen familias de soluciones de #3. Las soluciones de estas familias
> estan intercaladas en el mismo orden siempre. De manera que si combinando
> la primera solución de #3 con las soluciones de #2, la primera que
> obtenemos es , por ejemplo, la cuarta de las de #3, es que solo hay tres
> familias distintas de soluciones de #3, que se obtienen respectivamente
> combinando las tres primeras soluciones de #3 con todas las soluciones de
> #2.
>
> Puede ocurrir naturalmente que no haya soluciones, y también que las
> soluciones mínimas no sean de encontrar por que sean muy grandes. Para
> ello hay métodos, pero no me los se.
>
>> El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
>> al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os
>> invito a una
>> de vinos.
>>
>> Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.
>>
>> Un saludo,
>
> Hay un librito, creo que publicado por Ed. Alhambra, titulado algo así
> como "Introducción a la Teoría de Números", de Alan Baker, que te viene
> que ni piuntado para estas dudas. También hay un folletito de la extinta
> ed. MIR, de la colección "Lecciones Populares de Matemáticas", de título
> "Ecuaciones Diofánticas", en el que también tienes esto muy bien. Y michos
> otros con seguridad, pero esos los conozco.
>
> Lo de que las soluciones de #3 están agrupadas en un número finito de
> familias, e intercaladas en el mismo orden, está en un artículo que
> mencioné recientemente, y que ahora no tengo a mano.
>
> Ahora no tengo tiempo de contestarte con más extensión, quizá a la
> noche.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Muchísimas gracias, Ignacio. Tus indicaciones me han ayudado mucho. Me
pondré
manos a la obra con diversos ejemplos a ver si van saliendo.
Por cierto, el libro de Alan Baker ( Medalla Fields ) lo tengo en casa. Es
una joya que
compré hace mucho tiempo y no me acordaba que en el último capítulo habla de
varios tipos
de ecuaciones en enteros. ( Está editado en Alianza Editorial - Alianza
Universidad y supongo
que ya estará descatalogado ). Un libro breve pero denso. Muy
recomendable....

Un saludo,

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:6735srF2mgie6U1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
>> Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
>> otros también.
>>
>> Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
>> en estas ecuaciones que no sabía resolver.
>>
>> Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
>> Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.
>>
>> Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
>> ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
>> buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
>> de Lagrange" ( al parecer )
>>
>> Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
>> haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.
>>
>> Resolvamos en enteros : x^2 - 7y^2 = 1
>>
>> 1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.
>>
>> Con la colaboración de Ignacio, sabemos que
>>
>> sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]
>>
>> 2) Cálculo de las fracciones finitas :
>>
>> f1 = c0 = 2/1
>>
>> f2 = c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1
>>
>> f3 = c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = 5/2
>>
>> f4 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) = 8/3
>>
>> f5 = c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =
>>
>> = 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14
>>
>> 3) Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
>> anterior al período, es decir, f4 = 8/3.
>>
>> Pues bien, si no estoy equivocado, x1 = 8 e y1 = 3 es la
>> solución más pequeña de la ecuación de Pell dada.
>>
>> 4) Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más
>> soluciones a partir de ella de la siguiente manera :
>>
>> (8+sqrt(7)*3 )^2 = 127 + 48*sqrt(7) y x2 = 127 e y2 = 48 es
>> otra solución.
>>
>> (8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =
>>
>> = 2024 + 765*sqrt(7) y x3 = 2024 e y3 = 765 es otra.
>>
>> Y así sucesivamente.
>>
>> 5) Dudas :
>>
>> (i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?
>
> Si
>
>> (ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
>> Pell del tipo x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , donde k es un número
>> natural libre de cuadrados ?
>
> Si, hay solución si la longitud del período es impar, en caso contrario
> no. Si (x_0, y_0) es la solución mínima de
>
> x^2 - rq(k)y^2 = -1 (#1)
>
> todas las soluciones (x_n, y_n) de #1, se obtienen como
>
> x_n + rq(k)y_n = (x_0 + rq(k)y_0)^n, n impar
>
> De aquí se obtienen relaciones de recurrencia cruzadas lineales para x_i e
> y_i, que pueden transformarse en recurrencias de segundo orden, iguales
> salvo los valores iniciales, para las x_i e y_i.
