Factorizar en polinomios reales

x^30 - 1 = 0

--
Antonio

Antonio González escribió:
> Factorizar en polinomios reales
>
> x^30 - 1 = 0
>

Perdón, quería decir en polinomios de coeficientes enteros.

--
Antonio

Antonio González escribió:
> Factorizar en polinomios reales
>
> x^30 - 1 = 0
>

Perdón, quería decir en polinomios de coeficientes enteros.

--
Antonio

On 8 mayo, 16:25, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Antonio González escribió:
>
> > Factorizar en polinomios reales
>
> > *** x^30 - 1 = 0
>
> Perdón, quería decir en polinomios de coeficientes enteros.
>
> --
> *** ***Antonio

x^30 - 1 = (x^15 - 1)(x^15 + 1) = ((x^5)^3 - 1)((x^5)^3 + 1) =
(x^5 - 1)(x^10 + x^5 + 1)(x^5 + 1)(x^10 - x^5 + 1) =
(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x^10 + x^5 + 1)(x + 1)(x^4 - x^3 +
x^2 - x + 1)(x^10 - x^5 + 1)

Falta por factorizar los dos polinomios de grado 10 pues los otros son
los polinomios cicotomicos correspondientes a x^5 - 1 que son por
tanto irreducibles al ser 5 primo.

Veamos x^10 + x^5 + 1.Si pensamos en las raices cubicas de la unidad
tendremos que si w es una de ellas (distinta de 1) entonces w^3 = 1 y
w^2 + w + 1 = 0

Si sustituimos en x^10 + x^5 + 1 el valor de w obtenemos w^2 + w + 1 y
por tanto las dos raices cubicas de la unidad distintas de 1 son
factores del polinomio,es decir que es divisible por x^2 + x + 1

Factorizando se tiene que x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 +
x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)


Y analogamente

x^10 - x^5 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)


Saludos.

PD : Supongo que los fatores de grado 8 no se pueden factorizar ya.

On 8 mayo, 16:25, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Antonio González escribió:
>
> > Factorizar en polinomios reales
>
> > *** x^30 - 1 = 0
>
> Perdón, quería decir en polinomios de coeficientes enteros.
>
> --
> *** ***Antonio

x^30 - 1 = (x^15 - 1)(x^15 + 1) = ((x^5)^3 - 1)((x^5)^3 + 1) =
(x^5 - 1)(x^10 + x^5 + 1)(x^5 + 1)(x^10 - x^5 + 1) =
(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x^10 + x^5 + 1)(x + 1)(x^4 - x^3 +
x^2 - x + 1)(x^10 - x^5 + 1)

Falta por factorizar los dos polinomios de grado 10 pues los otros son
los polinomios cicotomicos correspondientes a x^5 - 1 que son por
tanto irreducibles al ser 5 primo.

Veamos x^10 + x^5 + 1.Si pensamos en las raices cubicas de la unidad
tendremos que si w es una de ellas (distinta de 1) entonces w^3 = 1 y
w^2 + w + 1 = 0

Si sustituimos en x^10 + x^5 + 1 el valor de w obtenemos w^2 + w + 1 y
por tanto las dos raices cubicas de la unidad distintas de 1 son
factores del polinomio,es decir que es divisible por x^2 + x + 1

Factorizando se tiene que x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 +
x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)


Y analogamente

x^10 - x^5 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)


Saludos.

PD : Supongo que los fatores de grado 8 no se pueden factorizar ya.

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:47841d88-db4c-4d2c-a451-e5c2eff85f65***2g2000hsn.googlegroups.com...
On 8 mayo, 16:25, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Antonio González escribió:
>
> > Factorizar en polinomios reales
>
> > x^30 - 1 = 0
>
> Perdón, quería decir en polinomios de coeficientes enteros.
>
> --
> Antonio

x^30 - 1 = (x^15 - 1)(x^15 + 1) = ((x^5)^3 - 1)((x^5)^3 + 1) =
(x^5 - 1)(x^10 + x^5 + 1)(x^5 + 1)(x^10 - x^5 + 1) =
(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x^10 + x^5 + 1)(x + 1)(x^4 - x^3 +
x^2 - x + 1)(x^10 - x^5 + 1)

Falta por factorizar los dos polinomios de grado 10 pues los otros son
los polinomios cicotomicos correspondientes a x^5 - 1 que son por
tanto irreducibles al ser 5 primo.

