Antonio González wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>> proporcional a senx.
>>
>
> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>
> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>
> y al multiplicar
>
> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>
> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>
> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>
> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>
> pero w cumple las ecuaciones
>
> w^6 = 1
> w^3 = -1
> w^2 - w + 1 = 0
>
> por lo que
>
> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>
> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>
> y queda
>
> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4

Pero tambien se puede hacer más brevemente:


M = sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3)

= sen(x/3)sen(pi/3 + x/3)sen(2p/3i + x/3)

= sen(x/3)((rq(3)/2)cos(x/3) + (1/2)sen(x/3))((rq(3)/2)cos(x/3) -
(1/2)sen(x/3))

= sen(x/3)((3/4)cos^2(x/3) - (1/4)sen^2(x/3)) =
(1/4)(3sen(x/3)cos^2(x/3) - sen^3(x/3))

Aqui salta a la vista que esto es (1/4)Im((cos(x/3) + i*sen(x/3)^3) =
(1/4)sen(x), luego

M = (1/4)sen(x)


Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>> proporcional a senx.
>>
>
> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>
> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>
> y al multiplicar
>
> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>
> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>
> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>
> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>
> pero w cumple las ecuaciones
>
> w^6 = 1
> w^3 = -1
> w^2 - w + 1 = 0
>
> por lo que
>
> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>
> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>
> y queda
>
> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4

Pero tambien se puede hacer más brevemente:


M = sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3)

= sen(x/3)sen(pi/3 + x/3)sen(2p/3i + x/3)

= sen(x/3)((rq(3)/2)cos(x/3) + (1/2)sen(x/3))((rq(3)/2)cos(x/3) -
(1/2)sen(x/3))

= sen(x/3)((3/4)cos^2(x/3) - (1/4)sen^2(x/3)) =
(1/4)(3sen(x/3)cos^2(x/3) - sen^3(x/3))

Aqui salta a la vista que esto es (1/4)Im((cos(x/3) + i*sen(x/3)^3) =
(1/4)sen(x), luego

M = (1/4)sen(x)


Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>> proporcional a senx.
>>
>
> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>
> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>
> y al multiplicar
>
> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>
> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>
> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>
> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>
> pero w cumple las ecuaciones
>
> w^6 = 1
> w^3 = -1
> w^2 - w + 1 = 0
>
> por lo que
>
> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>
> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>
> y queda
>
> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4

Pero tambien se puede hacer más brevemente:


M = sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3)

= sen(x/3)sen(pi/3 + x/3)sen(2p/3i + x/3)

= sen(x/3)((rq(3)/2)cos(x/3) + (1/2)sen(x/3))((rq(3)/2)cos(x/3) -
(1/2)sen(x/3))

= sen(x/3)((3/4)cos^2(x/3) - (1/4)sen^2(x/3)) =
(1/4)(3sen(x/3)cos^2(x/3) - sen^3(x/3))

Aqui salta a la vista que esto es (1/4)Im((cos(x/3) + i*sen(x/3)^3) =
(1/4)sen(x), luego

M = (1/4)sen(x)


Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Javier Esquinas escribió:
>>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>>> proporcional a senx.
>>>
>> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>>
>> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>>
>> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>>
>> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>>
>> y al multiplicar
>>
>> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>>
>> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>>
>> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>>
>> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>>
>> pero w cumple las ecuaciones
>>
>> w^6 = 1
>> w^3 = -1
>> w^2 - w + 1 = 0
>>
>> por lo que
>>
>> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>>
>> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>>
>> y queda
>>
>> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4
>
> Pero tambien se puede hacer más brevemente:
>
>

Claro que sí, pero me pareció que quedaba más bonito usando w. :-)

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Javier Esquinas escribió:
>>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>>> proporcional a senx.
>>>
>> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>>
>> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>>
>> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>>
>> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>>
>> y al multiplicar
>>
>> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>>
>> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>>
>> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>>
>> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>>
>> pero w cumple las ecuaciones
>>
>> w^6 = 1
>> w^3 = -1
>> w^2 - w + 1 = 0
>>
>> por lo que
>>
>> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>>
>> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>>
>> y queda
>>
>> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4
>
> Pero tambien se puede hacer más brevemente:
>
>

Claro que sí, pero me pareció que quedaba más bonito usando w. :-)

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Javier Esquinas escribió:
>>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>>> proporcional a senx.
>>>
>> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>>
>> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>>
>> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>>
>> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>>
>> y al multiplicar
>>
>> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>>
>> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>>
>> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>>
>> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>>
>> pero w cumple las ecuaciones
>>
>> w^6 = 1
>> w^3 = -1
>> w^2 - w + 1 = 0
>>
>> por lo que
>>
>> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>>
>> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>>
>> y queda
>>
>> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4
>
> Pero tambien se puede hacer más brevemente:
>
>

Claro que sí, pero me pareció que quedaba más bonito usando w. :-)

