Esto es increible, muchas gracias.
Beltran

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68oj3cF2t9290U1***mid.individual.net...
> Beltran escribió:
>> Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
>> que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
>> El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
>> revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
>> (Suponiendo b>a).
>> Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
>> es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
>> respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?
>
> Para empezar, lo que calculas no tiene dimensiones de volumen, sino de
> superficie, por lo que evidentemente está mal.
>
> Segundo, si integras solo para la raíz positiva, no estás hallando el área
> de una sección de toroide, sino de una superficie que llega hasta el eje.
> La integral debe tener en cuenta que una sección de toroide se entiende
> desde la raíz negativa hasta la positiva.
>
> Tercero, no tienes en cuenta que la longitud de una circunferencia situada
> más cerca del eje OX es menor que la de una más alejada y por tanto la más
> cercana contribuye menos al volumen. Ese Pi debería ser un 2Pi y, con la y
> dentro de la integral.
>
> Cuarto, ese factor y sugiere que es mejor integrar con y como variable, no
> con x.
>
> Con todos estos apaños, la integral correcta quedaría
>
> I = 2pi int_(b-a)^(b+a) y 2rq(a^2 - (y-b)^2) dy

Antonio, no consigo ver cómo se obtiene esta integral. Seguramente es
porque no consigo hacer el dibujo apropiado.
Si considero un "tubito" concéntrico al toroide ( que pinto verticalmente,
pues la circunferencia gira en torno al eje OX ) y le "hago un corte"
transversal
al eje OY a distancia "y" del origen veo que la longitud "x" de ese corte
es
2rq(a^2 - (y-b)^2). También es claro que tendré que sumar la superficie del
corte efectuado al "tubito" entre b-a y b+a.
Pero, ¿ de dónde sale o qué significado tiene el 2*Pi*y que pones en la
integral ?
Eso es lo que no soy capaz de ver. Ojalá puedas echarme un cable.

Un saludo,


> Haciendo el cambio de variable
>
> y = b + a cos(t)
>
> queda
>
> I = 4pi a^2 int_0^pi (b+acos(t))sen^2(t) dt = 4pi a^2 b pi/2 =
>
> = 2pi^2b a^2
>
> Ahora, lo suyo es calcular este volumen empleando el teorema de
> Pappus-Guldin. El área del círculo es pi a^2. La distancia del CM al eje
> OX es b, por lo que al girar describe una circunferencia de longitud 2pib.
> Por tanto el volumen es
>
> V = (2pi b)(pi a^2) = 2pi^2 b a^2
>
>
> --
> Antonio
>

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68oj3cF2t9290U1***mid.individual.net...
> Beltran escribió:
>> Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
>> que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
>> El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
>> revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
>> (Suponiendo b>a).
>> Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
>> es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
>> respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?
>
> Para empezar, lo que calculas no tiene dimensiones de volumen, sino de
> superficie, por lo que evidentemente está mal.
>
> Segundo, si integras solo para la raíz positiva, no estás hallando el área
> de una sección de toroide, sino de una superficie que llega hasta el eje.
> La integral debe tener en cuenta que una sección de toroide se entiende
> desde la raíz negativa hasta la positiva.
>
> Tercero, no tienes en cuenta que la longitud de una circunferencia situada
> más cerca del eje OX es menor que la de una más alejada y por tanto la más
> cercana contribuye menos al volumen. Ese Pi debería ser un 2Pi y, con la y
> dentro de la integral.
>
> Cuarto, ese factor y sugiere que es mejor integrar con y como variable, no
> con x.
>
> Con todos estos apaños, la integral correcta quedaría
>
> I = 2pi int_(b-a)^(b+a) y 2rq(a^2 - (y-b)^2) dy

Antonio, no consigo ver cómo se obtiene esta integral. Seguramente es
porque no consigo hacer el dibujo apropiado.
Si considero un "tubito" concéntrico al toroide ( que pinto verticalmente,
pues la circunferencia gira en torno al eje OX ) y le "hago un corte"
transversal
al eje OY a distancia "y" del origen veo que la longitud "x" de ese corte
es
2rq(a^2 - (y-b)^2). También es claro que tendré que sumar la superficie del
corte efectuado al "tubito" entre b-a y b+a.
Pero, ¿ de dónde sale o qué significado tiene el 2*Pi*y que pones en la
integral ?
Eso es lo que no soy capaz de ver. Ojalá puedas echarme un cable.