>
> Para n par se obrienen soluciones de la ecuación de Pell estándard
> asociada:
>
> x^2 - rq(k)y^2 = 1 (#2)
>
>
>> (iii) ¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
>> "canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
>> forma x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, donde N es un número
>> natural ?
>
> El problema es similar. Se resuelve primero la ecuación de Pell asociada
> #2. Se buscan luego las soluciones mínimas de
>
> x^2 - rq(k)*y^2 = N (#3), N entero
>
> Combinando, como antes, cada solución de #3 con las soluciones de #2, se
> obtienen familias de soluciones de #3. Las soluciones de estas familias
> estan intercaladas en el mismo orden siempre. De manera que si combinando
> la primera solución de #3 con las soluciones de #2, la primera que
> obtenemos es , por ejemplo, la cuarta de las de #3, es que solo hay tres
> familias distintas de soluciones de #3, que se obtienen respectivamente
> combinando las tres primeras soluciones de #3 con todas las soluciones de
> #2.
>
> Puede ocurrir naturalmente que no haya soluciones, y también que las
> soluciones mínimas no sean de encontrar por que sean muy grandes. Para
> ello hay métodos, pero no me los se.
>
>> El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
>> al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os
>> invito a una
>> de vinos.
>>
>> Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.
>>
>> Un saludo,
>
> Hay un librito, creo que publicado por Ed. Alhambra, titulado algo así
> como "Introducción a la Teoría de Números", de Alan Baker, que te viene
> que ni piuntado para estas dudas. También hay un folletito de la extinta
> ed. MIR, de la colección "Lecciones Populares de Matemáticas", de título
> "Ecuaciones Diofánticas", en el que también tienes esto muy bien. Y michos
> otros con seguridad, pero esos los conozco.
>
> Lo de que las soluciones de #3 están agrupadas en un número finito de
> familias, e intercaladas en el mismo orden, está en un artículo que
> mencioné recientemente, y que ahora no tengo a mano.
>
> Ahora no tengo tiempo de contestarte con más extensión, quizá a la
> noche.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Muchísimas gracias, Ignacio. Tus indicaciones me han ayudado mucho. Me
pondré
manos a la obra con diversos ejemplos a ver si van saliendo.
Por cierto, el libro de Alan Baker ( Medalla Fields ) lo tengo en casa. Es
una joya que
compré hace mucho tiempo y no me acordaba que en el último capítulo habla de
varios tipos
de ecuaciones en enteros. ( Está editado en Alianza Editorial - Alianza
Universidad y supongo
que ya estará descatalogado ). Un libro breve pero denso. Muy
recomendable....

Un saludo,

On 22 abr, 04:28, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> escribió
> en el mensajenews:6735srF2mgie6U1***mid.individual.net...
>
>
>
>
>
> > Luis wrote:
> >> Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
> >> Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
> >> otros también.
>
> >> Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
> >> en estas ecuaciones que no sabía resolos aqu,iver.
>
> >> Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
> >> Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.
>
> >> Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
> >> ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
> >> buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
> >> de Lagrange" ***( al parecer )
>
> >> Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
> >> haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.
>
> >> Resolvamos en enteros : *** x^2 - 7y^2 = 1
>
> >> 1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.
>
> >> *** Con la colaboración de Ignacio, sabemos que
>
> >> *** sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]
>
> >> 2) Cálculo de las fracciones finitas :
>
> >> *** f1 = c0 = ***2/1
>
> >> *** f2 = ***c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1
>
> >> *** f3 = ***c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = ***5/2
>
> >> *** f4 = ***c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) =8/3
>
> >> *** f5 = ***c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =
>
> >> *** *** *** = 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14
>
> >> 3) ***Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
> >> *** *** anterior al período, es decir, ***f4 = 8/3.
>
> >> *** *** Pues bien, si no estoy equivocado, ***x1 = 8 ***e ***y1 = 3***es la
> >> *** *** solución más pequeña de la ecuación de Pell dada.
