(i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
proporcional a senx.

(ii) Resolver la ecuacion:

rq(1 + rq(1 - x)) - 2rq(1 - rq(1 - x)) = x^(1/4)

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
> proporcional a senx.
>

Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que

sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i

sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i

sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i

y al multiplicar

P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))

(w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =

= (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +

+ (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))

pero w cumple las ecuaciones

w^6 = 1
w^3 = -1
w^2 - w + 1 = 0

por lo que

w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0

w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0

y queda

P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
> proporcional a senx.
>

Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que

sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i

sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i

sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i

y al multiplicar

P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))

(w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =

= (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +

+ (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))

pero w cumple las ecuaciones

w^6 = 1
w^3 = -1
w^2 - w + 1 = 0

por lo que

w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0

w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0

y queda

P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
> proporcional a senx.
>

Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que

sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i

sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i

sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i

y al multiplicar

P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))

(w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =

= (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +

+ (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))

pero w cumple las ecuaciones

w^6 = 1
w^3 = -1
w^2 - w + 1 = 0

por lo que

w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0

w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0

y queda

P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4

--

Antonio

> (ii) Resolver la ecuacion:
>
> rq(1 + rq(1 - x)) - 2rq(1 - rq(1 - x)) = x^(1/4)
>

x = [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] , luego sustituyendo en el
segundo miembro y dividiendo toda la ecuación entre
( [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] )^(1/4) resulta :

[ ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) ]^(1/4) -

- 2 [ ( 1 - rq(1-x) )/ ( 1 + rq(1-x) ) ]^(1/4) = 1

Haciendo ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) = y^4

obtenemos y - 2/y = 1 ==> y = -1, 2

y = -1 lleva a x = 1, que no verifica la ecuación.

y = 2 lleva a rq(1-x) = 15/17 ==> x = (8/17)^2

que es la única solución real.

Saludos,

> (ii) Resolver la ecuacion:
>
> rq(1 + rq(1 - x)) - 2rq(1 - rq(1 - x)) = x^(1/4)
>

x = [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] , luego sustituyendo en el
segundo miembro y dividiendo toda la ecuación entre
( [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] )^(1/4) resulta :

[ ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) ]^(1/4) -

- 2 [ ( 1 - rq(1-x) )/ ( 1 + rq(1-x) ) ]^(1/4) = 1

Haciendo ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) = y^4

obtenemos y - 2/y = 1 ==> y = -1, 2

y = -1 lleva a x = 1, que no verifica la ecuación.

y = 2 lleva a rq(1-x) = 15/17 ==> x = (8/17)^2

que es la única solución real.

Saludos,

> (ii) Resolver la ecuacion:
>
> rq(1 + rq(1 - x)) - 2rq(1 - rq(1 - x)) = x^(1/4)
>

x = [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] , luego sustituyendo en el
segundo miembro y dividiendo toda la ecuación entre
( [ 1 + rq(1-x) ]*[ 1 - rq(1-x) ] )^(1/4) resulta :

[ ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) ]^(1/4) -

- 2 [ ( 1 - rq(1-x) )/ ( 1 + rq(1-x) ) ]^(1/4) = 1

Haciendo ( 1 + rq(1-x) )/ ( 1 - rq(1-x) ) = y^4

obtenemos y - 2/y = 1 ==> y = -1, 2

y = -1 lleva a x = 1, que no verifica la ecuación.

y = 2 lleva a rq(1-x) = 15/17 ==> x = (8/17)^2

que es la única solución real.

Saludos,

Antonio González wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>> proporcional a senx.
>>
>
> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>
> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>
> y al multiplicar
>
> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>
> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>
> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>
> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>
> pero w cumple las ecuaciones
>
> w^6 = 1
> w^3 = -1
> w^2 - w + 1 = 0
>
> por lo que
>
> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>
> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>
> y queda
>
> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4

Pero tambien se puede hacer más brevemente:


M = sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3)

= sen(x/3)sen(pi/3 + x/3)sen(2p/3i + x/3)

= sen(x/3)((rq(3)/2)cos(x/3) + (1/2)sen(x/3))((rq(3)/2)cos(x/3) -
(1/2)sen(x/3))

= sen(x/3)((3/4)cos^2(x/3) - (1/4)sen^2(x/3)) =
(1/4)(3sen(x/3)cos^2(x/3) - sen^3(x/3))

Aqui salta a la vista que esto es (1/4)Im((cos(x/3) + i*sen(x/3)^3) =
(1/4)sen(x), luego

M = (1/4)sen(x)


Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>> proporcional a senx.
>>
>
> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>
> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>
> y al multiplicar
>
> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>
> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>
> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>
> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>
> pero w cumple las ecuaciones
>
> w^6 = 1
> w^3 = -1
> w^2 - w + 1 = 0
>
> por lo que
>
> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>
> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>
> y queda
>
> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4

Pero tambien se puede hacer más brevemente:


M = sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3)

= sen(x/3)sen(pi/3 + x/3)sen(2p/3i + x/3)

= sen(x/3)((rq(3)/2)cos(x/3) + (1/2)sen(x/3))((rq(3)/2)cos(x/3) -
(1/2)sen(x/3))

= sen(x/3)((3/4)cos^2(x/3) - (1/4)sen^2(x/3)) =
(1/4)(3sen(x/3)cos^2(x/3) - sen^3(x/3))

Aqui salta a la vista que esto es (1/4)Im((cos(x/3) + i*sen(x/3)^3) =
(1/4)sen(x), luego

M = (1/4)sen(x)


Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>> (i) Demostrar que sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3) es
>> proporcional a senx.
>>
>
> Sea w= e^(i pi/3) = 1^(1/6), tenemos que
>
> sen(x/3) = (e^(ix/3) - e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + pi/3) = (w e^(ix/3) - w^5 e^(-ix/3))/2i
>
> sen(x/3 + 2pi/3) = (w^2 e^(ix/3) - w^4 e^(-ix/3))/2i
>
> y al multiplicar
>
> P = (i/8)(e^(ix/3) - e^(-ix/3))(w e^(ix/3) - w^5e^(-ix/3))
>
> (w^2e^(ix/3) - w^4e^(-ix/3)) =
>
> = (i/8)(w^3e^(ix) + (-w^3 - w^5 - w^7)e^(ix/3) +
>
> + (w + w^5 + w^9)e^(-ix/3) - w^9 e^(-ix))
>
> pero w cumple las ecuaciones
>
> w^6 = 1
> w^3 = -1
> w^2 - w + 1 = 0
>
> por lo que
>
> w^3 + w^5 + w^7 = -1 - w^2 + w = 0
>
> w + w^5 + w^9 = w - w^2 - 1 = 0
>
> y queda
>
> P = (i/8)(-e^(ix) + e^(-ix)) = sen(x)/4

Pero tambien se puede hacer más brevemente:


M = sen(x/3)sen((pi + x)/3)sen((2pi + x)/3)

= sen(x/3)sen(pi/3 + x/3)sen(2p/3i + x/3)

= sen(x/3)((rq(3)/2)cos(x/3) + (1/2)sen(x/3))((rq(3)/2)cos(x/3) -
(1/2)sen(x/3))

= sen(x/3)((3/4)cos^2(x/3) - (1/4)sen^2(x/3)) =
(1/4)(3sen(x/3)cos^2(x/3) - sen^3(x/3))

Aqui salta a la vista que esto es (1/4)Im((cos(x/3) + i*sen(x/3)^3) =
(1/4)sen(x), luego

M = (1/4)sen(x)


Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com