Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son tangentes
a una misma recta R. Demostrar que sus radios son soluciones de una
cúbica de la forma

2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0


--

Antonio

Antonio González wrote:
> Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son
> tangentes a una misma recta R. Demostrar que sus radios son
> soluciones de una cúbica de la forma
>
> 2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0

Aplicando la fórmula de descartes para las curvaturas de cuatro
circunferencias mutuamente tangentes, teniendo en cuenta que la recta tiene
curvatura nula, tenemos que

2(1/p^2 + 1/q^2 + 1/r^2) = (1/p + 1/q + 1/r)^2 (#1)

Por otra parte, dividediendo la ecuación dada por 2A y excpandiendolas,

x^3 + Ax^2/2 + Bx + B^2/(2A) = 0

Y debe ser

A = -2(p + q + r)

B = pq + pr + qr

B^2/2A = -pqr

Sustituyendo las dos primeras, tenemos que

B^2/(2A) = -(pq + pr + qr)^2/(4(p + q + r)) (#2)

Tenemos pues que ver que esto es -pqr


De #1, multiplicando por p^2q^2r^2,

2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = (pq + pr + qr)^2

p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 = 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2)

= 2pqr(p + q + r)

Por tanto,

(pq + pr + qr)^2 = 4pqr(p +q + r) ==>

(pq + pr + qr)^2/(4(p +q + r)) = pqr (q.e.d.)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son
> tangentes a una misma recta R. Demostrar que sus radios son
> soluciones de una cúbica de la forma
>
> 2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0

Aplicando la fórmula de descartes para las curvaturas de cuatro
circunferencias mutuamente tangentes, teniendo en cuenta que la recta tiene
curvatura nula, tenemos que

2(1/p^2 + 1/q^2 + 1/r^2) = (1/p + 1/q + 1/r)^2 (#1)

Por otra parte, dividediendo la ecuación dada por 2A y excpandiendolas,

x^3 + Ax^2/2 + Bx + B^2/(2A) = 0

Y debe ser

A = -2(p + q + r)

B = pq + pr + qr

B^2/2A = -pqr

Sustituyendo las dos primeras, tenemos que

B^2/(2A) = -(pq + pr + qr)^2/(4(p + q + r)) (#2)

Tenemos pues que ver que esto es -pqr


De #1, multiplicando por p^2q^2r^2,

2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = (pq + pr + qr)^2

p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 = 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2)

= 2pqr(p + q + r)

Por tanto,

(pq + pr + qr)^2 = 4pqr(p +q + r) ==>

(pq + pr + qr)^2/(4(p +q + r)) = pqr (q.e.d.)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son
> tangentes a una misma recta R. Demostrar que sus radios son
> soluciones de una cúbica de la forma
>
> 2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0

Aplicando la fórmula de descartes para las curvaturas de cuatro
circunferencias mutuamente tangentes, teniendo en cuenta que la recta tiene
curvatura nula, tenemos que

2(1/p^2 + 1/q^2 + 1/r^2) = (1/p + 1/q + 1/r)^2 (#1)

Por otra parte, dividediendo la ecuación dada por 2A y excpandiendolas,

x^3 + Ax^2/2 + Bx + B^2/(2A) = 0

Y debe ser

A = -2(p + q + r)

B = pq + pr + qr

B^2/2A = -pqr

Sustituyendo las dos primeras, tenemos que

B^2/(2A) = -(pq + pr + qr)^2/(4(p + q + r)) (#2)

Tenemos pues que ver que esto es -pqr


De #1, multiplicando por p^2q^2r^2,

2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = (pq + pr + qr)^2

p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 = 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2)

= 2pqr(p + q + r)