>
> >> 4) ***Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más
> >> *** *** soluciones a partir de ella de la siguiente manera :
>
> >> *** *** (8+sqrt(7)*3 )^2 = ***127 + 48*sqrt(7) *** y ***x2 = 127 e y2 = 48 ***es
> >> *** *** otra solución.
>
> >> *** *** ***(8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =
>
> >> *** *** = ***2024 + 765*sqrt(7) ***y ***x3 = 2024 ***e ***y3 = 765 ***es otra.
>
> >> *** ***Y así sucesivamente.
>
> >> 5) Dudas :
>
> >> *** ***(i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?
>
> > Si
>
> >> *** ***(ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
> >> *** *** *** *** ***Pell del tipo ***x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , ***dondek es un número
> >> *** *** *** *** ***natural libre de cuadrados ?
>
> > Si, hay solución si la longitud del período es impar, en caso contrario
> > no. Si (x_0, y_0) es la solución mínima de
>
> > x^2 - rq(k)y^2 = -1 ***(#1)
>
> > todas las soluciones (x_n, y_n) de #1, se obtienen como
>
> > x_n + rq(k)y_n = (x_0 + rq(k)y_0)^n, ***n ***impar
>
> > De aquí se obtienen relaciones de recurrencia cruzadas lineales para x_i e
> > y_i, que pueden transformarse en recurrencias de segundo orden, iguales
> > salvo los valores iniciales, para las x_i e y_i.
>
> > Para n par se obrienen soluciones de la ecuación de Pell estándard
> > asociada:
>
> > x^2 - rq(k)y^2 = 1 ***(#2)
>
> >> *** ***(iii) ***¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
> >> *** *** *** *** *** "canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
> >> *** *** *** *** *** forma ***x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, ***donde N es un número
> >> natural ?
>
> > El problema es similar. Se resuelve primero la ecuación de Pell asociada
> > #2. Se buscan luego las soluciones mínimas de
>
> > x^2 - rq(k)*y^2 = N ***(#3), ***N entero
>
> > Combinando, como antes, cada solución de #3 con las soluciones de #2, se
> > obtienen familias de soluciones de #3. Las soluciones de estas familias
> > estan intercaladas en el mismo orden siempre. De manera que si combinando
> > la primera solución de #3 con las soluciones de #2, la primera que
> > obtenemos es , por ejemplo, la cuarta de las de #3, es que solo hay tres
> > familias distintas de soluciones de #3, que se obtienen respectivamente
> > combinando las tres primeras soluciones de #3 con todas las soluciones de
> > #2.
>
> > Puede ocurrir naturalmente que no haya soluciones, y también que las
> > soluciones mínimas no sean ***de encontrar por que sean muy grandes. Para
> > ello hay métodos, pero no me los se.
>
> >> El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
> >> al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os
> >> invito a una
> >> de vinos.
>
> >> Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.
>
> >> Un saludo,
>
> > Hay un librito, creo que publicado por Ed. Alhambra, titulado algo así
> > como "Introducción a la Teoría de Números", de Alan Baker, que te viene
> > que ni piuntado para estas dudas. También hay un folletito de la extinta
> > ed. MIR, de la colección "Lecciones Populares de Matemáticas", de título
> > "Ecuaciones Diofánticas", en el que también tienes esto muy bien. Y michos
> > otros con seguridad, pero esos los conozco.
>
> > Lo de que las soluciones de #3 están agrupadas en un número finito de
> > familias, e intercaladas en el mismo orden, está en un artículo que
> > mencioné recientemente, y que ahora no tengo a mano.
>
> > *** ***Ahora no tengo tiempo de contestarte con más extensión, quizá a la
> > noche.
>
> > --
> > Saludos,
>
> > Ignacio Larrosa Cañestro
> > A Coruña (España)
> > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Muchísimas gracias, Ignacio. Tus indicaciones me han ayudado mucho. Me
> pondré
> manos a la obra con diversos ejemplos a ver si van saliendo.
