Por definicion un numero perfecto es aquel cuya suma de divisores
(exceptuando el mismo) coincide con el propio numero.Asi 6 = 1 + 2 + 3
y 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 son numeros perfectos.
Si designamos por s(n) la suma de todos los divisores de un numero n
la condicion de que un numero sea perfecto se puede enunciar mediante
s(n) = 2n.
Euclides ya proporciono una condicion suficiente para generar numeros
perfectos **pares**.A saber: cualquier numero de la forma 2(p -
1)^(2^p - 1) con 2^p - 1 primo es perfecto (forzosamente p debe de ser
entonces primo).
Euler remacharia el problema de los numeros perfectos pares
demostrando que cualquier numero perfecto par es de la forma anterior.
La busqueda de numeros perectos pares queda,de esta forma,ligada a la
busqueda de primos de la forma 2^p - 1 ,los archiconocidos primos de
Mersenne (http://www.mersenne.org).
En la actualidad hay 44 primos de este tipo aunque se desconoce si su
numero es infinito.

Ahora bien,¿Que ocurre con los numeros perfectos impares?
La situacion actual es que no se ha encontrado ni uno solo que
demuestre su existencia y quizas uno de los resultados mas notables es
que,de existir,al menos tendria 8 factores primos diferentes.Existen
cotas inferiores tambien.En cualquier caso la existencia de numeros
perfectos impares es uno de los problemas abiertos mas conocido de la
teoria de numeros.

Bueno,pues despues de este rollo vamos a entretenernos un poquito con
ellos.
Partamos de que la funcion s(n) es multiplicativa,es decir : si m.c.d.
(a,b) = 1 entonces s(a·b) = s(a)·s(b)

El proposito de este problema es poner las bases para demostrar un
pequeño resultado acerca de numeros perfectos impares sin mayor
trascendencia pero bonito para mi gusto.

Demostrar:

(i) Si n y s(n) son impares entonces n es cuadrado perfecto.
(ii) Si n | m (m es divisible por n) entonces s(m)/m >= s(n)/n.
(iii) Si n es un numero perfecto impar entonces n tiene al menos tres
factores primos distintos.

Ahora el problema que lo enuncio aqui y abro un hilo especifico para
el:

Si n es un numero tal que s(n)/n = 5/3 entonces 5n es un numero
perfecto impar.

Saludos.