Por tanto,

(pq + pr + qr)^2 = 4pqr(p +q + r) ==>

(pq + pr + qr)^2/(4(p +q + r)) = pqr (q.e.d.)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:67mip3F2oiob3U1***mid.individual.net...
> Antonio González wrote:
>> Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son
>> tangentes a una misma recta R. Demostrar que sus radios son
>> soluciones de una cúbica de la forma
>>
>> 2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0
>
> Aplicando la fórmula de descartes para las curvaturas de cuatro
> circunferencias mutuamente tangentes, teniendo en cuenta que la recta
> tiene curvatura nula, tenemos que
>
> 2(1/p^2 + 1/q^2 + 1/r^2) = (1/p + 1/q + 1/r)^2 (#1)
>
> Por otra parte, dividediendo la ecuación dada por 2A y excpandiendolas,
>
> x^3 + Ax^2/2 + Bx + B^2/(2A) = 0
>
> Y debe ser
>
> A = -2(p + q + r)
>
> B = pq + pr + qr
>
> B^2/2A = -pqr
>
> Sustituyendo las dos primeras, tenemos que
>
> B^2/(2A) = -(pq + pr + qr)^2/(4(p + q + r)) (#2)
>
> Tenemos pues que ver que esto es -pqr
>
>
> De #1, multiplicando por p^2q^2r^2,
>
> 2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = (pq + pr + qr)^2
>
> p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 = 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2)
>
> = 2pqr(p + q + r)
>
> Por tanto,
>
> (pq + pr + qr)^2 = 4pqr(p +q + r) ==>
>
> (pq + pr + qr)^2/(4(p +q + r)) = pqr (q.e.d.)
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Lo que no veo es cómo puede ser una recta tangente a tres
circunferencias que son, a su vez, tangentes exteriores dos a dos.
Está claro que hay una circunferencia exterior tangente a las tres
dadas y también una que las puede circunscribir.
Pero no veo la recta. A ver si con el GeoGebra me lo aclaras, hombre.

Saludos,

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:67mip3F2oiob3U1***mid.individual.net...
> Antonio González wrote:
>> Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son
>> tangentes a una misma recta R. Demostrar que sus radios son
>> soluciones de una cúbica de la forma
>>
>> 2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0
>
> Aplicando la fórmula de descartes para las curvaturas de cuatro
> circunferencias mutuamente tangentes, teniendo en cuenta que la recta
> tiene curvatura nula, tenemos que
>
> 2(1/p^2 + 1/q^2 + 1/r^2) = (1/p + 1/q + 1/r)^2 (#1)
>
> Por otra parte, dividediendo la ecuación dada por 2A y excpandiendolas,
>
> x^3 + Ax^2/2 + Bx + B^2/(2A) = 0
>
> Y debe ser
>
> A = -2(p + q + r)
>
> B = pq + pr + qr
>
> B^2/2A = -pqr
>
> Sustituyendo las dos primeras, tenemos que
>
> B^2/(2A) = -(pq + pr + qr)^2/(4(p + q + r)) (#2)
>
> Tenemos pues que ver que esto es -pqr
>
>
> De #1, multiplicando por p^2q^2r^2,
>
> 2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = (pq + pr + qr)^2
>
> p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 = 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2)
>
> = 2pqr(p + q + r)
>
> Por tanto,
>
> (pq + pr + qr)^2 = 4pqr(p +q + r) ==>
>
> (pq + pr + qr)^2/(4(p +q + r)) = pqr (q.e.d.)
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Lo que no veo es cómo puede ser una recta tangente a tres
circunferencias que son, a su vez, tangentes exteriores dos a dos.
Está claro que hay una circunferencia exterior tangente a las tres
dadas y también una que las puede circunscribir.
Pero no veo la recta. A ver si con el GeoGebra me lo aclaras, hombre.

Saludos,

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:67mip3F2oiob3U1***mid.individual.net...
> Antonio González wrote:
>> Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son
>> tangentes a una misma recta R. Demostrar que sus radios son
>> soluciones de una cúbica de la forma
>>
>> 2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0
>
> Aplicando la fórmula de descartes para las curvaturas de cuatro
> circunferencias mutuamente tangentes, teniendo en cuenta que la recta
> tiene curvatura nula, tenemos que
>
> 2(1/p^2 + 1/q^2 + 1/r^2) = (1/p + 1/q + 1/r)^2 (#1)
>
> Por otra parte, dividediendo la ecuación dada por 2A y excpandiendolas,
>
> x^3 + Ax^2/2 + Bx + B^2/(2A) = 0
>
> Y debe ser
>
> A = -2(p + q + r)
>
> B = pq + pr + qr
>
> B^2/2A = -pqr
>
> Sustituyendo las dos primeras, tenemos que
>
> B^2/(2A) = -(pq + pr + qr)^2/(4(p + q + r)) (#2)
>
> Tenemos pues que ver que esto es -pqr
>
>
> De #1, multiplicando por p^2q^2r^2,
>
> 2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = (pq + pr + qr)^2
>
> p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 = 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2)
>
> = 2pqr(p + q + r)
>
> Por tanto,
>
> (pq + pr + qr)^2 = 4pqr(p +q + r) ==>
>
> (pq + pr + qr)^2/(4(p +q + r)) = pqr (q.e.d.)
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Lo que no veo es cómo puede ser una recta tangente a tres
circunferencias que son, a su vez, tangentes exteriores dos a dos.
Está claro que hay una circunferencia exterior tangente a las tres
dadas y también una que las puede circunscribir.
Pero no veo la recta. A ver si con el GeoGebra me lo aclaras, hombre.

