Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de radios
1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia tangente exterior
a estas tres?

¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
acabamos de calcular?

¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?

¿Y si los radios iniciales valen 1/2, 1/3 y 1/6 y construimos la cadena
de circunferencias entre la de radio 1/2 y la de radio 1/3?

--
Antonio

Antonio González wrote:
> Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de
> radios 1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia
> tangente exterior a estas tres?

Las curvaturas son 1, 1 y 4. Si x es la de la cuarta,

2(18 + x^2) = (6 + x)^2 ====> x = 12 ó x = 0

Resulta que una es una recta (¿tangente exterior o interior ...?) y la otra
una circunferencia deradio 1/12, tangente exteriormante a las tres.


> ¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
> acabamos de calcular?

Siguiendo siempre con las curvaturas,

2(146 + x^2) = (14 + x)^2 ====> x = 24 ó x = 4

La de curvatura 4 es la anterior, la nueva tiene radio 1/24, que es la
comprendida entre las tres


> ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
> las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?


2(1 + 1 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (1 + 1 + x(n-1) + x(n))^2 ===>

x(n) = x(n-1) + 2 +/- 2rq(2x(n-1) + 1)

Debemos tomar el signo '+' para ir avanzando, con el '-' volveriamos a la
x(n-2).

Los valores sucesivos de n = 0 a 12 son;

0, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, ...

Que obedecen a la ley de recurrencia

x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)

x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 12

cuya ecuación característica es (r - 1)^3 = 0 ===> r = 1 (triple)

Entonces, el término general será

x(n) = A + B*n + C*n^2 ===>A = 0, B = C = 2

x(n) = 2n(n + 1)

Y los correspondientes radios,

r(n) = 1/(2n(n+1))

(También se puede obtener por diferencias finitas, pero lo de las
recurrencias lineales lo tengo muy trillado ...)


> ¿Y si los radios iniciales valen 1/2, 1/3 y 1/6 y construimos la
> cadena de circunferencias entre la de radio 1/2 y la de radio 1/3?

y la anterior ...

Tenemos como antes

2(4 + 9 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (2 + 3 + x(n-1) + x(n))^2

x(n) = x(n-1) + 5 + 2rq(5x(n-1) + 6)

(tomando solo el signo '+')

Los valores iniciales son:

6, 23, 50, 87, 134, 191, 258, 335, 422, 519, 626, 743, ...

con la misma ley de recurrencia que antes, salvo los valores iniciales

x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)

x(1) = 6, x(2) = 23, x(3) = 50

Lo que nos conduce a

x(n) = 5n^2 + 2n - 1

Lo que nos indica que la anterior en la serie tiene curvatura -1. Es decir,
que es una circunferencia de radio 1 a la que son interiormente tangentes
las tres iniciales.

En general, si tenemos cuatro circunferencias mutuamente tangentes con
curvaturas enteras, todas las que podemos construir tangentes a tres de
ellas, tambien tiene curvaturas enteras, y así sucesivamente. En efecto, si
hallamos la curvatura de las circunferencias tangentes a tres de curvaturas
enteras a, b y c, tenemos que:

2(a^2 + b^2 + c^2 + x^2) = (a + b + c + x)^2 ===>

x^2 - 2(a + b + c)x + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc) = 0

Con lo que las dos solciones x1 y x2 verifican que:

x1 + x2 = 2(a + b + c)

Luego si una de ellas es entera, la otra también, y todas las
circunferencias de estas cadenas que podemos obtener, tendrán curvaturas
enteras.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de
> radios 1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia
> tangente exterior a estas tres?

Las curvaturas son 1, 1 y 4. Si x es la de la cuarta,

2(18 + x^2) = (6 + x)^2 ====> x = 12 ó x = 0

Resulta que una es una recta (¿tangente exterior o interior ...?) y la otra
una circunferencia deradio 1/12, tangente exteriormante a las tres.


> ¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
> acabamos de calcular?