> Por cierto, el libro de Alan Baker ( Medalla Fields ) lo tengo en casa. Es
> una joya que
> compré hace mucho tiempo y no me acordaba que en el último capítulo habla de
> varios tipos
> de ecuaciones en enteros. ( Está editado en Alianza Editorial - Alianza
> Universidad ***y supongo
> que ya estará descatalogado ). Un libro breve pero denso. Muy
> recomendable....
>
> Un saludo,- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -
Veo que te interesa el tema.La verdad es que es entretenido.En
realidad yo el único problema que veo que entraña mas diicultad es
encontrar la primera solucion.Ahora lo tenemos aqui:
http://www.math.fau.edu/Richman/pell-m.htm
pero ¿y antes sin ordenador?. Tenia su merito hallarle la primera
solucion.
Ignacio creo que fué quien envio este articulo que lo guardé pero no
llegué a leerlo la verdad.Como esta semana practicamente no estaré en
casa lo imprimiré e intentaré vérmelo, aunque ya te digo que contando
con las soluciones primeras y cuatro ideas claras no debe haber mucho
problema aunque es bastante corriente dejarte una familia de
soluciones detrás.Bueno el libro era http://hometown.aol.com/jpr2718/pell..pdf
Comentanos tus avances sobre el tema

Saludos
León-Sotelo

On 22 abr, 04:28, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> escribió
> en el mensajenews:6735srF2mgie6U1***mid.individual.net...
>
>
>
>
>
> > Luis wrote:
> >> Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
> >> Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
> >> otros también.
>
> >> Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
> >> en estas ecuaciones que no sabía resolos aqu,iver.
>
> >> Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
> >> Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.
>
> >> Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
> >> ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
> >> buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
> >> de Lagrange" ***( al parecer )
>
> >> Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
> >> haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.
>
> >> Resolvamos en enteros : *** x^2 - 7y^2 = 1
>
> >> 1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.
>
> >> *** Con la colaboración de Ignacio, sabemos que
>
> >> *** sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]
>
> >> 2) Cálculo de las fracciones finitas :
>
> >> *** f1 = c0 = ***2/1
>
> >> *** f2 = ***c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1
>
> >> *** f3 = ***c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = ***5/2
>
> >> *** f4 = ***c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) =8/3
>
> >> *** f5 = ***c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =
>
> >> *** *** *** = 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14
>
> >> 3) ***Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
> >> *** *** anterior al período, es decir, ***f4 = 8/3.
>
> >> *** *** Pues bien, si no estoy equivocado, ***x1 = 8 ***e ***y1 = 3***es la
> >> *** *** solución más pequeña de la ecuación de Pell dada.
>
> >> 4) ***Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más
> >> *** *** soluciones a partir de ella de la siguiente manera :
>
> >> *** *** (8+sqrt(7)*3 )^2 = ***127 + 48*sqrt(7) *** y ***x2 = 127 e y2 = 48 ***es
> >> *** *** otra solución.
>
> >> *** *** ***(8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =
>
> >> *** *** = ***2024 + 765*sqrt(7) ***y ***x3 = 2024 ***e ***y3 = 765 ***es otra.
>
> >> *** ***Y así sucesivamente.
>
> >> 5) Dudas :
>
> >> *** ***(i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?
>
> > Si
>
> >> *** ***(ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
> >> *** *** *** *** ***Pell del tipo ***x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , ***dondek es un número
> >> *** *** *** *** ***natural libre de cuadrados ?
>
> > Si, hay solución si la longitud del período es impar, en caso contrario
> > no. Si (x_0, y_0) es la solución mínima de
>
> > x^2 - rq(k)y^2 = -1 ***(#1)
>
> > todas las soluciones (x_n, y_n) de #1, se obtienen como
>
> > x_n + rq(k)y_n = (x_0 + rq(k)y_0)^n, ***n ***impar
>
> > De aquí se obtienen relaciones de recurrencia cruzadas lineales para x_i e
> > y_i, que pueden transformarse en recurrencias de segundo orden, iguales
> > salvo los valores iniciales, para las x_i e y_i.
