Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica

x^3 + P x^2 + Q x + R = 0

Escribir en términos de P, Q y R

-el área del triángulo
-el circunradio
-el inradio
-la distancia entre incentro y circuncentro
-los radios de Soddy, interior y exterior

¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?


--
Antonio

Antonio González escribió:
> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>
> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>
> Escribir en términos de P, Q y R
>
> -el área del triángulo
> -el circunradio
> -el inradio
> -la distancia entre incentro y circuncentro
> -los radios de Soddy, interior y exterior
>
> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>

Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
exteriores cuyos radios verifican la cúbica

x^3 + A x^2 + B x + C = 0

Los centros de estas circunferencias define un triángulo.

Escribir, en términos de A, B y C,

-el área del triángulo
-el circunradio
-el inradio
-la distancia entre incentro y circuncentro
-los radios de Soddy, interior y exterior

¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?


--
Antonio

Antonio González escribió:
> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>
> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>
> Escribir en términos de P, Q y R
>
> -el área del triángulo
> -el circunradio
> -el inradio
> -la distancia entre incentro y circuncentro
> -los radios de Soddy, interior y exterior
>
> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>

Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
exteriores cuyos radios verifican la cúbica

x^3 + A x^2 + B x + C = 0

Los centros de estas circunferencias define un triángulo.

Escribir, en términos de A, B y C,

-el área del triángulo
-el circunradio
-el inradio
-la distancia entre incentro y circuncentro
-los radios de Soddy, interior y exterior

¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?


--
Antonio

Antonio González wrote:
> Antonio González escribió:
>> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>>
>> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>>
>> Escribir en términos de P, Q y R
>>
>> -el área del triángulo
>> -el circunradio
>> -el inradio
>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>
>> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>>
>
> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>
> x^3 + A x^2 + B x + C = 0

Bueno, es A = (P + Q - R)/2, B = (P + R - Q)/2 y C = (Q + R - P)/2

Dados los vértices del triángulo, las circunferencias que los tienen como
centros y son mutuamente tangentes están perfectamente determinadas. Cortan
a los lados en los puntos de contacto con la circunferencia inscrita.


> Los centros de estas circunferencias define un triángulo.
>
> Escribir, en términos de A, B y C,
>
> -el área del triángulo
> -el circunradio
> -el inradio
> -la distancia entre incentro y circuncentro
> -los radios de Soddy, interior y exterior
>
> ¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?

Ahora no puedo, a ver más tarde.

Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Antonio González escribió:
>> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>>
>> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>>
>> Escribir en términos de P, Q y R
>>
>> -el área del triángulo
>> -el circunradio
>> -el inradio
>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>
>> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>>
>
> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>
> x^3 + A x^2 + B x + C = 0

Bueno, es A = (P + Q - R)/2, B = (P + R - Q)/2 y C = (Q + R - P)/2

Dados los vértices del triángulo, las circunferencias que los tienen como
centros y son mutuamente tangentes están perfectamente determinadas. Cortan
a los lados en los puntos de contacto con la circunferencia inscrita.


> Los centros de estas circunferencias define un triángulo.
>
> Escribir, en términos de A, B y C,
>
> -el área del triángulo
> -el circunradio
> -el inradio
> -la distancia entre incentro y circuncentro
> -los radios de Soddy, interior y exterior
>
> ¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?

Ahora no puedo, a ver más tarde.

Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Antonio González escribió:
>>> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>>>
>>> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>>>
>>> Escribir en términos de P, Q y R
>>>
>>> -el área del triángulo
>>> -el circunradio
>>> -el inradio
>>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>>
>>> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>>>
>> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
>> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>>
>> x^3 + A x^2 + B x + C = 0
>
> Bueno, es A = (P + Q - R)/2, B = (P + R - Q)/2 y C = (Q + R - P)/2

¿Ein? No, no. Ni A, B, C, ni P, Q, R son los lados del triángulo. Lo que
digo es que los lados (o los radios en el segundo caso) verifican dicha
ecuación cúbica, esto es

P = -(a+b+c) Q = ab + ac + bc R = -abc

con a,b y c los lados.