Siguiendo siempre con las curvaturas,

2(146 + x^2) = (14 + x)^2 ====> x = 24 ó x = 4

La de curvatura 4 es la anterior, la nueva tiene radio 1/24, que es la
comprendida entre las tres


> ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
> las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?


2(1 + 1 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (1 + 1 + x(n-1) + x(n))^2 ===>

x(n) = x(n-1) + 2 +/- 2rq(2x(n-1) + 1)

Debemos tomar el signo '+' para ir avanzando, con el '-' volveriamos a la
x(n-2).

Los valores sucesivos de n = 0 a 12 son;

0, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, ...

Que obedecen a la ley de recurrencia

x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)

x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 12

cuya ecuación característica es (r - 1)^3 = 0 ===> r = 1 (triple)

Entonces, el término general será

x(n) = A + B*n + C*n^2 ===>A = 0, B = C = 2

x(n) = 2n(n + 1)

Y los correspondientes radios,

r(n) = 1/(2n(n+1))

(También se puede obtener por diferencias finitas, pero lo de las
recurrencias lineales lo tengo muy trillado ...)


> ¿Y si los radios iniciales valen 1/2, 1/3 y 1/6 y construimos la
> cadena de circunferencias entre la de radio 1/2 y la de radio 1/3?

y la anterior ...

Tenemos como antes

2(4 + 9 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (2 + 3 + x(n-1) + x(n))^2

x(n) = x(n-1) + 5 + 2rq(5x(n-1) + 6)

(tomando solo el signo '+')

Los valores iniciales son:

6, 23, 50, 87, 134, 191, 258, 335, 422, 519, 626, 743, ...

con la misma ley de recurrencia que antes, salvo los valores iniciales

x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)

x(1) = 6, x(2) = 23, x(3) = 50

Lo que nos conduce a

x(n) = 5n^2 + 2n - 1

Lo que nos indica que la anterior en la serie tiene curvatura -1. Es decir,
que es una circunferencia de radio 1 a la que son interiormente tangentes
las tres iniciales.

En general, si tenemos cuatro circunferencias mutuamente tangentes con
curvaturas enteras, todas las que podemos construir tangentes a tres de
ellas, tambien tiene curvaturas enteras, y así sucesivamente. En efecto, si
hallamos la curvatura de las circunferencias tangentes a tres de curvaturas
enteras a, b y c, tenemos que:

2(a^2 + b^2 + c^2 + x^2) = (a + b + c + x)^2 ===>

x^2 - 2(a + b + c)x + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc) = 0

Con lo que las dos solciones x1 y x2 verifican que:

x1 + x2 = 2(a + b + c)

Luego si una de ellas es entera, la otra también, y todas las
circunferencias de estas cadenas que podemos obtener, tendrán curvaturas
enteras.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de
> radios 1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia
> tangente exterior a estas tres?

Las curvaturas son 1, 1 y 4. Si x es la de la cuarta,

2(18 + x^2) = (6 + x)^2 ====> x = 12 ó x = 0

Resulta que una es una recta (¿tangente exterior o interior ...?) y la otra
una circunferencia deradio 1/12, tangente exteriormante a las tres.


> ¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
> acabamos de calcular?

Siguiendo siempre con las curvaturas,

2(146 + x^2) = (14 + x)^2 ====> x = 24 ó x = 4

La de curvatura 4 es la anterior, la nueva tiene radio 1/24, que es la
comprendida entre las tres


> ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
> las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?


2(1 + 1 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (1 + 1 + x(n-1) + x(n))^2 ===>

x(n) = x(n-1) + 2 +/- 2rq(2x(n-1) + 1)

Debemos tomar el signo '+' para ir avanzando, con el '-' volveriamos a la
x(n-2).

Los valores sucesivos de n = 0 a 12 son;

0, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, ...

Que obedecen a la ley de recurrencia

x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)

x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 12

cuya ecuación característica es (r - 1)^3 = 0 ===> r = 1 (triple)

Entonces, el término general será

x(n) = A + B*n + C*n^2 ===>A = 0, B = C = 2

x(n) = 2n(n + 1)

Y los correspondientes radios,

r(n) = 1/(2n(n+1))

(También se puede obtener por diferencias finitas, pero lo de las
recurrencias lineales lo tengo muy trillado ...)