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Javier Esquinas escribió:
>>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>>> proporcional a senx.
>>>
>> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>>
>> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>>
>> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>>
>> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>>
>> y al multiplicar
>>
>> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>>
>> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>>
>> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>>
>> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>>
>> pero w cumple las ecuaciones
>>
>> w^6 = 1
>> w^3 = -1
>> w^2 - w + 1 = 0
>>
>> por lo que
>>
>> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>>
>> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>>
>> y queda
>>
>> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4
>
> Pero tambien se puede hacer más brevemente:
>
>

Claro que sí, pero me pareció que quedaba más bonito usando w. :-)

--

Antonio

Luis wrote:
>> (ii) Resolver la ecuacion:
>>
>> rq(1 + rq(1 - x)) - 2rq(1 - rq(1 - x)) = x^(1/4)
>>
>
> x = [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] , luego sustituyendo en el
> segundo miembro y dividiendo toda la ecuación entre
> ( [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] )^(1/4) resulta :
>
> [ ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) ]^(1/4) -
>
> - 2 [ ( 1 - rq(1-x) )/ ( 1 + rq(1-x) ) ]^(1/4) = 1
>
> Haciendo ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) = y^4
>
> obtenemos y - 2/y = 1 ==> y = -1, 2
>
> y = -1 lleva a x = 1, que no verifica la ecuación.
>
> y = 2 lleva a rq(1-x) = 15/17 ==> x = (8/17)^2
>
> que es la única solución real.
>
> Saludos,


Tambien elevando al cuadrado,

- 4rq(x) - 3rq(1 - x) + 5 = rq(x) ==>

3rq(1 - x) = 5(1 - rq(x))

Elevando nuevamente al cuadrado,

9(1 - x) = 25(1 - 2rq(x) + x)

50rq(x) = 34x + 16

25rq(x) = 17x + 8

625x = 49x^2 + 272x + 64

49x^2 - 353x + 64 = 0 ===> x = 1 ó x = 64/289

Se comprueba fácilmente que x = 1 no es solución y (8/17)^2 sim por lo que
es la única solución real.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
>> (ii) Resolver la ecuacion:
>>
>> rq(1 + rq(1 - x)) - 2rq(1 - rq(1 - x)) = x^(1/4)
>>
>
> x = [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] , luego sustituyendo en el
> segundo miembro y dividiendo toda la ecuación entre
> ( [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] )^(1/4) resulta :
>
> [ ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) ]^(1/4) -
>
> - 2 [ ( 1 - rq(1-x) )/ ( 1 + rq(1-x) ) ]^(1/4) = 1
>
> Haciendo ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) = y^4
>
> obtenemos y - 2/y = 1 ==> y = -1, 2
>
> y = -1 lleva a x = 1, que no verifica la ecuación.
>
> y = 2 lleva a rq(1-x) = 15/17 ==> x = (8/17)^2
>
> que es la única solución real.
>
> Saludos,


Tambien elevando al cuadrado,

- 4rq(x) - 3rq(1 - x) + 5 = rq(x) ==>

3rq(1 - x) = 5(1 - rq(x))

Elevando nuevamente al cuadrado,

9(1 - x) = 25(1 - 2rq(x) + x)

50rq(x) = 34x + 16

25rq(x) = 17x + 8

625x = 49x^2 + 272x + 64

49x^2 - 353x + 64 = 0 ===> x = 1 ó x = 64/289

Se comprueba fácilmente que x = 1 no es solución y (8/17)^2 sim por lo que
es la única solución real.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Luis wrote:
>> (ii) Resolver la ecuacion:
>>
>> rq(1 + rq(1 - x)) - 2rq(1 - rq(1 - x)) = x^(1/4)
>>
>
> x = [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] , luego sustituyendo en el
> segundo miembro y dividiendo toda la ecuación entre
> ( [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] )^(1/4) resulta :
>
> [ ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) ]^(1/4) -
>
> - 2 [ ( 1 - rq(1-x) )/ ( 1 + rq(1-x) ) ]^(1/4) = 1
>
> Haciendo ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) = y^4
>
> obtenemos y - 2/y = 1 ==> y = -1, 2
>
> y = -1 lleva a x = 1, que no verifica la ecuación.
>
> y = 2 lleva a rq(1-x) = 15/17 ==> x = (8/17)^2
>
> que es la única solución real.
>
> Saludos,


Tambien elevando al cuadrado,

- 4rq(x) - 3rq(1 - x) + 5 = rq(x) ==>

3rq(1 - x) = 5(1 - rq(x))

Elevando nuevamente al cuadrado,

9(1 - x) = 25(1 - 2rq(x) + x)

50rq(x) = 34x + 16

25rq(x) = 17x + 8

625x = 49x^2 + 272x + 64

49x^2 - 353x + 64 = 0 ===> x = 1 ó x = 64/289

Se comprueba fácilmente que x = 1 no es solución y (8/17)^2 sim por lo que
es la única solución real.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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