Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que BC=AD=31.Encontrar
los restantes lados del trapecio (las bases) si son enteros positivos
con AB > CD.


Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que BC=AD=31.Encontrar
> los restantes lados del trapecio (las bases) si son enteros positivos
> con AB > CD.
>

Si las bases son b y d, b > d, y t = <BAD, tenemos que

2*31*cos(t) = b - d

Por otra parte,

31*sen(t) = (b - (b - d)/2)tg(60º) = rq(3)(b + d)/2 ===>

2*31*sen(t) = rq(3)(b + d)

De la igualdad fundamental de la trigonometría,

3(b + d)^2 + (b - d)^2 = 4*31^2 ===>

b^2 + bd + d^2 = 961 = 31^2 ===> b < 31

Despejando b,

b = (rq(3844 - 3d^2) - d)/2, d < 31

Los valores enteros de b solo se consiguen para d = 11 y 24, para los que b
vale respectivamente 24 y 11. Cómo es d < b, tenemos que

b = 24, d = 11



--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que BC=AD=31.Encontrar
> los restantes lados del trapecio (las bases) si son enteros positivos
> con AB > CD.
>

Si las bases son b y d, b > d, y t = <BAD, tenemos que

2*31*cos(t) = b - d

Por otra parte,

31*sen(t) = (b - (b - d)/2)tg(60º) = rq(3)(b + d)/2 ===>

2*31*sen(t) = rq(3)(b + d)

De la igualdad fundamental de la trigonometría,

3(b + d)^2 + (b - d)^2 = 4*31^2 ===>

b^2 + bd + d^2 = 961 = 31^2 ===> b < 31

Despejando b,

b = (rq(3844 - 3d^2) - d)/2, d < 31

Los valores enteros de b solo se consiguen para d = 11 y 24, para los que b
vale respectivamente 24 y 11. Cómo es d < b, tenemos que

b = 24, d = 11



--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 9 mayo, 10:03, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que BC=AD=31.Encontrar
> > los restantes lados del trapecio (las bases) ***si son enteros positivos
> > con AB > CD.
>
> Si las bases son b y d, ***b > d, ***y t = <BAD, tenemos que
>
> 2*31*cos(t) = b - d
>
> Por otra parte,
>
> 31*sen(t) = (b - (b - d)/2)tg(60º) = rq(3)(b + d)/2 ***===>
>
> 2*31*sen(t) = rq(3)(b + d)
>
> De la igualdad fundamental de la trigonometría,
>
> 3(b + d)^2 + (b - d)^2 = 4*31^2 ***===>
>
> b^2 + bd + d^2 = 961 = 31^2 ***===> b < 31
>
> Despejando b,
>
> b = (rq(3844 - 3d^2) - d)/2, ***d < 31
>
> Los valores enteros de b solo se consiguen para d = 11 y 24, para los que b
> vale respectivamente 24 y 11. Cómo es d < b, tenemos que
>
> b = 24, ***d = 11
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

De uan forma ,quizas,mas geometrica tenemos que si las bases son x e y
(x > y) y la diagonal D tendremos que las dos diagonales se cortan en
un punto P.Ahora bien : PAB y PCD son entonces triangulos equilateros
al ser el trapecio isosceles y por tanto D = x + y.
Por otra parte el trapecio es inscribible por ser isosceles,luego por
el teorema de Ptolomeo:
D^2 = 31^2 + xy

Por tanto la ecuacion diofantica a resolver es :

(x + y)^2 = 31^2 + xy

x^2 + y^2 + xy - 31^2 = 0

Para resolverla basta considerarla como una ecuacion de segundo grado
en alguna de las variables y jugar con el discriminante.No lo he
comprobado pero supongo que la solucion sera la que aporta Ignacio.

Saludos.

On 9 mayo, 10:03, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que BC=AD=31.Encontrar
> > los restantes lados del trapecio (las bases) ***si son enteros positivos
> > con AB > CD.
>
> Si las bases son b y d, ***b > d, ***y t = <BAD, tenemos que
>
> 2*31*cos(t) = b - d
>
> Por otra parte,
>
> 31*sen(t) = (b - (b - d)/2)tg(60º) = rq(3)(b + d)/2 ***===>
>
> 2*31*sen(t) = rq(3)(b + d)
>
> De la igualdad fundamental de la trigonometría,
>
> 3(b + d)^2 + (b - d)^2 = 4*31^2 ***===>
>
> b^2 + bd + d^2 = 961 = 31^2 ***===> b < 31
>
> Despejando b,
>
> b = (rq(3844 - 3d^2) - d)/2, ***d < 31
>
> Los valores enteros de b solo se consiguen para d = 11 y 24, para los que b
> vale respectivamente 24 y 11. Cómo es d < b, tenemos que
>
> b = 24, ***d = 11
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

De uan forma ,quizas,mas geometrica tenemos que si las bases son x e y
(x > y) y la diagonal D tendremos que las dos diagonales se cortan en
un punto P.Ahora bien : PAB y PCD son entonces triangulos equilateros
al ser el trapecio isosceles y por tanto D = x + y.
Por otra parte el trapecio es inscribible por ser isosceles,luego por
el teorema de Ptolomeo:
D^2 = 31^2 + xy

Por tanto la ecuacion diofantica a resolver es :

(x + y)^2 = 31^2 + xy

x^2 + y^2 + xy - 31^2 = 0

Para resolverla basta considerarla como una ecuacion de segundo grado
en alguna de las variables y jugar con el discriminante.No lo he
comprobado pero supongo que la solucion sera la que aporta Ignacio.