> ¿Y si los radios iniciales valen 1/2, 1/3 y 1/6 y construimos la
> cadena de circunferencias entre la de radio 1/2 y la de radio 1/3?

y la anterior ...

Tenemos como antes

2(4 + 9 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (2 + 3 + x(n-1) + x(n))^2

x(n) = x(n-1) + 5 + 2rq(5x(n-1) + 6)

(tomando solo el signo '+')

Los valores iniciales son:

6, 23, 50, 87, 134, 191, 258, 335, 422, 519, 626, 743, ...

con la misma ley de recurrencia que antes, salvo los valores iniciales

x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)

x(1) = 6, x(2) = 23, x(3) = 50

Lo que nos conduce a

x(n) = 5n^2 + 2n - 1

Lo que nos indica que la anterior en la serie tiene curvatura -1. Es decir,
que es una circunferencia de radio 1 a la que son interiormente tangentes
las tres iniciales.

En general, si tenemos cuatro circunferencias mutuamente tangentes con
curvaturas enteras, todas las que podemos construir tangentes a tres de
ellas, tambien tiene curvaturas enteras, y así sucesivamente. En efecto, si
hallamos la curvatura de las circunferencias tangentes a tres de curvaturas
enteras a, b y c, tenemos que:

2(a^2 + b^2 + c^2 + x^2) = (a + b + c + x)^2 ===>

x^2 - 2(a + b + c)x + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc) = 0

Con lo que las dos solciones x1 y x2 verifican que:

x1 + x2 = 2(a + b + c)

Luego si una de ellas es entera, la otra también, y todas las
circunferencias de estas cadenas que podemos obtener, tendrán curvaturas
enteras.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de
>> radios 1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia
>> tangente exterior a estas tres?
>
> Las curvaturas son 1, 1 y 4. Si x es la de la cuarta,
>
> 2(18 + x^2) = (6 + x)^2 ====> x = 12 ó x = 0
>
> Resulta que una es una recta (¿tangente exterior o interior ...?) y la otra
> una circunferencia deradio 1/12, tangente exteriormante a las tres.
>
>
>> ¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
>> acabamos de calcular?
>
> Siguiendo siempre con las curvaturas,
>
> 2(146 + x^2) = (14 + x)^2 ====> x = 24 ó x = 4
>
> La de curvatura 4 es la anterior, la nueva tiene radio 1/24, que es la
> comprendida entre las tres
>
>
>> ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
>> las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?
>
>
> 2(1 + 1 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (1 + 1 + x(n-1) + x(n))^2 ===>
>
> x(n) = x(n-1) + 2 +/- 2rq(2x(n-1) + 1)
>
> Debemos tomar el signo '+' para ir avanzando, con el '-' volveriamos a la
> x(n-2).
>
> Los valores sucesivos de n = 0 a 12 son;
>
> 0, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, ...
>
> Que obedecen a la ley de recurrencia
>
> x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)
>
> x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 12
>
> cuya ecuación característica es (r - 1)^3 = 0 ===> r = 1 (triple)
>
> Entonces, el término general será
>
> x(n) = A + B*n + C*n^2 ===>A = 0, B = C = 2
>
> x(n) = 2n(n + 1)
>
> Y los correspondientes radios,
>
> r(n) = 1/(2n(n+1))
>
> (También se puede obtener por diferencias finitas, pero lo de las
> recurrencias lineales lo tengo muy trillado ...)
>
>
>> ¿Y si los radios iniciales valen 1/2, 1/3 y 1/6 y construimos la
>> cadena de circunferencias entre la de radio 1/2 y la de radio 1/3?
>
> y la anterior ...
>
> Tenemos como antes
>
> 2(4 + 9 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (2 + 3 + x(n-1) + x(n))^2
>
> x(n) = x(n-1) + 5 + 2rq(5x(n-1) + 6)
>
> (tomando solo el signo '+')
>
> Los valores iniciales son:
>
> 6, 23, 50, 87, 134, 191, 258, 335, 422, 519, 626, 743, ...
>
> con la misma ley de recurrencia que antes, salvo los valores iniciales
>
> x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)
>
> x(1) = 6, x(2) = 23, x(3) = 50
>
> Lo que nos conduce a
>
> x(n) = 5n^2 + 2n - 1
>
> Lo que nos indica que la anterior en la serie tiene curvatura -1. Es decir,
> que es una circunferencia de radio 1 a la que son interiormente tangentes
> las tres iniciales.
>
> En general, si tenemos cuatro circunferencias mutuamente tangentes con
> curvaturas enteras, todas las que podemos construir tangentes a tres de
> ellas, tambien tiene curvaturas enteras, y así sucesivamente. En efecto, si
> hallamos la curvatura de las circunferencias tangentes a tres de curvaturas
> enteras a, b y c, tenemos que:
>
> 2(a^2 + b^2 + c^2 + x^2) = (a + b + c + x)^2 ===>
>
> x^2 - 2(a + b + c)x + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc) = 0
>
> Con lo que las dos solciones x1 y x2 verifican que:
>
> x1 + x2 = 2(a + b + c)
>
> Luego si una de ellas es entera, la otra también, y todas las
> circunferencias de estas cadenas que podemos obtener, tendrán curvaturas
> enteras.
>