>
> > Para n par se obrienen soluciones de la ecuación de Pell estándard
> > asociada:
>
> > x^2 - rq(k)y^2 = 1 ***(#2)
>
> >> *** ***(iii) ***¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
> >> *** *** *** *** *** "canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
> >> *** *** *** *** *** forma ***x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, ***donde N es un número
> >> natural ?
>
> > El problema es similar. Se resuelve primero la ecuación de Pell asociada
> > #2. Se buscan luego las soluciones mínimas de
>
> > x^2 - rq(k)*y^2 = N ***(#3), ***N entero
>
> > Combinando, como antes, cada solución de #3 con las soluciones de #2, se
> > obtienen familias de soluciones de #3. Las soluciones de estas familias
> > estan intercaladas en el mismo orden siempre. De manera que si combinando
> > la primera solución de #3 con las soluciones de #2, la primera que
> > obtenemos es , por ejemplo, la cuarta de las de #3, es que solo hay tres
> > familias distintas de soluciones de #3, que se obtienen respectivamente
> > combinando las tres primeras soluciones de #3 con todas las soluciones de
> > #2.
>
> > Puede ocurrir naturalmente que no haya soluciones, y también que las
> > soluciones mínimas no sean ***de encontrar por que sean muy grandes. Para
> > ello hay métodos, pero no me los se.
>
> >> El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
> >> al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os
> >> invito a una
> >> de vinos.
>
> >> Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.
>
> >> Un saludo,
>
> > Hay un librito, creo que publicado por Ed. Alhambra, titulado algo así
> > como "Introducción a la Teoría de Números", de Alan Baker, que te viene
> > que ni piuntado para estas dudas. También hay un folletito de la extinta
> > ed. MIR, de la colección "Lecciones Populares de Matemáticas", de título
> > "Ecuaciones Diofánticas", en el que también tienes esto muy bien. Y michos
> > otros con seguridad, pero esos los conozco.
>
> > Lo de que las soluciones de #3 están agrupadas en un número finito de
> > familias, e intercaladas en el mismo orden, está en un artículo que
> > mencioné recientemente, y que ahora no tengo a mano.
>
> > *** ***Ahora no tengo tiempo de contestarte con más extensión, quizá a la
> > noche.
>
> > --
> > Saludos,
>
> > Ignacio Larrosa Cañestro
> > A Coruña (España)
> > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Muchísimas gracias, Ignacio. Tus indicaciones me han ayudado mucho. Me
> pondré
> manos a la obra con diversos ejemplos a ver si van saliendo.
> Por cierto, el libro de Alan Baker ( Medalla Fields ) lo tengo en casa. Es
> una joya que
> compré hace mucho tiempo y no me acordaba que en el último capítulo habla de
> varios tipos
> de ecuaciones en enteros. ( Está editado en Alianza Editorial - Alianza
> Universidad ***y supongo
> que ya estará descatalogado ). Un libro breve pero denso. Muy
> recomendable....
>
> Un saludo,- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -
Veo que te interesa el tema.La verdad es que es entretenido.En
realidad yo el único problema que veo que entraña mas diicultad es
encontrar la primera solucion.Ahora lo tenemos aqui:
http://www.math.fau.edu/Richman/pell-m.htm
pero ¿y antes sin ordenador?. Tenia su merito hallarle la primera
solucion.
Ignacio creo que fué quien envio este articulo que lo guardé pero no
llegué a leerlo la verdad.Como esta semana practicamente no estaré en
casa lo imprimiré e intentaré vérmelo, aunque ya te digo que contando
con las soluciones primeras y cuatro ideas claras no debe haber mucho
problema aunque es bastante corriente dejarte una familia de
soluciones detrás.Bueno el libro era http://hometown.aol.com/jpr2718/pell..pdf
Comentanos tus avances sobre el tema

Saludos
León-Sotelo

On 22 abr, 04:28, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> escribió
> en el mensajenews:6735srF2mgie6U1***mid.individual.net...
>
>
>
>
>
> > Luis wrote:
> >> Aquí se ha hablado mucho y con gran nivel de las ecuaciones de Pell.
> >> Sobre todo Ignacio Larrosa y Antonio González, aunque seguramente
> >> otros también.
