Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
(Suponiendo b>a).
Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?
Saludos
Beltrán

Beltran wrote:
> Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
> que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
> El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
> revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
> (Suponiendo b>a).
> Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
> es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
> respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?
> Saludos
> Beltrán

Tendría que ser

V = pi*Int((b + rq(a^2 - x^2))^2, x, - a, a) - pi*Int((b - rq(a^2 - x^2))^2,
x, - a, a)

(Volumen generado por el área limitada por el arco superior de la
circunferencia y el eje OX, menos el generado por el área limitada por el
arco inferior y el eje OX)

= 4b*pi*Int(rq(a^2 - x^2), x, - a, a) = 8b*pi*Int(rq(a^2 - x^2), x, 0, a)

Haciendo x = a*sen(t), dx = a*cos(t)dt, rq(a^2 - x^2) = a*cos(t), x = 0, t =
0, x 0 a, t = pi/2, queda

V = 8a^2*b*pi*Int(cos^2(t), t, 0, pi/2) = 8a^2*b*pi*Int((1 + cos(2t)/2, t,
0, pi/2)

= 4a^2*b*pi*Int(1, t, 0, pi/2) = 2a^2*b*pi^2

O aplicando el Teorema de Pappus-Guldin,

V = (pia^2)*(2pi*b) = 2a^2*b*pi^2


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Beltran wrote:
> Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
> que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
> El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
> revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
> (Suponiendo b>a).
> Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
> es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
> respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?
> Saludos
> Beltrán

Tendría que ser

V = pi*Int((b + rq(a^2 - x^2))^2, x, - a, a) - pi*Int((b - rq(a^2 - x^2))^2,
x, - a, a)

(Volumen generado por el área limitada por el arco superior de la
circunferencia y el eje OX, menos el generado por el área limitada por el
arco inferior y el eje OX)

= 4b*pi*Int(rq(a^2 - x^2), x, - a, a) = 8b*pi*Int(rq(a^2 - x^2), x, 0, a)

Haciendo x = a*sen(t), dx = a*cos(t)dt, rq(a^2 - x^2) = a*cos(t), x = 0, t =
0, x 0 a, t = pi/2, queda

V = 8a^2*b*pi*Int(cos^2(t), t, 0, pi/2) = 8a^2*b*pi*Int((1 + cos(2t)/2, t,
0, pi/2)

= 4a^2*b*pi*Int(1, t, 0, pi/2) = 2a^2*b*pi^2

O aplicando el Teorema de Pappus-Guldin,

V = (pia^2)*(2pi*b) = 2a^2*b*pi^2


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Beltran escribió:
> Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
> que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
> El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
> revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
> (Suponiendo b>a).
> Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
> es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
> respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?

Para empezar, lo que calculas no tiene dimensiones de volumen, sino de
superficie, por lo que evidentemente está mal.

Segundo, si integras solo para la raíz positiva, no estás hallando el
área de una sección de toroide, sino de una superficie que llega hasta
el eje. La integral debe tener en cuenta que una sección de toroide se
entiende desde la raíz negativa hasta la positiva.

Tercero, no tienes en cuenta que la longitud de una circunferencia
situada más cerca del eje OX es menor que la de una más alejada y por
tanto la más cercana contribuye menos al volumen. Ese Pi debería ser un
2Pi y, con la y dentro de la integral.

Cuarto, ese factor y sugiere que es mejor integrar con y como variable,
no con x.

Con todos estos apaños, la integral correcta quedaría

I = 2pi int_(b-a)^(b+a) y 2rq(a^2 - (y-b)^2) dy

Haciendo el cambio de variable

y = b + a cos(t)

queda

I = 4pi a^2 int_0^pi (b+acos(t))sen^2(t) dt = 4pi a^2 b pi/2 =

= 2pi^2b a^2

Ahora, lo suyo es calcular este volumen empleando el teorema de
Pappus-Guldin. El área del círculo es pi a^2. La distancia del CM al eje
OX es b, por lo que al girar describe una circunferencia de longitud
2pib. Por tanto el volumen es

V = (2pi b)(pi a^2) = 2pi^2 b a^2


--
Antonio

Beltran escribió:
> Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
> que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
> El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
> revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
> (Suponiendo b>a).
> Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
> es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
> respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?