Tenía entendido que los polinomios ciclotómicos son aquellos que
tienen por raíces a las raíces de la unidad que son distintas de 1.
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 es ciclotómico, pero x^4 - x^3 +
+ x^2 - x + 1 no, pues sus raíces son las opuestas de las raíces
quintas de la unidad distintas de 1.
Sé que es irreducible, pero no por ciclotómico, ¿ no ?

Saludos,


Veamos x^10 + x^5 + 1.Si pensamos en las raices cubicas de la unidad
tendremos que si w es una de ellas (distinta de 1) entonces w^3 = 1 y
w^2 + w + 1 = 0

Si sustituimos en x^10 + x^5 + 1 el valor de w obtenemos w^2 + w + 1 y
por tanto las dos raices cubicas de la unidad distintas de 1 son
factores del polinomio,es decir que es divisible por x^2 + x + 1

Factorizando se tiene que x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 +
x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)


Y analogamente

x^10 - x^5 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)


Saludos.

PD : Supongo que los fatores de grado 8 no se pueden factorizar ya.

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:47841d88-db4c-4d2c-a451-e5c2eff85f65***2g2000hsn.googlegroups.com...
On 8 mayo, 16:25, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Antonio González escribió:
>
> > Factorizar en polinomios reales
>
> > x^30 - 1 = 0
>
> Perdón, quería decir en polinomios de coeficientes enteros.
>
> --
> Antonio

x^30 - 1 = (x^15 - 1)(x^15 + 1) = ((x^5)^3 - 1)((x^5)^3 + 1) =
(x^5 - 1)(x^10 + x^5 + 1)(x^5 + 1)(x^10 - x^5 + 1) =
(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x^10 + x^5 + 1)(x + 1)(x^4 - x^3 +
x^2 - x + 1)(x^10 - x^5 + 1)

Falta por factorizar los dos polinomios de grado 10 pues los otros son
los polinomios cicotomicos correspondientes a x^5 - 1 que son por
tanto irreducibles al ser 5 primo.

Tenía entendido que los polinomios ciclotómicos son aquellos que
tienen por raíces a las raíces de la unidad que son distintas de 1.
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 es ciclotómico, pero x^4 - x^3 +
+ x^2 - x + 1 no, pues sus raíces son las opuestas de las raíces
quintas de la unidad distintas de 1.
Sé que es irreducible, pero no por ciclotómico, ¿ no ?

Saludos,


Veamos x^10 + x^5 + 1.Si pensamos en las raices cubicas de la unidad
tendremos que si w es una de ellas (distinta de 1) entonces w^3 = 1 y
w^2 + w + 1 = 0

Si sustituimos en x^10 + x^5 + 1 el valor de w obtenemos w^2 + w + 1 y
por tanto las dos raices cubicas de la unidad distintas de 1 son
factores del polinomio,es decir que es divisible por x^2 + x + 1

Factorizando se tiene que x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 +
x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)


Y analogamente

x^10 - x^5 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)


Saludos.

PD : Supongo que los fatores de grado 8 no se pueden factorizar ya.