Esta última propiedad da una clave para simplificar un poco los
cálculos. Puesto que deben resultar curvaturas enteras, el radicando de
la recurrencia debe ser un cuadrado perfecto, por lo que podemos hacer
la transformación, en el segundo caso

5x(n) + 6 = y(n)^2

que deja la recurrencia en la forma elemental.

y(n+1) = y(n) + 5

Análogamente en el primer caso.

Más en general si las curvaturas de las "paredes" son a y b (enteras) y
la de la primera circunferencia tangente a ambas es c (también entera),
las curvaturas de las siguientes circunferencias son

k(n) = n^2(a+b) + 2rq(k(0)(a+b)+ab) n + k(0)

--
Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de
>> radios 1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia
>> tangente exterior a estas tres?
>
> Las curvaturas son 1, 1 y 4. Si x es la de la cuarta,
>
> 2(18 + x^2) = (6 + x)^2 ====> x = 12 ó x = 0
>
> Resulta que una es una recta (¿tangente exterior o interior ...?) y la otra
> una circunferencia deradio 1/12, tangente exteriormante a las tres.
>
>
>> ¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
>> acabamos de calcular?
>
> Siguiendo siempre con las curvaturas,
>
> 2(146 + x^2) = (14 + x)^2 ====> x = 24 ó x = 4
>
> La de curvatura 4 es la anterior, la nueva tiene radio 1/24, que es la
> comprendida entre las tres
>
>
>> ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
>> las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?
>
>
> 2(1 + 1 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (1 + 1 + x(n-1) + x(n))^2 ===>
>
> x(n) = x(n-1) + 2 +/- 2rq(2x(n-1) + 1)
>
> Debemos tomar el signo '+' para ir avanzando, con el '-' volveriamos a la
> x(n-2).
>
> Los valores sucesivos de n = 0 a 12 son;
>
> 0, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, ...
>
> Que obedecen a la ley de recurrencia
>
> x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)
>
> x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 12
>
> cuya ecuación característica es (r - 1)^3 = 0 ===> r = 1 (triple)
>
> Entonces, el término general será
>
> x(n) = A + B*n + C*n^2 ===>A = 0, B = C = 2
>
> x(n) = 2n(n + 1)
>
> Y los correspondientes radios,
>
> r(n) = 1/(2n(n+1))
>
> (También se puede obtener por diferencias finitas, pero lo de las
> recurrencias lineales lo tengo muy trillado ...)
>
>
>> ¿Y si los radios iniciales valen 1/2, 1/3 y 1/6 y construimos la
>> cadena de circunferencias entre la de radio 1/2 y la de radio 1/3?
>
> y la anterior ...
>
> Tenemos como antes
>
> 2(4 + 9 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (2 + 3 + x(n-1) + x(n))^2
>
> x(n) = x(n-1) + 5 + 2rq(5x(n-1) + 6)
>
> (tomando solo el signo '+')
>
> Los valores iniciales son:
>
> 6, 23, 50, 87, 134, 191, 258, 335, 422, 519, 626, 743, ...
>
> con la misma ley de recurrencia que antes, salvo los valores iniciales
>
> x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)
>
> x(1) = 6, x(2) = 23, x(3) = 50
>
> Lo que nos conduce a
>
> x(n) = 5n^2 + 2n - 1
>
> Lo que nos indica que la anterior en la serie tiene curvatura -1. Es decir,
> que es una circunferencia de radio 1 a la que son interiormente tangentes
> las tres iniciales.
>
> En general, si tenemos cuatro circunferencias mutuamente tangentes con
> curvaturas enteras, todas las que podemos construir tangentes a tres de
> ellas, tambien tiene curvaturas enteras, y así sucesivamente. En efecto, si
> hallamos la curvatura de las circunferencias tangentes a tres de curvaturas
> enteras a, b y c, tenemos que:
>
> 2(a^2 + b^2 + c^2 + x^2) = (a + b + c + x)^2 ===>
>
> x^2 - 2(a + b + c)x + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc) = 0
>
> Con lo que las dos solciones x1 y x2 verifican que:
>
> x1 + x2 = 2(a + b + c)
>
> Luego si una de ellas es entera, la otra también, y todas las
> circunferencias de estas cadenas que podemos obtener, tendrán curvaturas
> enteras.
>


