Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
probabilidad de que sea impar?

¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
n < 2^N?

--
Antonio

On 13 mayo, 15:39, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
> coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
> probabilidad de que sea impar?
>
> ¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
> los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
> n < 2^N?
>
> --
> *** ***Antonio

y el m cómo se elige?

jhn

On 13 mayo, 15:39, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
> coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
> probabilidad de que sea impar?
>
> ¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
> los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
> n < 2^N?
>
> --
> *** ***Antonio

y el m cómo se elige?

jhn

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 13 mayo, 15:39, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
>> coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
>> probabilidad de que sea impar?
>>
>> ¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
>> los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
>> n < 2^N?
>>
>> --
>> Antonio
>
> y el m cómo se elige?
>

En el primer caso, el par (n,m) se elige de forma equiporbable entre
todos los posibles pares (n,m).

En el segundo, dado un n, m se elige de forma equiprobable entre 0 y n.

--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 13 mayo, 15:39, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
>> coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
>> probabilidad de que sea impar?
>>
>> ¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
>> los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
>> n < 2^N?
>>
>> --
>> Antonio
>
> y el m cómo se elige?
>

En el primer caso, el par (n,m) se elige de forma equiporbable entre
todos los posibles pares (n,m).

En el segundo, dado un n, m se elige de forma equiprobable entre 0 y n.

--

Antonio

On 14 mayo, 12:41, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> jhni...***gmail.com escribió:
>
> > On 13 mayo, 15:39, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> >> Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
> >> coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
> >> probabilidad de que sea impar?
>
> >> ¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
> >> los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
> >> n < 2^N?
>
> >> --
> >> *** ***Antonio
>
> > y el m cómo se elige?
>
> En el primer caso, el par (n,m) se elige de forma equiporbable entre
> todos los posibles pares (n,m).
>
> En el segundo, dado un n, m se elige de forma equiprobable entre 0 y n.
>
> --
>
> *** ***Antonio


Tengo muy poco tiempo estos días, pero sin pensarlo mucho,
si n>=0 la cantidad de C(n,m) impares (m=0,...,n) es 2^u,
donde u es la cantidad de unos en la expansión binaria de n.
Entonces la cantidad de C(n,m) impares (0<=n<2^N, 0<=m<=n)
es suma(C(N,k)2^k, k=0..N) = 3^N, mientras que el total
de C(n,m)'s es 1+2+3+...+2^N = (2^N + 1)2^(N-1)
y la probabilidad de que C(n,m) sea impar es

3^N/[(2^N + 1)2^(N-1)]

Para el segundo caso no tengo tiempo ahora, espero que
alguien lo complete.

Hasta luego,

José Nieto

On 14 mayo, 12:41, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> jhni...***gmail.com escribió:
>
> > On 13 mayo, 15:39, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> >> Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
> >> coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
> >> probabilidad de que sea impar?
>
> >> ¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
> >> los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
> >> n < 2^N?
>
> >> --
> >> *** ***Antonio
>
> > y el m cómo se elige?
>
> En el primer caso, el par (n,m) se elige de forma equiporbable entre
> todos los posibles pares (n,m).
>
> En el segundo, dado un n, m se elige de forma equiprobable entre 0 y n.
>
> --
>
> *** ***Antonio


Tengo muy poco tiempo estos días, pero sin pensarlo mucho,
si n>=0 la cantidad de C(n,m) impares (m=0,...,n) es 2^u,
donde u es la cantidad de unos en la expansión binaria de n.
Entonces la cantidad de C(n,m) impares (0<=n<2^N, 0<=m<=n)
es suma(C(N,k)2^k, k=0..N) = 3^N, mientras que el total
de C(n,m)'s es 1+2+3+...+2^N = (2^N + 1)2^(N-1)
y la probabilidad de que C(n,m) sea impar es

3^N/[(2^N + 1)2^(N-1)]

Para el segundo caso no tengo tiempo ahora, espero que
alguien lo complete.

Hasta luego,

José Nieto

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 14 mayo, 12:41, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> jhni...***gmail.com escribió:
>>
>>> On 13 mayo, 15:39, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>>>> Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
>>>> coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
>>>> probabilidad de que sea impar?
>>>> ¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
>>>> los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
>>>> n < 2^N?
>>>> --
>>>> Antonio
>>> y el m cómo se elige?
>> En el primer caso, el par (n,m) se elige de forma equiporbable entre
>> todos los posibles pares (n,m).
>>
>> En el segundo, dado un n, m se elige de forma equiprobable entre 0 y n.
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
>
> Tengo muy poco tiempo estos días, pero sin pensarlo mucho,
> si n>=0 la cantidad de C(n,m) impares (m=0,...,n) es 2^u,
> donde u es la cantidad de unos en la expansión binaria de n.
> Entonces la cantidad de C(n,m) impares (0<=n<2^N, 0<=m<=n)
> es suma(C(N,k)2^k, k=0..N) = 3^N

¿Cómo llegas a este resultado? Yo llego al 3^N utilizando la
autosimilaridad del triángulo de Tartaglia módulo 2 (análogo al
triángulo de Serpinski), pero no veo tu camino.