Un saludo,


> Haciendo el cambio de variable
>
> y = b + a cos(t)
>
> queda
>
> I = 4pi a^2 int_0^pi (b+acos(t))sen^2(t) dt = 4pi a^2 b pi/2 =
>
> = 2pi^2b a^2
>
> Ahora, lo suyo es calcular este volumen empleando el teorema de
> Pappus-Guldin. El área del círculo es pi a^2. La distancia del CM al eje
> OX es b, por lo que al girar describe una circunferencia de longitud 2pib.
> Por tanto el volumen es
>
> V = (2pi b)(pi a^2) = 2pi^2 b a^2
>
>
> --
> Antonio
>

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:g119j9$nq$1***registered.motzarella.org...
>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:68oj3cF2t9290U1***mid.individual.net...
>> Beltran escribió:
>>> Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
>>> que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
>>> El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
>>> revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
>>> (Suponiendo b>a).
>>> Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
>>> es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
>>> respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?
>>
>> Para empezar, lo que calculas no tiene dimensiones de volumen, sino de
>> superficie, por lo que evidentemente está mal.
>>
>> Segundo, si integras solo para la raíz positiva, no estás hallando el
>> área de una sección de toroide, sino de una superficie que llega hasta el
>> eje. La integral debe tener en cuenta que una sección de toroide se
>> entiende desde la raíz negativa hasta la positiva.
>>
>> Tercero, no tienes en cuenta que la longitud de una circunferencia
>> situada más cerca del eje OX es menor que la de una más alejada y por
>> tanto la más cercana contribuye menos al volumen. Ese Pi debería ser un
>> 2Pi y, con la y dentro de la integral.
>>
>> Cuarto, ese factor y sugiere que es mejor integrar con y como variable,
>> no con x.
>>
>> Con todos estos apaños, la integral correcta quedaría
>>
>> I = 2pi int_(b-a)^(b+a) y 2rq(a^2 - (y-b)^2) dy
>
> Antonio, no consigo ver cómo se obtiene esta integral. Seguramente es
> porque no consigo hacer el dibujo apropiado.
> Si considero un "tubito" concéntrico al toroide ( que pinto verticalmente,
> pues la circunferencia gira en torno al eje OX ) y le "hago un corte"
> transversal
> al eje OY a distancia "y" del origen veo que la longitud "x" de ese corte
> es
> 2rq(a^2 - (y-b)^2). También es claro que tendré que sumar la superficie
> del
> corte efectuado al "tubito" entre b-a y b+a.
> Pero, ¿ de dónde sale o qué significado tiene el 2*Pi*y que pones en la
> integral ?
> Eso es lo que no soy capaz de ver. Ojalá puedas echarme un cable.


Ya lo he visto.
Tomamos un rectángulo diferencial paralelo al eje OX inscrito en la
circunferencia x^2 + (y-b)^2 = a^2 . Su base es h = 2rq(a^2 - (y-b)^2) y su
altura es dy.
Sea "y" la distancia desde el centro del rectángulo al eje de giro OX.
Sean R y r las distancias mayor y menor, respectivamente, de las bases
de dicho rectángulo al eje de giro OX.
Al girar el rectángulo alrededor de OX, se genera un tubo formado
por dos cilindros de volúmenes pi*R^2*h y pi*r^2*h.
Por lo tanto, el volumen entre ambos es pi*h(R^2-r^2) = pi*h*(R+r)(R-r).
Pero, (R-r)/2 + r = (R + r)/ 2 = y y R-r = dy.

Luego dV = pi*2rq(a^2-(y-b)^2)*2y*dy e integrando entre b-a y b+a
se obtiene el volumen del toroide.

