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10-05-2008, 12:10:12
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 Re: Triangulo con incentro! Luis escribió: > "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje > news:68j7iuF2she3gU1***mid.individual.net... >> Javier Esquinas escribió: >>> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA = >>> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC. >> Intentemos obtener una fórmula general. >> >> Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el >> inradio. >> >> Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a, b >> y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de las >> perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios. >> >> Tenemos, por el teorema de Pitágoras >> >> a^2 + r^2 = x^2 >> >> b^2 + r^2 = y^2 >> >> c^2 + r^2 = z^2 >> >> Por otro lado, por la fórmula de Heron >> >> S = rq(abc(a+b+c)) >> >> y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los >> cuales tienen altura r >> >> S = (a+b+c)r >> >> de donde >> >> r = rq(abc/(a+b+c)) >> >> Sustituyendo r^2 queda >> >> a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2 >> >> b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2 >> >> c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2 >> >> La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las >> combinaciones >> >> P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc >> >> de forma que S = rq(PR). >> >> Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema >> >> a(a+b)^2/(a+2b) = 9 >> >> 2b^2(a+b)/(a+2b) = 3 >> >> Dividiendo >> >> a(a+b) = 6b^2 >> >> de donde a = 2b y, sustituyendo, > > AquÃ*** no me queda claro por qué tiene que ser a = 2b. > ¿ A ojo ? > Si quieres. O si no, resolviendo la ecuación de 2º grado, que tiene por soluciones 2 y -3. -- Antonio  |
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11-05-2008, 00:38:04
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| Re: Triangulo con incentro! "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje news:68lhl3F2sjimdU1***mid.individual.net... > Luis escribió: >> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje >> news:68j7iuF2she3gU1***mid.individual.net... >>> Javier Esquinas escribió: >>>> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA = >>>> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC. >>> Intentemos obtener una fórmula general. >>> >>> Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el >>> inradio. >>> >>> Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a, >>> b y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de >>> las perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios. >>> >>> Tenemos, por el teorema de Pitágoras >>> >>> a^2 + r^2 = x^2 >>> >>> b^2 + r^2 = y^2 >>> >>> c^2 + r^2 = z^2 >>> >>> Por otro lado, por la fórmula de Heron >>> >>> S = rq(abc(a+b+c)) >>> >>> y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los >>> cuales tienen altura r >>> >>> S = (a+b+c)r >>> >>> de donde >>> >>> r = rq(abc/(a+b+c)) >>> >>> Sustituyendo r^2 queda >>> >>> a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2 >>> >>> b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2 >>> >>> c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2 >>> >>> La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las >>> combinaciones >>> >>> P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc >>> >>> de forma que S = rq(PR). >>> >>> Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema >>> >>> a(a+b)^2/(a+2b) = 9 >>> >>> 2b^2(a+b)/(a+2b) = 3 >>> >>> Dividiendo >>> >>> a(a+b) = 6b^2 >>> >>> de donde a = 2b y, sustituyendo, >> >> Aquí no me queda claro por qué tiene que ser a = 2b. >> ¿ A ojo ? >> > > Si quieres. O si no, resolviendo la ecuación de 2º grado, que tiene por > soluciones 2 y -3. > Uy, qué mal estoy, buffff Gracias, Antonio. |
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11-05-2008, 00:38:04
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| Re: Triangulo con incentro! "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje news:68lhl3F2sjimdU1***mid.individual.net... > Luis escribió: >> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje >> news:68j7iuF2she3gU1***mid.individual.net... >>> Javier Esquinas escribió: >>>> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA = >>>> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC. >>> Intentemos obtener una fórmula general. >>> >>> Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el >>> inradio. >>> >>> Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a, >>> b y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de >>> las perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios. >>> >>> Tenemos, por el teorema de Pitágoras >>> >>> a^2 + r^2 = x^2 >>> >>> b^2 + r^2 = y^2 >>> >>> c^2 + r^2 = z^2 >>> >>> Por otro lado, por la fórmula de Heron >>> >>> S = rq(abc(a+b+c)) >>> >>> y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los >>> cuales tienen altura r >>> >>> S = (a+b+c)r >>> >>> de donde >>> >>> r = rq(abc/(a+b+c)) >>> >>> Sustituyendo r^2 queda >>> >>> a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2 >>> >>> b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2 >>> >>> c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2 >>> >>> La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las >>> combinaciones >>> >>> P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc >>> >>> de forma que S = rq(PR). >>> >>> Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema >>> >>> a(a+b)^2/(a+2b) = 9 >>> >>> 2b^2(a+b)/(a+2b) = 3 >>> >>> Dividiendo >>> >>> a(a+b) = 6b^2 >>> >>> de donde a = 2b y, sustituyendo, >> >> Aquí no me queda claro por qué tiene que ser a = 2b. >> ¿ A ojo ? >> > > Si quieres. O si no, resolviendo la ecuación de 2º grado, que tiene por > soluciones 2 y -3. > Uy, qué mal estoy, buffff Gracias, Antonio. |
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