Esta última propiedad da una clave para simplificar un poco los
cálculos. Puesto que deben resultar curvaturas enteras, el radicando de
la recurrencia debe ser un cuadrado perfecto, por lo que podemos hacer
la transformación, en el segundo caso

5x(n) + 6 = y(n)^2

que deja la recurrencia en la forma elemental.

y(n+1) = y(n) + 5

Análogamente en el primer caso.

Más en general si las curvaturas de las "paredes" son a y b (enteras) y
la de la primera circunferencia tangente a ambas es c (también entera),
las curvaturas de las siguientes circunferencias son

k(n) = n^2(a+b) + 2rq(k(0)(a+b)+ab) n + k(0)

--
Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de
>> radios 1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia
>> tangente exterior a estas tres?
>
> Las curvaturas son 1, 1 y 4. Si x es la de la cuarta,
>
> 2(18 + x^2) = (6 + x)^2 ====> x = 12 ó x = 0
>
> Resulta que una es una recta (¿tangente exterior o interior ...?) y la otra
> una circunferencia deradio 1/12, tangente exteriormante a las tres.
>
>
>> ¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
>> acabamos de calcular?
>
> Siguiendo siempre con las curvaturas,
>
> 2(146 + x^2) = (14 + x)^2 ====> x = 24 ó x = 4
>
> La de curvatura 4 es la anterior, la nueva tiene radio 1/24, que es la
> comprendida entre las tres
>
>
>> ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
>> las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?
>
>
> 2(1 + 1 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (1 + 1 + x(n-1) + x(n))^2 ===>
>
> x(n) = x(n-1) + 2 +/- 2rq(2x(n-1) + 1)
>
> Debemos tomar el signo '+' para ir avanzando, con el '-' volveriamos a la
> x(n-2).
>
> Los valores sucesivos de n = 0 a 12 son;
>
> 0, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, ...
>
> Que obedecen a la ley de recurrencia
>
> x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)
>
> x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 12
>
> cuya ecuación característica es (r - 1)^3 = 0 ===> r = 1 (triple)
>
> Entonces, el término general será
>
> x(n) = A + B*n + C*n^2 ===>A = 0, B = C = 2
>
> x(n) = 2n(n + 1)
>
> Y los correspondientes radios,
>
> r(n) = 1/(2n(n+1))
>
> (También se puede obtener por diferencias finitas, pero lo de las
> recurrencias lineales lo tengo muy trillado ...)
>
>
>> ¿Y si los radios iniciales valen 1/2, 1/3 y 1/6 y construimos la
>> cadena de circunferencias entre la de radio 1/2 y la de radio 1/3?
>
> y la anterior ...
>
> Tenemos como antes
>
> 2(4 + 9 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (2 + 3 + x(n-1) + x(n))^2
>
> x(n) = x(n-1) + 5 + 2rq(5x(n-1) + 6)
>
> (tomando solo el signo '+')
>
> Los valores iniciales son:
>
> 6, 23, 50, 87, 134, 191, 258, 335, 422, 519, 626, 743, ...
>
> con la misma ley de recurrencia que antes, salvo los valores iniciales
>
> x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)
>