>
> >> Así que me ha picado la curiosidad y he decidido hacer mis pinitos
> >> en estas ecuaciones que no sabía resolos aqu,iver.
>
> >> Lo de las famosas recurrencias me intimidaba un poco, aunque tanto
> >> Ignacio como Antonio lo explicaron con brillantez.
>
> >> Por casualidad, leí en algún sitio que Lagrange había resuelto estas
> >> ecuaciones usando fracciones continuas. Así que empecé también a
> >> buscar cosas sobre estos fascinantes numeritos y sobre el "método
> >> de Lagrange" ***( al parecer )
>
> >> Con un ejemplo, os voy a "ilustrar" con mis "progresos" y luego os
> >> haré ( ¡ cómo no ! ) algunas preguntas.
>
> >> Resolvamos en enteros : *** x^2 - 7y^2 = 1
>
> >> 1) Descomposición de sqrt(7) en fracciones continuas.
>
> >> *** Con la colaboración de Ignacio, sabemos que
>
> >> *** sqrt(7) = [ 2 ; 1, 1 , 1 , 4 ]
>
> >> 2) Cálculo de las fracciones finitas :
>
> >> *** f1 = c0 = ***2/1
>
> >> *** f2 = ***c0 + 1 / c1 = 2 + 1/1 = 3/1
>
> >> *** f3 = ***c0 + 1 / (c1 + 1/c2) = 2 + 1/( 1 + 1/1) = ***5/2
>
> >> *** f4 = ***c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/c3 )) = 2 + 1/(1+1/(1+1)) =8/3
>
> >> *** f5 = ***c0 + 1 / (c1 + 1/( c2 + 1/(c3 + 1/c4 ))) =
>
> >> *** *** *** = 2+1/(1+1/(1+1(1+4)) = 37/14
>
> >> 3) ***Como el período es 4, tomamos la fracción finita inmediatamente
> >> *** *** anterior al período, es decir, ***f4 = 8/3.
>
> >> *** *** Pues bien, si no estoy equivocado, ***x1 = 8 ***e ***y1 = 3***es la
> >> *** *** solución más pequeña de la ecuación de Pell dada.
>
> >> 4) ***Obtenida esta solución ( minimal ), pueden obtenerse más
> >> *** *** soluciones a partir de ella de la siguiente manera :
>
> >> *** *** (8+sqrt(7)*3 )^2 = ***127 + 48*sqrt(7) *** y ***x2 = 127 e y2 = 48 ***es
> >> *** *** otra solución.
>
> >> *** *** ***(8+sqrt(7)*3 )^3 = (127 + 48*sqrt(7) )*(8+sqrt(7)*3 ) =
>
> >> *** *** = ***2024 + 765*sqrt(7) ***y ***x3 = 2024 ***e ***y3 = 765 ***es otra.
>
> >> *** ***Y así sucesivamente.
>
> >> 5) Dudas :
>
> >> *** ***(i) ¿ Proporciona este método todas las soluciones de la ecuación ?
>
> > Si
>
> >> *** ***(ii) ¿ Puede hacerse algo parecido para resolver una ecuación de
> >> *** *** *** *** ***Pell del tipo ***x^2 - sqrt(k)*y^2 = -1 , ***dondek es un número
> >> *** *** *** *** ***natural libre de cuadrados ?
>
> > Si, hay solución si la longitud del período es impar, en caso contrario
> > no. Si (x_0, y_0) es la solución mínima de
>
> > x^2 - rq(k)y^2 = -1 ***(#1)
>
> > todas las soluciones (x_n, y_n) de #1, se obtienen como
>
> > x_n + rq(k)y_n = (x_0 + rq(k)y_0)^n, ***n ***impar
>
> > De aquí se obtienen relaciones de recurrencia cruzadas lineales para x_i e
> > y_i, que pueden transformarse en recurrencias de segundo orden, iguales
> > salvo los valores iniciales, para las x_i e y_i.