On 12 mayo, 03:52, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el mensajenews:47841d88-db4c-4d2c-a451-e5c2eff85f65***2g2000hsn.googlegroups.com...
> On 8 mayo, 16:25, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>
> > Antonio González escribió:
>
> > > Factorizar en polinomios reales
>
> > > x^30 - 1 = 0
>
> > Perdón, quería decir en polinomios de coeficientes enteros.
>
> > --
> > Antonio
>
> x^30 - 1 = (x^15 - 1)(x^15 + 1) = ((x^5)^3 - 1)((x^5)^3 + 1) =
> (x^5 - 1)(x^10 + x^5 + 1)(x^5 + 1)(x^10 - x^5 + 1) =
> (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x^10 + x^5 + 1)(x + 1)(x^4 - x^3 +
> x^2 - x + 1)(x^10 - x^5 + 1)
>
> Falta por factorizar los dos polinomios de grado 10 pues los otros son
> los polinomios cicotomicos correspondientes a x^5 - 1 que son por
> tanto irreducibles al ser 5 primo.
>
> Tenía entendido que los polinomios ciclotómicos son aquellos que
> tienen por raíces a las raíces de la unidad que son distintas de 1.
> x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 ***es ciclotómico, pero x^4 - x^3 +
> + x^2 - x + 1 ***no, pues sus raíces son las opuestas de las raíces
> quintas de la unidad distintas de 1.
> Sé que es irreducible, pero no por ciclotómico, ¿ no ?
>
> Saludos,
>
> Veamos x^10 + x^5 + 1.Si pensamos en las raices cubicas de la unidad
> tendremos que si w es una de ellas (distinta de 1) entonces w^3 = 1 y
> w^2 + w + 1 = 0
>
> Si sustituimos en x^10 + x^5 + 1 el valor de w obtenemos w^2 + w + 1 y
> por tanto las dos raices cubicas de la unidad distintas de 1 son
> factores del polinomio,es decir que es divisible por x^2 + x + 1
>
> Factorizando se tiene que x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 +
> x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)
>
> Y analogamente
>
> x^10 - x^5 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)
>
> Saludos.
>
> PD : Supongo que los fatores de grado 8 no se pueden factorizar ya.

Si x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 es irreducible ,entonces x^4 - x^3 + x^2 -
x + 1 sera tambien irreducible pues es el resultado de cambiar x por -
x.

Saludos.

On 12 mayo, 03:52, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Javier Esquinas" <jesqui...***renfe.es> escribió en el mensajenews:47841d88-db4c-4d2c-a451-e5c2eff85f65***2g2000hsn.googlegroups.com...
> On 8 mayo, 16:25, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>
> > Antonio González escribió:
>
> > > Factorizar en polinomios reales
>
> > > x^30 - 1 = 0
>
> > Perdón, quería decir en polinomios de coeficientes enteros.
>
> > --
> > Antonio
>
> x^30 - 1 = (x^15 - 1)(x^15 + 1) = ((x^5)^3 - 1)((x^5)^3 + 1) =
> (x^5 - 1)(x^10 + x^5 + 1)(x^5 + 1)(x^10 - x^5 + 1) =
> (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x^10 + x^5 + 1)(x + 1)(x^4 - x^3 +
> x^2 - x + 1)(x^10 - x^5 + 1)
>
> Falta por factorizar los dos polinomios de grado 10 pues los otros son
> los polinomios cicotomicos correspondientes a x^5 - 1 que son por
> tanto irreducibles al ser 5 primo.
>
> Tenía entendido que los polinomios ciclotómicos son aquellos que
> tienen por raíces a las raíces de la unidad que son distintas de 1.
> x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 ***es ciclotómico, pero x^4 - x^3 +
> + x^2 - x + 1 ***no, pues sus raíces son las opuestas de las raíces
> quintas de la unidad distintas de 1.
> Sé que es irreducible, pero no por ciclotómico, ¿ no ?
>
> Saludos,
>
> Veamos x^10 + x^5 + 1.Si pensamos en las raices cubicas de la unidad
> tendremos que si w es una de ellas (distinta de 1) entonces w^3 = 1 y
> w^2 + w + 1 = 0
>
> Si sustituimos en x^10 + x^5 + 1 el valor de w obtenemos w^2 + w + 1 y
> por tanto las dos raices cubicas de la unidad distintas de 1 son
> factores del polinomio,es decir que es divisible por x^2 + x + 1
>
> Factorizando se tiene que x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 +
> x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)
>
> Y analogamente
>
> x^10 - x^5 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)
>
> Saludos.
>
> PD : Supongo que los fatores de grado 8 no se pueden factorizar ya.

Si x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 es irreducible ,entonces x^4 - x^3 + x^2 -
x + 1 sera tambien irreducible pues es el resultado de cambiar x por -
x.

Saludos.