> x(1) = 6, x(2) = 23, x(3) = 50
>
> Lo que nos conduce a
>
> x(n) = 5n^2 + 2n - 1
>
> Lo que nos indica que la anterior en la serie tiene curvatura -1. Es decir,
> que es una circunferencia de radio 1 a la que son interiormente tangentes
> las tres iniciales.
>
> En general, si tenemos cuatro circunferencias mutuamente tangentes con
> curvaturas enteras, todas las que podemos construir tangentes a tres de
> ellas, tambien tiene curvaturas enteras, y así sucesivamente. En efecto, si
> hallamos la curvatura de las circunferencias tangentes a tres de curvaturas
> enteras a, b y c, tenemos que:
>
> 2(a^2 + b^2 + c^2 + x^2) = (a + b + c + x)^2 ===>
>
> x^2 - 2(a + b + c)x + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc) = 0
>
> Con lo que las dos solciones x1 y x2 verifican que:
>
> x1 + x2 = 2(a + b + c)
>
> Luego si una de ellas es entera, la otra también, y todas las
> circunferencias de estas cadenas que podemos obtener, tendrán curvaturas
> enteras.
>


Esta última propiedad da una clave para simplificar un poco los
cálculos. Puesto que deben resultar curvaturas enteras, el radicando de
la recurrencia debe ser un cuadrado perfecto, por lo que podemos hacer
la transformación, en el segundo caso

5x(n) + 6 = y(n)^2

que deja la recurrencia en la forma elemental.

y(n+1) = y(n) + 5

Análogamente en el primer caso.

Más en general si las curvaturas de las "paredes" son a y b (enteras) y
la de la primera circunferencia tangente a ambas es c (también entera),
las curvaturas de las siguientes circunferencias son

k(n) = n^2(a+b) + 2rq(k(0)(a+b)+ab) n + k(0)

--
Antonio

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:685li5F2r6gonU1***mid.individual.net...
> Antonio González wrote:
>> Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de
>> radios 1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia
>> tangente exterior a estas tres?
>
> Las curvaturas son 1, 1 y 4. Si x es la de la cuarta,
>
> 2(18 + x^2) = (6 + x)^2 ====> x = 12 ó x = 0
>
> Resulta que una es una recta (¿tangente exterior o interior ...?) y la
> otra una circunferencia deradio 1/12, tangente exteriormante a las tres.
>
>
>> ¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
>> acabamos de calcular?
>
> Siguiendo siempre con las curvaturas,
>
> 2(146 + x^2) = (14 + x)^2 ====> x = 24 ó x = 4
>
> La de curvatura 4 es la anterior, la nueva tiene radio 1/24, que es la
> comprendida entre las tres
>
>
>> ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
>> las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?
>
>
> 2(1 + 1 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (1 + 1 + x(n-1) + x(n))^2 ===>
>
> x(n) = x(n-1) + 2 +/- 2rq(2x(n-1) + 1)


¿ Cómo has resuelto esta recurrencia, Ignacio ?
¿ Vas dando valores y al final te das cuenta de que la puedes
transformar en una lineal ?
A ver si puedes explicar un poco el método que has seguido.

