Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
3.Calcular al superficie del triangulo ABC.

Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.

Se trata de un triángulo isósceles con AB = AC. Sea u = <A/2 y v = <B/2 =
<C/2. Si r es el inradio,

r = 3sen(u) = rq(3)sen(v)

2u + 4v = 180º ===> u + 2v = 90º

sen(u) = cos(2v) = 1 - 2sen^2(v)

Haciendo sen(v) = s,

s = rq(3)(1 - 2s^2)

cuya solución positiva es s = rq(3)/3. ===> r = 1

La altura entonces vale 4, y la base 2rq(3)cos(v) = 2rq(3)rq(2/3) = 2rq(2),
con lo que el área es

S = 4rq(2)



--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com






--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.

Se trata de un triángulo isósceles con AB = AC. Sea u = <A/2 y v = <B/2 =
<C/2. Si r es el inradio,

r = 3sen(u) = rq(3)sen(v)

2u + 4v = 180º ===> u + 2v = 90º

sen(u) = cos(2v) = 1 - 2sen^2(v)

Haciendo sen(v) = s,

s = rq(3)(1 - 2s^2)

cuya solución positiva es s = rq(3)/3. ===> r = 1

La altura entonces vale 4, y la base 2rq(3)cos(v) = 2rq(3)rq(2/3) = 2rq(2),
con lo que el área es

S = 4rq(2)



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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com






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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas escribió:
> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.

Intentemos obtener una fórmula general.

Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el
inradio.

Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a,
b y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de
las perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios.

Tenemos, por el teorema de Pitágoras

a^2 + r^2 = x^2

b^2 + r^2 = y^2

c^2 + r^2 = z^2

Por otro lado, por la fórmula de Heron

S = rq(abc(a+b+c))

y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los
cuales tienen altura r

S = (a+b+c)r

de donde

r = rq(abc/(a+b+c))

Sustituyendo r^2 queda

a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2

b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2

c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2

La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las
combinaciones

P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc

de forma que S = rq(PR).

Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema

a(a+b)^2/(a+2b) = 9

2b^2(a+b)/(a+2b) = 3

Dividiendo

a(a+b) = 6b^2

de donde a = 2b y, sustituyendo,

b = rq(2) a = 2rq(2)

S = rq((2rq(2))(rq(2))^2(2rq(2) + rq(2) + rq(2)) = 4 rq(2)

Pero, ¿existe solución analítica sencilla para x, y y z arbitrarios?



--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.

Intentemos obtener una fórmula general.

Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el
inradio.

Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a,
b y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de
las perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios.

Tenemos, por el teorema de Pitágoras

a^2 + r^2 = x^2

b^2 + r^2 = y^2

c^2 + r^2 = z^2

Por otro lado, por la fórmula de Heron

S = rq(abc(a+b+c))

y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los
cuales tienen altura r

S = (a+b+c)r

de donde

r = rq(abc/(a+b+c))

Sustituyendo r^2 queda

a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2

b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2

c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2

La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las
combinaciones

P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc

de forma que S = rq(PR).

Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema

a(a+b)^2/(a+2b) = 9

2b^2(a+b)/(a+2b) = 3

Dividiendo

a(a+b) = 6b^2

de donde a = 2b y, sustituyendo,

b = rq(2) a = 2rq(2)

S = rq((2rq(2))(rq(2))^2(2rq(2) + rq(2) + rq(2)) = 4 rq(2)

Pero, ¿existe solución analítica sencilla para x, y y z arbitrarios?



--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68j7iuF2she3gU1***mid.individual.net...
> Javier Esquinas escribió:
>> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
>> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.
>
> Intentemos obtener una fórmula general.
>
> Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el
> inradio.
>
> Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a, b
> y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de las
> perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios.
>
> Tenemos, por el teorema de Pitágoras
>
> a^2 + r^2 = x^2
>
> b^2 + r^2 = y^2
>
> c^2 + r^2 = z^2
>
> Por otro lado, por la fórmula de Heron
>
> S = rq(abc(a+b+c))
>
> y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los
> cuales tienen altura r
>
> S = (a+b+c)r
>
> de donde
>
> r = rq(abc/(a+b+c))
>
> Sustituyendo r^2 queda
>
> a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2
>
> b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2
>
> c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2
>
> La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las
> combinaciones
>
> P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc
>
> de forma que S = rq(PR).
>
> Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema
>
> a(a+b)^2/(a+2b) = 9
>
> 2b^2(a+b)/(a+2b) = 3
>
> Dividiendo
>
> a(a+b) = 6b^2
>
> de donde a = 2b y, sustituyendo,
>
> b = rq(2) a = 2rq(2)
>
> S = rq((2rq(2))(rq(2))^2(2rq(2) + rq(2) + rq(2)) = 4 rq(2)
>
> Pero, ¿existe solución analítica sencilla para x, y y z arbitrarios?
>


Si se pudiesen transformar las ecuaciones de tu sistema en sumas
de la forma S(n) = a^n + b^n + c^n , 1 <= n <= 3
sí podría encontrarse una solución explícita para a, b y c.