Saludos.

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:68ier3F2lq22uU1***mid.individual.net...
> Javier Esquinas wrote:
>> Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que BC=AD=31.Encontrar
>> los restantes lados del trapecio (las bases) si son enteros positivos
>> con AB > CD.
>>
>
> Si las bases son b y d, b > d, y t = <BAD, tenemos que
>
> 2*31*cos(t) = b - d
>
> Por otra parte,
>
> 31*sen(t) = (b - (b - d)/2)tg(60º) = rq(3)(b + d)/2 ===>
>
> 2*31*sen(t) = rq(3)(b + d)
>
> De la igualdad fundamental de la trigonometría,
>
> 3(b + d)^2 + (b - d)^2 = 4*31^2 ===>
>
> b^2 + bd + d^2 = 961 = 31^2 ===> b < 31
>
> Despejando b,
>
> b = (rq(3844 - 3d^2) - d)/2, d < 31
>
> Los valores enteros de b solo se consiguen para d = 11 y 24, para los que
> b vale respectivamente 24 y 11. Cómo es d < b, tenemos que
>
> b = 24, d = 11
>
>

Yo aquí discrepo con Ignacio.
Si h es la altura del trapecio, "d" y "b" los lados paralelos ( b > d ) y
"c"
el tercer lado, se tiene :

cos(60) = 1/2 = (b-d)/2 / c ==> c = b-d

h^2 + ( (b-d)/2 )^2 = c^2 = (b-d)^2

h^2 + ( d + (b-d)/2 )^2 = 31^2

Restando miembro a miembro, resulta la ecuación

( b - d )^2 + bd = 31^2

b = 24 , d = 11 no son soluciones de esta ecuación.

Sí lo son b = 35, d = 24 ( y c sería 11 )

y b = 35, d = 11 ( y c sería 24 )

Saludos,

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:68ier3F2lq22uU1***mid.individual.net...
> Javier Esquinas wrote:
>> Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que BC=AD=31.Encontrar
>> los restantes lados del trapecio (las bases) si son enteros positivos
>> con AB > CD.
>>
>
> Si las bases son b y d, b > d, y t = <BAD, tenemos que
>
> 2*31*cos(t) = b - d
>
> Por otra parte,
>
> 31*sen(t) = (b - (b - d)/2)tg(60º) = rq(3)(b + d)/2 ===>
>
> 2*31*sen(t) = rq(3)(b + d)
>
> De la igualdad fundamental de la trigonometría,
>
> 3(b + d)^2 + (b - d)^2 = 4*31^2 ===>
>
> b^2 + bd + d^2 = 961 = 31^2 ===> b < 31
>
> Despejando b,
>
> b = (rq(3844 - 3d^2) - d)/2, d < 31
>
> Los valores enteros de b solo se consiguen para d = 11 y 24, para los que
> b vale respectivamente 24 y 11. Cómo es d < b, tenemos que
>
> b = 24, d = 11
>
>

Yo aquí discrepo con Ignacio.
Si h es la altura del trapecio, "d" y "b" los lados paralelos ( b > d ) y
"c"
el tercer lado, se tiene :

cos(60) = 1/2 = (b-d)/2 / c ==> c = b-d

h^2 + ( (b-d)/2 )^2 = c^2 = (b-d)^2

h^2 + ( d + (b-d)/2 )^2 = 31^2

Restando miembro a miembro, resulta la ecuación

( b - d )^2 + bd = 31^2

b = 24 , d = 11 no son soluciones de esta ecuación.