Para empezar, lo que calculas no tiene dimensiones de volumen, sino de
superficie, por lo que evidentemente está mal.

Segundo, si integras solo para la raíz positiva, no estás hallando el
área de una sección de toroide, sino de una superficie que llega hasta
el eje. La integral debe tener en cuenta que una sección de toroide se
entiende desde la raíz negativa hasta la positiva.

Tercero, no tienes en cuenta que la longitud de una circunferencia
situada más cerca del eje OX es menor que la de una más alejada y por
tanto la más cercana contribuye menos al volumen. Ese Pi debería ser un
2Pi y, con la y dentro de la integral.

Cuarto, ese factor y sugiere que es mejor integrar con y como variable,
no con x.

Con todos estos apaños, la integral correcta quedaría

I = 2pi int_(b-a)^(b+a) y 2rq(a^2 - (y-b)^2) dy

Haciendo el cambio de variable

y = b + a cos(t)

queda

I = 4pi a^2 int_0^pi (b+acos(t))sen^2(t) dt = 4pi a^2 b pi/2 =

= 2pi^2b a^2

Ahora, lo suyo es calcular este volumen empleando el teorema de
Pappus-Guldin. El área del círculo es pi a^2. La distancia del CM al eje
OX es b, por lo que al girar describe una circunferencia de longitud
2pib. Por tanto el volumen es

V = (2pi b)(pi a^2) = 2pi^2 b a^2


--
Antonio

Como decis lo entiendo y sé que está bien.
¿Y por qué no es correcto calcular el volumen generado por el área
limitada por el arco superior de la
circunferencia y el eje OX, menos el generado por el área limitada por
la recta y=b y el eje OX?.Esto no es el volumen de medio toro?
Saludos
Beltrán

Como decis lo entiendo y sé que está bien.
¿Y por qué no es correcto calcular el volumen generado por el área
limitada por el arco superior de la
circunferencia y el eje OX, menos el generado por el área limitada por
la recta y=b y el eje OX?.Esto no es el volumen de medio toro?
Saludos
Beltrán

Beltran wrote:
> Como decis lo entiendo y sé que está bien.
> ¿Y por qué no es correcto calcular el volumen generado por el área
> limitada por el arco superior de la
> circunferencia y el eje OX, menos el generado por el área limitada por
> la recta y=b y el eje OX?.Esto no es el volumen de medio toro?
> Saludos
> Beltrán

No, ese sería el volumen generado por la mitad superior de la
circunferencia, que será mayor que el generado por la mitad la inferior.

Si piensas en el toro como en un tubo cilíndrico curvado y pegado por las
bases, esta claro que la mitad interior debe contraerse y la exterior debe
expandirse. Curiosamente ambos cosas se equilibran exactamente, según nos
muestra el:

Teorema de Pappus-Guldin lo deja muy claro: área que rota por longitud de la
circunferencia que describe el centro de gravedad.


Para ambos semicírculos, el área que rota es la misma, pero el radio de giro
del centro de gravedad, evidentemente no.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Beltran wrote:
> Como decis lo entiendo y sé que está bien.
> ¿Y por qué no es correcto calcular el volumen generado por el área
> limitada por el arco superior de la
> circunferencia y el eje OX, menos el generado por el área limitada por
> la recta y=b y el eje OX?.Esto no es el volumen de medio toro?
> Saludos
> Beltrán

No, ese sería el volumen generado por la mitad superior de la
circunferencia, que será mayor que el generado por la mitad la inferior.

Si piensas en el toro como en un tubo cilíndrico curvado y pegado por las
bases, esta claro que la mitad interior debe contraerse y la exterior debe
expandirse. Curiosamente ambos cosas se equilibran exactamente, según nos
muestra el:

Teorema de Pappus-Guldin lo deja muy claro: área que rota por longitud de la
circunferencia que describe el centro de gravedad.


Para ambos semicírculos, el área que rota es la misma, pero el radio de giro
del centro de gravedad, evidentemente no.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Esto es increible, muchas gracias.
Beltran