Saludos,

> Debemos tomar el signo '+' para ir avanzando, con el '-' volveriamos a la
> x(n-2).
>
> Los valores sucesivos de n = 0 a 12 son;
>
> 0, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, ...
>
> Que obedecen a la ley de recurrencia
>
> x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)
>
> x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 12
>
> cuya ecuación característica es (r - 1)^3 = 0 ===> r = 1 (triple)
>

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:685li5F2r6gonU1***mid.individual.net...
> Antonio González wrote:
>> Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de
>> radios 1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia
>> tangente exterior a estas tres?
>
> Las curvaturas son 1, 1 y 4. Si x es la de la cuarta,
>
> 2(18 + x^2) = (6 + x)^2 ====> x = 12 ó x = 0
>
> Resulta que una es una recta (¿tangente exterior o interior ...?) y la
> otra una circunferencia deradio 1/12, tangente exteriormante a las tres.
>
>
>> ¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
>> acabamos de calcular?
>
> Siguiendo siempre con las curvaturas,
>
> 2(146 + x^2) = (14 + x)^2 ====> x = 24 ó x = 4
>
> La de curvatura 4 es la anterior, la nueva tiene radio 1/24, que es la
> comprendida entre las tres
>
>
>> ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
>> las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?
>
>
> 2(1 + 1 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (1 + 1 + x(n-1) + x(n))^2 ===>
>
> x(n) = x(n-1) + 2 +/- 2rq(2x(n-1) + 1)


¿ Cómo has resuelto esta recurrencia, Ignacio ?
¿ Vas dando valores y al final te das cuenta de que la puedes
transformar en una lineal ?
A ver si puedes explicar un poco el método que has seguido.

Saludos,

> Debemos tomar el signo '+' para ir avanzando, con el '-' volveriamos a la
> x(n-2).
>
> Los valores sucesivos de n = 0 a 12 son;
>
> 0, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, ...
>
> Que obedecen a la ley de recurrencia
>
> x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)
>
> x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 12
>
> cuya ecuación característica es (r - 1)^3 = 0 ===> r = 1 (triple)
>

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:685li5F2r6gonU1***mid.individual.net...
> Antonio González wrote:
>> Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de
>> radios 1, 1 y 1/4. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia
>> tangente exterior a estas tres?
>
> Las curvaturas son 1, 1 y 4. Si x es la de la cuarta,
>
> 2(18 + x^2) = (6 + x)^2 ====> x = 12 ó x = 0
>
> Resulta que una es una recta (¿tangente exterior o interior ...?) y la
> otra una circunferencia deradio 1/12, tangente exteriormante a las tres.
>
>
>> ¿Y el radio de la tangente exterior a las de radio unidad y a la que
>> acabamos de calcular?
>
> Siguiendo siempre con las curvaturas,
>
> 2(146 + x^2) = (14 + x)^2 ====> x = 24 ó x = 4
>
> La de curvatura 4 es la anterior, la nueva tiene radio 1/24, que es la
> comprendida entre las tres
>
>
>> ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia n-sima, tangente exterior a
>> las de radio unidad y a la circunferencia (n-1)-sima?
>
>
> 2(1 + 1 + x(n-1)^2 + x(n)^2) = (1 + 1 + x(n-1) + x(n))^2 ===>
>
> x(n) = x(n-1) + 2 +/- 2rq(2x(n-1) + 1)


¿ Cómo has resuelto esta recurrencia, Ignacio ?
¿ Vas dando valores y al final te das cuenta de que la puedes
transformar en una lineal ?
A ver si puedes explicar un poco el método que has seguido.

Saludos,

> Debemos tomar el signo '+' para ir avanzando, con el '-' volveriamos a la
> x(n-2).
>
> Los valores sucesivos de n = 0 a 12 son;
>
> 0, 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, ...
>
> Que obedecen a la ley de recurrencia
>
> x(n) = 3(x(n-1) - x(n-2)) + x(n-3)
>
> x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 12
>
> cuya ecuación característica es (r - 1)^3 = 0 ===> r = 1 (triple)
>