Saludos,

Luis escribió:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
> en el mensaje news:67mip3F2oiob3U1***mid.individual.net...
>> Antonio González wrote:
>>> Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son
>>> tangentes a una misma recta R. Demostrar que sus radios son
>>> soluciones de una cúbica de la forma
>>>
>>> 2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0
>> Aplicando la fórmula de descartes para las curvaturas de cuatro
>> circunferencias mutuamente tangentes, teniendo en cuenta que la recta
>> tiene curvatura nula, tenemos que
>>
>> 2(1/p^2 + 1/q^2 + 1/r^2) = (1/p + 1/q + 1/r)^2 (#1)
>>
>> Por otra parte, dividediendo la ecuación dada por 2A y excpandiendolas,
>>
>> x^3 + Ax^2/2 + Bx + B^2/(2A) = 0
>>
>> Y debe ser
>>
>> A = -2(p + q + r)
>>
>> B = pq + pr + qr
>>
>> B^2/2A = -pqr
>>
>> Sustituyendo las dos primeras, tenemos que
>>
>> B^2/(2A) = -(pq + pr + qr)^2/(4(p + q + r)) (#2)
>>
>> Tenemos pues que ver que esto es -pqr
>>
>>
>> De #1, multiplicando por p^2q^2r^2,
>>
>> 2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = (pq + pr + qr)^2
>>
>> p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 = 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2)
>>
>> = 2pqr(p + q + r)
>>
>> Por tanto,
>>
>> (pq + pr + qr)^2 = 4pqr(p +q + r) ==>
>>
>> (pq + pr + qr)^2/(4(p +q + r)) = pqr (q.e.d.)
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
> Lo que no veo es cómo puede ser una recta tangente a tres
> circunferencias que son, a su vez, tangentes exteriores dos a dos.
> Está claro que hay una circunferencia exterior tangente a las tres
> dadas y también una que las puede circunscribir.
> Pero no veo la recta. A ver si con el GeoGebra me lo aclaras, hombre.
>

Es bien fácil. Solo requiere un lápiz y un papel.

Dibujas una recta horizontal. Sobre esta recta trazas dos
circunferencias, cual ruedas de tractor, tangentes a la recta y
tangentes entre sí. Las dos circunferencias y la recta definen un
triángulo curvilíneo entre sus puntos de tangencia.

Trazas la circunferencia inscrita en este triángulo. Ya tienes tres
circunferencias tangentes dos a dos y tangentes las tres a la recta R.