>
> Dados los vértices del triángulo, las circunferencias que los tienen como
> centros y son mutuamente tangentes están perfectamente determinadas. Cortan
> a los lados en los puntos de contacto con la circunferencia inscrita.
>

SÃ***, ya. Lo decÃ***a porque resultan expresiones más sencillas.

Por ejemplo, el área del triángulo, en términos de A, B y C es

S = rq(AC)

mientras que en términos de P, Q y R es

S = rq(P(-P^3 + 4 P Q - 8 R))

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Antonio González escribió:
>>> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>>>
>>> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>>>
>>> Escribir en términos de P, Q y R
>>>
>>> -el área del triángulo
>>> -el circunradio
>>> -el inradio
>>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>>
>>> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>>>
>> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
>> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>>
>> x^3 + A x^2 + B x + C = 0
>
> Bueno, es A = (P + Q - R)/2, B = (P + R - Q)/2 y C = (Q + R - P)/2

¿Ein? No, no. Ni A, B, C, ni P, Q, R son los lados del triángulo. Lo que
digo es que los lados (o los radios en el segundo caso) verifican dicha
ecuación cúbica, esto es

P = -(a+b+c) Q = ab + ac + bc R = -abc

con a,b y c los lados.


>
> Dados los vértices del triángulo, las circunferencias que los tienen como
> centros y son mutuamente tangentes están perfectamente determinadas. Cortan
> a los lados en los puntos de contacto con la circunferencia inscrita.
>

SÃ***, ya. Lo decÃ***a porque resultan expresiones más sencillas.

Por ejemplo, el área del triángulo, en términos de A, B y C es

S = rq(AC)

mientras que en términos de P, Q y R es

S = rq(P(-P^3 + 4 P Q - 8 R))

--

Antonio

Antonio González escribió:

> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>
> x^3 + A x^2 + B x + C = 0
>
> Los centros de estas circunferencias define un triángulo.
>
> Escribir, en términos de A, B y C,
>
> -el área del triángulo
> -el circunradio
> -el inradio
> -la distancia entre incentro y circuncentro
> -los radios de Soddy, interior y exterior
>
> ¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?
>
>

¿Nadie se anima? Venga, Javier, que está propuesto pensando en ti.

--

Antonio

Antonio González escribió:

> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>
> x^3 + A x^2 + B x + C = 0
>
> Los centros de estas circunferencias define un triángulo.
>
> Escribir, en términos de A, B y C,
>
> -el área del triángulo
> -el circunradio
> -el inradio
> -la distancia entre incentro y circuncentro
> -los radios de Soddy, interior y exterior
>
> ¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?
>
>

¿Nadie se anima? Venga, Javier, que está propuesto pensando en ti.

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Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68l5b4F2r6d8qU1***mid.individual.net...
> Antonio González escribió:
>> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>>
>> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>>
>> Escribir en términos de P, Q y R
>>
>> -el área del triángulo
>> -el circunradio
>> -el inradio
>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>
>> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>>
>
> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>
> x^3 + A x^2 + B x + C = 0
>
> Los centros de estas circunferencias define un triángulo.
>
> Escribir, en términos de A, B y C,
>
> -el área del triángulo
> -el circunradio
> -el inradio
> -la distancia entre incentro y circuncentro
> -los radios de Soddy, interior y exterior
>
> ¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?


1) Área del triángulo

Por la fórmula de Herón, S = rq(abc(a+b+c)), puesto
que los lados de nuestro triángulo son a+b, a+c y b+c.

Luego, S = rq(AC)

2) Inradio

S = rp, donde p es el semiperímetro. En nuestro caso,
es p = a+b+c.

Luego, r = - rq(AC)/A

3) Circunradio

R = (a+b)(a+c)(b+c)/4rp , con p el semiperímetro.

Pero, (a+b)(a+c)(b+c) = (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc = B(-A)+C

Luego, R = (C-AB) / 4rq(AC)

4) Distancia entre el incentro y el circuncentro

Según la fórmula de Euler, d^2 = R(R-2r) y basta sustituir
las expresiones obtenidas para r y R.

Saludos,