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68j7iuF2she3gU1***mid.individual.net...
> Javier Esquinas escribió:
>> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
>> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.
>
> Intentemos obtener una fórmula general.
>
> Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el
> inradio.
>
> Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a, b
> y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de las
> perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios.
>
> Tenemos, por el teorema de Pitágoras
>
> a^2 + r^2 = x^2
>
> b^2 + r^2 = y^2
>
> c^2 + r^2 = z^2
>
> Por otro lado, por la fórmula de Heron
>
> S = rq(abc(a+b+c))
>
> y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los
> cuales tienen altura r
>
> S = (a+b+c)r
>
> de donde
>
> r = rq(abc/(a+b+c))
>
> Sustituyendo r^2 queda
>
> a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2
>
> b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2
>
> c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2
>
> La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las
> combinaciones
>
> P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc
>
> de forma que S = rq(PR).
>
> Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema
>
> a(a+b)^2/(a+2b) = 9
>
> 2b^2(a+b)/(a+2b) = 3
>
> Dividiendo
>
> a(a+b) = 6b^2
>
> de donde a = 2b y, sustituyendo,
>
> b = rq(2) a = 2rq(2)
>
> S = rq((2rq(2))(rq(2))^2(2rq(2) + rq(2) + rq(2)) = 4 rq(2)
>
> Pero, ¿existe solución analítica sencilla para x, y y z arbitrarios?
>


Si se pudiesen transformar las ecuaciones de tu sistema en sumas
de la forma S(n) = a^n + b^n + c^n , 1 <= n <= 3
sí podría encontrarse una solución explícita para a, b y c.

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68j7iuF2she3gU1***mid.individual.net...
> Javier Esquinas escribió:
>> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
>> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.
>
> Intentemos obtener una fórmula general.
>
> Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el
> inradio.
>
> Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a, b
> y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de las
> perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios.
>
> Tenemos, por el teorema de Pitágoras
>
> a^2 + r^2 = x^2
>
> b^2 + r^2 = y^2
>
> c^2 + r^2 = z^2
>
> Por otro lado, por la fórmula de Heron
>
> S = rq(abc(a+b+c))
>
> y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los
> cuales tienen altura r
>
> S = (a+b+c)r
>
> de donde
>
> r = rq(abc/(a+b+c))
>
> Sustituyendo r^2 queda
>
> a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2
>
> b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2
>
> c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2
>
> La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las
> combinaciones
>
> P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc
>
> de forma que S = rq(PR).
>
> Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema
>
> a(a+b)^2/(a+2b) = 9
>
> 2b^2(a+b)/(a+2b) = 3
>
> Dividiendo
>
> a(a+b) = 6b^2
>
> de donde a = 2b y, sustituyendo,

Aquí no me queda claro por qué tiene que ser a = 2b.
¿ A ojo ?



> b = rq(2) a = 2rq(2)
>
> S = rq((2rq(2))(rq(2))^2(2rq(2) + rq(2) + rq(2)) = 4 rq(2)
>
> Pero, ¿existe solución analítica sencilla para x, y y z arbitrarios?
>
>
>
> --
>
> Antonio
>

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68j7iuF2she3gU1***mid.individual.net...
> Javier Esquinas escribió:
>> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
>> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.
>
> Intentemos obtener una fórmula general.
>
> Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el
> inradio.
>
> Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a, b
> y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de las
> perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios.
>
> Tenemos, por el teorema de Pitágoras
>
> a^2 + r^2 = x^2
>
> b^2 + r^2 = y^2
>
> c^2 + r^2 = z^2
>
> Por otro lado, por la fórmula de Heron
>
> S = rq(abc(a+b+c))
>
> y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los
> cuales tienen altura r
>
> S = (a+b+c)r
>
> de donde
>
> r = rq(abc/(a+b+c))
>
> Sustituyendo r^2 queda
>
> a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2
>
> b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2
>
> c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2
>
> La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las
> combinaciones
>
> P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc
>
> de forma que S = rq(PR).
>
> Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema
>
> a(a+b)^2/(a+2b) = 9
>
> 2b^2(a+b)/(a+2b) = 3
>
> Dividiendo
>
> a(a+b) = 6b^2
>
> de donde a = 2b y, sustituyendo,

Aquí no me queda claro por qué tiene que ser a = 2b.
¿ A ojo ?



> b = rq(2) a = 2rq(2)
>
> S = rq((2rq(2))(rq(2))^2(2rq(2) + rq(2) + rq(2)) = 4 rq(2)
>
> Pero, ¿existe solución analítica sencilla para x, y y z arbitrarios?
>
>
>
> --
>
> Antonio
>

Luis escribió:
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:68j7iuF2she3gU1***mid.individual.net...
>> Javier Esquinas escribió:
>>> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
>>> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.
>> Intentemos obtener una fórmula general.
>>
>> Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el
>> inradio.
>>
>> Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a, b
>> y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de las
>> perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios.
>>
>> Tenemos, por el teorema de Pitágoras
>>
>> a^2 + r^2 = x^2
>>
>> b^2 + r^2 = y^2
>>
>> c^2 + r^2 = z^2
>>
>> Por otro lado, por la fórmula de Heron
>>
>> S = rq(abc(a+b+c))
>>
>> y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los
>> cuales tienen altura r
>>
>> S = (a+b+c)r
>>
>> de donde
>>
>> r = rq(abc/(a+b+c))
>>
>> Sustituyendo r^2 queda
>>
>> a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2
>>
>> b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2
>>
>> c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2
>>
>> La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las
>> combinaciones
>>
>> P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc
>>
>> de forma que S = rq(PR).
>>
>> Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema
>>
>> a(a+b)^2/(a+2b) = 9
>>
>> 2b^2(a+b)/(a+2b) = 3
>>
>> Dividiendo
>>
>> a(a+b) = 6b^2
>>
>> de donde a = 2b y, sustituyendo,
>
> AquÃ*** no me queda claro por qué tiene que ser a = 2b.
> ¿ A ojo ?
>

Si quieres. O si no, resolviendo la ecuación de 2º grado, que tiene por
soluciones 2 y -3.

--

Antonio