"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68l5b4F2r6d8qU1***mid.individual.net...
> Antonio González escribió:
>> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>>
>> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>>
>> Escribir en términos de P, Q y R
>>
>> -el área del triángulo
>> -el circunradio
>> -el inradio
>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>
>> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>>
>
> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>
> x^3 + A x^2 + B x + C = 0
>
> Los centros de estas circunferencias define un triángulo.
>
> Escribir, en términos de A, B y C,
>
> -el área del triángulo
> -el circunradio
> -el inradio
> -la distancia entre incentro y circuncentro
> -los radios de Soddy, interior y exterior
>
> ¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?


1) Área del triángulo

Por la fórmula de Herón, S = rq(abc(a+b+c)), puesto
que los lados de nuestro triángulo son a+b, a+c y b+c.

Luego, S = rq(AC)

2) Inradio

S = rp, donde p es el semiperímetro. En nuestro caso,
es p = a+b+c.

Luego, r = - rq(AC)/A

3) Circunradio

R = (a+b)(a+c)(b+c)/4rp , con p el semiperímetro.

Pero, (a+b)(a+c)(b+c) = (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc = B(-A)+C

Luego, R = (C-AB) / 4rq(AC)

4) Distancia entre el incentro y el circuncentro

Según la fórmula de Euler, d^2 = R(R-2r) y basta sustituir
las expresiones obtenidas para r y R.

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:g0rns6$gig$1***registered.motzarella.org...
>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:68l5b4F2r6d8qU1***mid.individual.net...
>> Antonio González escribió:
>>> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>>>
>>> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>>>
>>> Escribir en términos de P, Q y R
>>>
>>> -el área del triángulo
>>> -el circunradio
>>> -el inradio
>>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>>
>>> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>>>
>>
>> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
>> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>>
>> x^3 + A x^2 + B x + C = 0
>>
>> Los centros de estas circunferencias define un triángulo.
>>
>> Escribir, en términos de A, B y C,
>>
>> -el área del triángulo
>> -el circunradio
>> -el inradio
>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>
>> ¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?
>
>
> 1) Área del triángulo
>
> Por la fórmula de Herón, S = rq(abc(a+b+c)), puesto
> que los lados de nuestro triángulo son a+b, a+c y b+c.
>
> Luego, S = rq(AC)
>
> 2) Inradio
>
> S = rp, donde p es el semiperímetro. En nuestro caso,
> es p = a+b+c.
>
> Luego, r = - rq(AC)/A
>
> 3) Circunradio
>
> R = (a+b)(a+c)(b+c)/4rp , con p el semiperímetro.
>
> Pero, (a+b)(a+c)(b+c) = (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc = B(-A)+C
>
> Luego, R = (C-AB) / 4rq(AC)
>
> 4) Distancia entre el incentro y el circuncentro
>
> Según la fórmula de Euler, d^2 = R(R-2r) y basta sustituir
> las expresiones obtenidas para r y R.
>
> Saludos,

5) Radio de la circunferencia interior de Soddy :

Según la fórmula que obtuvo Antonio González en su demostración
"coordinate free" , el radio r_i de la circunferencia interior de Soddy es

abc/( ab+ac+bc + 2rq((a+b+c)abc) )

Luego, r_i = -C/( B + 2rq(AC) )

Y, según la fórmula que obtuve yo mismo mediante inversiones de
Steiner con coordenadas, el radio r_e de la circunferencia exterior
es

abc/(2rq(a+b+c)abc - (ab+ac+bc) )

Luego, r_e = C/( B - 2rq(AC) )

Saludos,

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>> Antonio González escribió:
>>> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>>>
>>> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>>>
>>> Escribir en términos de P, Q y R
>>>
>>> -el área del triángulo
>>> -el circunradio
>>> -el inradio
>>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>>
>>> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>>>
>>
>> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
>> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>>
>> x^3 + A x^2 + B x + C = 0
>>
>> Los centros de estas circunferencias define un triángulo.
>>
>> Escribir, en términos de A, B y C,
>>
>> -el área del triángulo
>> -el circunradio
>> -el inradio
>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>
>> ¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?
>
>
> 1) Área del triángulo
>
> Por la fórmula de Herón, S = rq(abc(a+b+c)), puesto
> que los lados de nuestro triángulo son a+b, a+c y b+c.
>
> Luego, S = rq(AC)
>
> 2) Inradio
>
> S = rp, donde p es el semiperímetro. En nuestro caso,
> es p = a+b+c.
>
> Luego, r = - rq(AC)/A
>
> 3) Circunradio
>
> R = (a+b)(a+c)(b+c)/4rp , con p el semiperímetro.
>
> Pero, (a+b)(a+c)(b+c) = (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc = B(-A)+C
>
> Luego, R = (C-AB) / 4rq(AC)
>
> 4) Distancia entre el incentro y el circuncentro
>
> Según la fórmula de Euler, d^2 = R(R-2r) y basta sustituir
> las expresiones obtenidas para r y R.
>
> Saludos,

5) Radio de la circunferencia interior de Soddy :

Según la fórmula que obtuvo Antonio González en su demostración
"coordinate free" , el radio r_i de la circunferencia interior de Soddy es

abc/( ab+ac+bc + 2rq((a+b+c)abc) )

Luego, r_i = -C/( B + 2rq(AC) )

Y, según la fórmula que obtuve yo mismo mediante inversiones de
Steiner con coordenadas, el radio r_e de la circunferencia exterior
es

abc/(2rq(a+b+c)abc - (ab+ac+bc) )

Luego, r_e = C/( B - 2rq(AC) )

Saludos,