Saludos,



>> Haciendo el cambio de variable
>>
>> y = b + a cos(t)
>>
>> queda
>>
>> I = 4pi a^2 int_0^pi (b+acos(t))sen^2(t) dt = 4pi a^2 b pi/2 =
>>
>> = 2pi^2b a^2
>>
>> Ahora, lo suyo es calcular este volumen empleando el teorema de
>> Pappus-Guldin. El área del círculo es pi a^2. La distancia del CM al eje
>> OX es b, por lo que al girar describe una circunferencia de longitud
>> 2pib. Por tanto el volumen es
>>
>> V = (2pi b)(pi a^2) = 2pi^2 b a^2
>>
>>
>> --
>> Antonio
>>
>
>
>
>

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
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>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:68oj3cF2t9290U1***mid.individual.net...
>> Beltran escribió:
>>> Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
>>> que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
>>> El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
>>> revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
>>> (Suponiendo b>a).
>>> Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
>>> es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
>>> respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?
>>
>> Para empezar, lo que calculas no tiene dimensiones de volumen, sino de
>> superficie, por lo que evidentemente está mal.
>>
>> Segundo, si integras solo para la raíz positiva, no estás hallando el
>> área de una sección de toroide, sino de una superficie que llega hasta el
>> eje. La integral debe tener en cuenta que una sección de toroide se
>> entiende desde la raíz negativa hasta la positiva.
>>
>> Tercero, no tienes en cuenta que la longitud de una circunferencia
>> situada más cerca del eje OX es menor que la de una más alejada y por
>> tanto la más cercana contribuye menos al volumen. Ese Pi debería ser un
>> 2Pi y, con la y dentro de la integral.
>>
>> Cuarto, ese factor y sugiere que es mejor integrar con y como variable,
>> no con x.
>>
>> Con todos estos apaños, la integral correcta quedaría
>>
>> I = 2pi int_(b-a)^(b+a) y 2rq(a^2 - (y-b)^2) dy
>
> Antonio, no consigo ver cómo se obtiene esta integral. Seguramente es
> porque no consigo hacer el dibujo apropiado.
> Si considero un "tubito" concéntrico al toroide ( que pinto verticalmente,
> pues la circunferencia gira en torno al eje OX ) y le "hago un corte"
> transversal
> al eje OY a distancia "y" del origen veo que la longitud "x" de ese corte
> es
> 2rq(a^2 - (y-b)^2). También es claro que tendré que sumar la superficie
> del
> corte efectuado al "tubito" entre b-a y b+a.
> Pero, ¿ de dónde sale o qué significado tiene el 2*Pi*y que pones en la
> integral ?
> Eso es lo que no soy capaz de ver. Ojalá puedas echarme un cable.


Ya lo he visto.
Tomamos un rectángulo diferencial paralelo al eje OX inscrito en la
circunferencia x^2 + (y-b)^2 = a^2 . Su base es h = 2rq(a^2 - (y-b)^2) y su
altura es dy.
Sea "y" la distancia desde el centro del rectángulo al eje de giro OX.
Sean R y r las distancias mayor y menor, respectivamente, de las bases
de dicho rectángulo al eje de giro OX.
Al girar el rectángulo alrededor de OX, se genera un tubo formado
por dos cilindros de volúmenes pi*R^2*h y pi*r^2*h.
Por lo tanto, el volumen entre ambos es pi*h(R^2-r^2) = pi*h*(R+r)(R-r).
Pero, (R-r)/2 + r = (R + r)/ 2 = y y R-r = dy.

Luego dV = pi*2rq(a^2-(y-b)^2)*2y*dy e integrando entre b-a y b+a
se obtiene el volumen del toroide.

Saludos,



>> Haciendo el cambio de variable
>>
>> y = b + a cos(t)
>>
>> queda
>>
>> I = 4pi a^2 int_0^pi (b+acos(t))sen^2(t) dt = 4pi a^2 b pi/2 =
>>
>> = 2pi^2b a^2
>>
>> Ahora, lo suyo es calcular este volumen empleando el teorema de
>> Pappus-Guldin. El área del círculo es pi a^2. La distancia del CM al eje
>> OX es b, por lo que al girar describe una circunferencia de longitud
>> 2pib. Por tanto el volumen es
>>
>> V = (2pi b)(pi a^2) = 2pi^2 b a^2
>>
>>
>> --
>> Antonio
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