--

Antonio

Luis escribió:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
> en el mensaje news:67mip3F2oiob3U1***mid.individual.net...
>> Antonio González wrote:
>>> Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son
>>> tangentes a una misma recta R. Demostrar que sus radios son
>>> soluciones de una cúbica de la forma
>>>
>>> 2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0
>> Aplicando la fórmula de descartes para las curvaturas de cuatro
>> circunferencias mutuamente tangentes, teniendo en cuenta que la recta
>> tiene curvatura nula, tenemos que
>>
>> 2(1/p^2 + 1/q^2 + 1/r^2) = (1/p + 1/q + 1/r)^2 (#1)
>>
>> Por otra parte, dividediendo la ecuación dada por 2A y excpandiendolas,
>>
>> x^3 + Ax^2/2 + Bx + B^2/(2A) = 0
>>
>> Y debe ser
>>
>> A = -2(p + q + r)
>>
>> B = pq + pr + qr
>>
>> B^2/2A = -pqr
>>
>> Sustituyendo las dos primeras, tenemos que
>>
>> B^2/(2A) = -(pq + pr + qr)^2/(4(p + q + r)) (#2)
>>
>> Tenemos pues que ver que esto es -pqr
>>
>>
>> De #1, multiplicando por p^2q^2r^2,
>>
>> 2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = (pq + pr + qr)^2
>>
>> p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 = 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2)
>>
>> = 2pqr(p + q + r)
>>
>> Por tanto,
>>
>> (pq + pr + qr)^2 = 4pqr(p +q + r) ==>
>>
>> (pq + pr + qr)^2/(4(p +q + r)) = pqr (q.e.d.)
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
> Lo que no veo es cómo puede ser una recta tangente a tres
> circunferencias que son, a su vez, tangentes exteriores dos a dos.
> Está claro que hay una circunferencia exterior tangente a las tres
> dadas y también una que las puede circunscribir.
> Pero no veo la recta. A ver si con el GeoGebra me lo aclaras, hombre.
>

Es bien fácil. Solo requiere un lápiz y un papel.

Dibujas una recta horizontal. Sobre esta recta trazas dos
circunferencias, cual ruedas de tractor, tangentes a la recta y
tangentes entre sí. Las dos circunferencias y la recta definen un
triángulo curvilíneo entre sus puntos de tangencia.

Trazas la circunferencia inscrita en este triángulo. Ya tienes tres
circunferencias tangentes dos a dos y tangentes las tres a la recta R.

--

Antonio

Luis escribió:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
> en el mensaje news:67mip3F2oiob3U1***mid.individual.net...
>> Antonio González wrote:
>>> Tres circunferencias son tangentes exteriores dos a dos y son
>>> tangentes a una misma recta R. Demostrar que sus radios son
>>> soluciones de una cúbica de la forma
>>>
>>> 2Ax^3 + (Ax + B)^2 = 0
>> Aplicando la fórmula de descartes para las curvaturas de cuatro
>> circunferencias mutuamente tangentes, teniendo en cuenta que la recta
>> tiene curvatura nula, tenemos que
>>
>> 2(1/p^2 + 1/q^2 + 1/r^2) = (1/p + 1/q + 1/r)^2 (#1)
>>
>> Por otra parte, dividediendo la ecuación dada por 2A y excpandiendolas,
>>
>> x^3 + Ax^2/2 + Bx + B^2/(2A) = 0
>>
>> Y debe ser
>>
>> A = -2(p + q + r)
>>
>> B = pq + pr + qr
>>
>> B^2/2A = -pqr
>>
>> Sustituyendo las dos primeras, tenemos que
>>
>> B^2/(2A) = -(pq + pr + qr)^2/(4(p + q + r)) (#2)
>>
>> Tenemos pues que ver que esto es -pqr
>>
>>
>> De #1, multiplicando por p^2q^2r^2,
>>
>> 2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = (pq + pr + qr)^2
>>
>> p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 = 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2)
>>
>> = 2pqr(p + q + r)
>>
>> Por tanto,
>>
>> (pq + pr + qr)^2 = 4pqr(p +q + r) ==>
>>
>> (pq + pr + qr)^2/(4(p +q + r)) = pqr (q.e.d.)
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
> Lo que no veo es cómo puede ser una recta tangente a tres
> circunferencias que son, a su vez, tangentes exteriores dos a dos.
> Está claro que hay una circunferencia exterior tangente a las tres
> dadas y también una que las puede circunscribir.
> Pero no veo la recta. A ver si con el GeoGebra me lo aclaras, hombre.
>

Es bien fácil. Solo requiere un lápiz y un papel.

Dibujas una recta horizontal. Sobre esta recta trazas dos
circunferencias, cual ruedas de tractor, tangentes a la recta y
tangentes entre sí. Las dos circunferencias y la recta definen un
triángulo curvilíneo entre sus puntos de tangencia.

Trazas la circunferencia inscrita en este triángulo. Ya tienes tres
circunferencias tangentes dos a dos y tangentes las tres a la recta R.

--

Antonio