>
> > Para n par se obrienen soluciones de la ecuación de Pell estándard
> > asociada:
>
> > x^2 - rq(k)y^2 = 1 ***(#2)
>
> >> *** ***(iii) ***¿ Cómo se deducen de las soluciones de estas ecuaciones
> >> *** *** *** *** *** "canónicas" las soluciones de ecuaciones más generales de la
> >> *** *** *** *** *** forma ***x^2 - sqrt(k)*y^2 = +/-N, ***donde N es un número
> >> natural ?
>
> > El problema es similar. Se resuelve primero la ecuación de Pell asociada
> > #2. Se buscan luego las soluciones mínimas de
>
> > x^2 - rq(k)*y^2 = N ***(#3), ***N entero
>
> > Combinando, como antes, cada solución de #3 con las soluciones de #2, se
> > obtienen familias de soluciones de #3. Las soluciones de estas familias
> > estan intercaladas en el mismo orden siempre. De manera que si combinando
> > la primera solución de #3 con las soluciones de #2, la primera que
> > obtenemos es , por ejemplo, la cuarta de las de #3, es que solo hay tres
> > familias distintas de soluciones de #3, que se obtienen respectivamente
> > combinando las tres primeras soluciones de #3 con todas las soluciones de
> > #2.
>
> > Puede ocurrir naturalmente que no haya soluciones, y también que las
> > soluciones mínimas no sean ***de encontrar por que sean muy grandes. Para
> > ello hay métodos, pero no me los se.
>
> >> El día que pueda resolver ( por este método expuesto, que parece estar
> >> al alcance de mis posibilidades ) cualquier ecuación de Pell, os
> >> invito a una
> >> de vinos.
>
> >> Me despido de Uds. con la esperanza de no haberles aburrido demasiado.
>
> >> Un saludo,
>
> > Hay un librito, creo que publicado por Ed. Alhambra, titulado algo así
> > como "Introducción a la Teoría de Números", de Alan Baker, que te viene
> > que ni piuntado para estas dudas. También hay un folletito de la extinta
> > ed. MIR, de la colección "Lecciones Populares de Matemáticas", de título
> > "Ecuaciones Diofánticas", en el que también tienes esto muy bien. Y michos
> > otros con seguridad, pero esos los conozco.
>
> > Lo de que las soluciones de #3 están agrupadas en un número finito de
> > familias, e intercaladas en el mismo orden, está en un artículo que
> > mencioné recientemente, y que ahora no tengo a mano.
>
> > *** ***Ahora no tengo tiempo de contestarte con más extensión, quizá a la
> > noche.
>
> > --
> > Saludos,
>
> > Ignacio Larrosa Cañestro
> > A Coruña (España)
> > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Muchísimas gracias, Ignacio. Tus indicaciones me han ayudado mucho. Me
> pondré
> manos a la obra con diversos ejemplos a ver si van saliendo.
> Por cierto, el libro de Alan Baker ( Medalla Fields ) lo tengo en casa. Es
> una joya que
> compré hace mucho tiempo y no me acordaba que en el último capítulo habla de
> varios tipos
> de ecuaciones en enteros. ( Está editado en Alianza Editorial - Alianza
> Universidad ***y supongo
> que ya estará descatalogado ). Un libro breve pero denso. Muy
> recomendable....
>
> Un saludo,- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -
Veo que te interesa el tema.La verdad es que es entretenido.En
realidad yo el único problema que veo que entraña mas diicultad es
encontrar la primera solucion.Ahora lo tenemos aqui:
http://www.math.fau.edu/Richman/pell-m.htm
pero ¿y antes sin ordenador?. Tenia su merito hallarle la primera
solucion.
Ignacio creo que fué quien envio este articulo que lo guardé pero no
llegué a leerlo la verdad.Como esta semana practicamente no estaré en
casa lo imprimiré e intentaré vérmelo, aunque ya te digo que contando
con las soluciones primeras y cuatro ideas claras no debe haber mucho
problema aunque es bastante corriente dejarte una familia de
soluciones detrás.Bueno el libro era http://hometown.aol.com/jpr2718/pell..pdf
Comentanos tus avances sobre el tema

Saludos
León-Sotelo