(i) Si x e y son numeros reales distintos tales que:
x^3 = 1 - y
y^3 = 1 - x

calcular todos los posibles valores de x·y.

(ii) De la sucesion de numeros enteros positivos eliminamos los
cuadrados y los cubos perfectos.
¿Que posicion ocupa el numero 2008 en esta nueva sucesion?

Saludos.

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:a204ecf3-7a85-463e-93b8-999d4d5b95e3***y38g2000hsy.googlegroups.com...

(ii) De la sucesion de numeros enteros positivos eliminamos los
cuadrados y los cubos perfectos.
¿Que posicion ocupa el numero 2008 en esta nueva sucesion?

====================
Rapidito, rapidito ...

Como 44^2 < 2008 < 45^2, tenenos 44 cuadrados por debajo de 2008.

Igualmente, 12^3 < 2008 < 13^3.

Por otro lado, 3^6 < 2008 < 4^6.

por tanto, serán 2008 - 44 - 12 + 3 = 1955

¡Una cosecha mágnifica la de ese año! ":^)

Ignacio Larrosa

(desde un ordenador prestado)

"Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> escribió en el mensaje
news:a204ecf3-7a85-463e-93b8-999d4d5b95e3***y38g2000hsy.googlegroups.com...

(ii) De la sucesion de numeros enteros positivos eliminamos los
cuadrados y los cubos perfectos.
¿Que posicion ocupa el numero 2008 en esta nueva sucesion?

====================
Rapidito, rapidito ...

Como 44^2 < 2008 < 45^2, tenenos 44 cuadrados por debajo de 2008.

Igualmente, 12^3 < 2008 < 13^3.

Por otro lado, 3^6 < 2008 < 4^6.

por tanto, serán 2008 - 44 - 12 + 3 = 1955

¡Una cosecha mágnifica la de ese año! ":^)

Ignacio Larrosa

(desde un ordenador prestado)

Javier Esquinas wrote:
> (i) Si x e y son numeros reales distintos tales que:
> x^3 = 1 - y
> y^3 = 1 - x
>
> calcular todos los posibles valores de x·y.

0, fi, -1/fi


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> (i) Si x e y son numeros reales distintos tales que:
> x^3 = 1 - y
> y^3 = 1 - x
>
> calcular todos los posibles valores de x·y.

0, fi, -1/fi


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Javier Esquinas wrote:
>> (i) Si x e y son numeros reales distintos tales que:
>> x^3 = 1 - y
>> y^3 = 1 - x
>>
>> calcular todos los posibles valores de x·y.
>
> 0, fi, -1/fi

Bueno, si x e y han de ser resles, solo 0 y -1/fi.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Javier Esquinas wrote:
>> (i) Si x e y son numeros reales distintos tales que:
>> x^3 = 1 - y
>> y^3 = 1 - x
>>
>> calcular todos los posibles valores de x·y.
>
> 0, fi, -1/fi

Bueno, si x e y han de ser resles, solo 0 y -1/fi.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:68jgmuF2t19fqU1***mid.individual.net...
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> (i) Si x e y son numeros reales distintos tales que:
>>> x^3 = 1 - y
>>> y^3 = 1 - x
>>>
>>> calcular todos los posibles valores de x·y.
>>
>> 0, fi, -1/fi
>
> Bueno, si x e y han de ser resles, solo 0 y -1/fi.
>
>

xy = 0 se ve a ojo. Pero, ¿ cómo has deducido la otra ?

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:68jgmuF2t19fqU1***mid.individual.net...
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> (i) Si x e y son numeros reales distintos tales que:
>>> x^3 = 1 - y
>>> y^3 = 1 - x
>>>
>>> calcular todos los posibles valores de x·y.
>>
>> 0, fi, -1/fi
>
> Bueno, si x e y han de ser resles, solo 0 y -1/fi.
>
>

xy = 0 se ve a ojo. Pero, ¿ cómo has deducido la otra ?

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:g02uj0$gsj$1***registered.motzarella.org...
>
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
> en el mensaje news:68jgmuF2t19fqU1***mid.individual.net...
>> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>>> Javier Esquinas wrote:
>>>> (i) Si x e y son numeros reales distintos tales que:
>>>> x^3 = 1 - y
>>>> y^3 = 1 - x
>>>>
>>>> calcular todos los posibles valores de x·y.
>>>
>>> 0, fi, -1/fi
>>
>> Bueno, si x e y han de ser resles, solo 0 y -1/fi.
>>
>>
>
> xy = 0 se ve a ojo. Pero, ¿ cómo has deducido la otra ?
>
Ya estaba picado e intrigado con el dichoso problemita :

Sumando miembro a miembro :

x^3 + y^3 = 2 - ( x + y )

Restando miembro a miembro :

x^3 - y^3 = x - y

Pero, ( x + y )^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)

y ( x - y )^3 = ( x - y )(x^2 + xy + y^2)

Sea P = -( x + y) y Q = xy

Entonces : (-P)^3 - 3Q(-P) = 2 - (-P) ==> 3PQ = P^3 + P + 2

Y, como x =/= y, x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = P^2 - Q = 1

Sustituyendo Q = P^2 - 1 en 3PQ = P^3 + P + 2 resulta

P^3 - 2P - 1 = 0

Las soluciones de esta ecuación son P = -1, phi, -1/phi

Y las soluciones respectivas para Q son 0, phi, -1/phi.

Pero el sistema :

x + y = phi , xy = phi tiene sus soluciones complejas.

Luego, los valores posibles de xy para "x" e "y "distintos y reales
son, únicamente, 0 y -1/phi.

Un problema muy bonito. Pero, ¡ caray con los sencillitos de Javier
Esquinas !

Saludos,