Sí lo son b = 35, d = 24 ( y c sería 11 )

y b = 35, d = 11 ( y c sería 24 )

Saludos,

Luis wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
> escribió en el mensaje news:68ier3F2lq22uU1***mid.individual.net...
>> Javier Esquinas wrote:
>>> Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que
>>> BC=AD=31.Encontrar los restantes lados del trapecio (las bases) si
>>> son enteros positivos con AB > CD.
>>>
>>
>> Si las bases son b y d, b > d, y t = <BAD, tenemos que
>>
>> 2*31*cos(t) = b - d
>>
>> Por otra parte,
>>
>> 31*sen(t) = (b - (b - d)/2)tg(60º) = rq(3)(b + d)/2 ===>
>>
>> 2*31*sen(t) = rq(3)(b + d)
>>
>> De la igualdad fundamental de la trigonometría,
>>
>> 3(b + d)^2 + (b - d)^2 = 4*31^2 ===>
>>
>> b^2 + bd + d^2 = 961 = 31^2 ===> b < 31
>>
>> Despejando b,
>>
>> b = (rq(3844 - 3d^2) - d)/2, d < 31
>>
>> Los valores enteros de b solo se consiguen para d = 11 y 24, para
>> los que b vale respectivamente 24 y 11. Cómo es d < b, tenemos que
>>
>> b = 24, d = 11
>>
>>
>
> Yo aquí discrepo con Ignacio.
> Si h es la altura del trapecio, "d" y "b" los lados paralelos ( b > d
> ) y "c"
> el tercer lado, se tiene :
>
> cos(60) = 1/2 = (b-d)/2 / c ==> c = b-d

Pero el ángulo de 60º es el <ABD, no el <BAD.

Además c = 31 en el enunciado.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

--
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Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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Luis wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
> escribió en el mensaje news:68ier3F2lq22uU1***mid.individual.net...
>> Javier Esquinas wrote:
>>> Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que
>>> BC=AD=31.Encontrar los restantes lados del trapecio (las bases) si
>>> son enteros positivos con AB > CD.
>>>
>>
>> Si las bases son b y d, b > d, y t = <BAD, tenemos que
>>
>> 2*31*cos(t) = b - d
>>
>> Por otra parte,
>>
>> 31*sen(t) = (b - (b - d)/2)tg(60º) = rq(3)(b + d)/2 ===>
>>
>> 2*31*sen(t) = rq(3)(b + d)
>>
>> De la igualdad fundamental de la trigonometría,
>>
>> 3(b + d)^2 + (b - d)^2 = 4*31^2 ===>
>>
>> b^2 + bd + d^2 = 961 = 31^2 ===> b < 31
>>
>> Despejando b,
>>
>> b = (rq(3844 - 3d^2) - d)/2, d < 31
>>
>> Los valores enteros de b solo se consiguen para d = 11 y 24, para
>> los que b vale respectivamente 24 y 11. Cómo es d < b, tenemos que
>>
>> b = 24, d = 11
>>
>>
>
> Yo aquí discrepo con Ignacio.
> Si h es la altura del trapecio, "d" y "b" los lados paralelos ( b > d
> ) y "c"
> el tercer lado, se tiene :
>
> cos(60) = 1/2 = (b-d)/2 / c ==> c = b-d

Pero el ángulo de 60º es el <ABD, no el <BAD.

Además c = 31 en el enunciado.


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
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ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

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Ignacio Larrosa Cañestro
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"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:68rantF2upaguU1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
>> escribió en el mensaje news:68ier3F2lq22uU1***mid.individual.net...
>>> Javier Esquinas wrote:
>>>> Un trapecio isoceles ABCD con <ABD = 60º cumple que
>>>> BC=AD=31.Encontrar los restantes lados del trapecio (las bases) si
>>>> son enteros positivos con AB > CD.
>>>>
>>>
>>> Si las bases son b y d, b > d, y t = <BAD, tenemos que
>>>
>>> 2*31*cos(t) = b - d
>>>
>>> Por otra parte,
>>>
>>> 31*sen(t) = (b - (b - d)/2)tg(60º) = rq(3)(b + d)/2 ===>
>>>
>>> 2*31*sen(t) = rq(3)(b + d)
>>>
>>> De la igualdad fundamental de la trigonometría,
>>>
>>> 3(b + d)^2 + (b - d)^2 = 4*31^2 ===>
>>>
>>> b^2 + bd + d^2 = 961 = 31^2 ===> b < 31
>>>
>>> Despejando b,
>>>
>>> b = (rq(3844 - 3d^2) - d)/2, d < 31
>>>
>>> Los valores enteros de b solo se consiguen para d = 11 y 24, para
>>> los que b vale respectivamente 24 y 11. Cómo es d < b, tenemos que
>>>
>>> b = 24, d = 11
>>>
>>>
>>
>> Yo aquí discrepo con Ignacio.
>> Si h es la altura del trapecio, "d" y "b" los lados paralelos ( b > d
>> ) y "c"
>> el tercer lado, se tiene :
>>
>> cos(60) = 1/2 = (b-d)/2 / c ==> c = b-d
>
> Pero el ángulo de 60º es el <ABD, no el <BAD.
>
> Además c = 31 en el enunciado.
>

Nó sé. Yo he puesto las letras así :

Lado AB = b ( la base del trapecio )

Su lado paralelo es CD = d

Las diagonales AD = BC = 31

Y el ángulo <ABD = 60º

Ahora, que si éste no es el trapecio ABCD sino el ABDC, entonces
me callo.

Saludos,