, mientras que el total
> de C(n,m)'s es 1+2+3+...+2^N = (2^N + 1)2^(N-1)
> y la probabilidad de que C(n,m) sea impar es
>
> 3^N/[(2^N + 1)2^(N-1)]
>
> Para el segundo caso no tengo tiempo ahora, espero que
> alguien lo complete.
>

Yo también. :-)

--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 14 mayo, 12:41, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> jhni...***gmail.com escribió:
>>
>>> On 13 mayo, 15:39, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>>>> Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
>>>> coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
>>>> probabilidad de que sea impar?
>>>> ¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
>>>> los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
>>>> n < 2^N?
>>>> --
>>>> Antonio
>>> y el m cómo se elige?
>> En el primer caso, el par (n,m) se elige de forma equiporbable entre
>> todos los posibles pares (n,m).
>>
>> En el segundo, dado un n, m se elige de forma equiprobable entre 0 y n.
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
>
> Tengo muy poco tiempo estos días, pero sin pensarlo mucho,
> si n>=0 la cantidad de C(n,m) impares (m=0,...,n) es 2^u,
> donde u es la cantidad de unos en la expansión binaria de n.
> Entonces la cantidad de C(n,m) impares (0<=n<2^N, 0<=m<=n)
> es suma(C(N,k)2^k, k=0..N) = 3^N

¿Cómo llegas a este resultado? Yo llego al 3^N utilizando la
autosimilaridad del triángulo de Tartaglia módulo 2 (análogo al
triángulo de Serpinski), pero no veo tu camino.


, mientras que el total
> de C(n,m)'s es 1+2+3+...+2^N = (2^N + 1)2^(N-1)
> y la probabilidad de que C(n,m) sea impar es
>
> 3^N/[(2^N + 1)2^(N-1)]
>
> Para el segundo caso no tengo tiempo ahora, espero que
> alguien lo complete.
>

Yo también. :-)

--

Antonio

On 15 mayo, 10:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> jhni...***gmail.com escribió:
>
>
>
>
>
> > On 14 mayo, 12:41, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> >> jhni...***gmail.com escribió:
>
> >>> On 13 mayo, 15:39, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> >>>> Se elige un número combinatorio C(n,m) al azar entre todos los
> >>>> coeficientes con n < 2^N, con N grande. ¿Cuánto vale aproximadamente la
> >>>> probabilidad de que sea impar?
> >>>> ¿Será la misma que si se elige un número combinatorio C(n,m) entre todos
> >>>> los que tienen el mismo n, con n elegido al azar entre todos los números
> >>>> n < 2^N?
> >>>> --
> >>>> *** ***Antonio
> >>> y el m cómo se elige?
> >> En el primer caso, el par (n,m) se elige de forma equiporbable entre
> >> todos los posibles pares (n,m).
>
> >> En el segundo, dado un n, m se elige de forma equiprobable entre 0 y n.
>
> >> --
>
> >> *** ***Antonio
>
> > Tengo muy poco tiempo estos días, pero sin pensarlo mucho,
> > si n>=0 la cantidad de C(n,m) impares (m=0,...,n) es 2^u,
> > donde u es la cantidad de unos en la expansión binaria de n.
> > Entonces la cantidad de C(n,m) impares (0<=n<2^N, 0<=m<=n)
> > es suma(C(N,k)2^k, k=0..N) = 3^N
>
> ¿Cómo llegas a este resultado? Yo llego al 3^N utilizando la
> autosimilaridad del triángulo de Tartaglia módulo 2 (análogo al
> triángulo de Serpinski), pero no veo tu camino.
>
> , mientras que el total
>
> > de C(n,m)'s es 1+2+3+...+2^N = (2^N + 1)2^(N-1)
> > y la probabilidad de que C(n,m) sea impar es
>
> > 3^N/[(2^N + 1)2^(N-1)]
>
> > Para el segundo caso no tengo tiempo ahora, espero que
> > alguien lo complete.
>
> Yo también. :-)
>
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Si consideras los números en base 2 de 0 a 2^N-1, es decir
0, 1, 10, 11, 100, 101,..., 11...1 (N unos)
se observa que hay C(N,k) de ellos que tienen exactamente
k unos, y cada uno de ellos (digamos n) aporta 2^k coeficientes
binomiales C(n,m) impares, de ahí que el total de esos
coeficientes binomiales impares sea

suma(C(N,k)2^k, k=0..N) = 3^N.

Para el segundo caso habría que calcular

suma((2^u(n))/(n+1), n=0..N)/2^N

o al menos una aproximación asintótica para N grande,
cosa que ahora no se me ocurre cómo hacer.

Pero es claro que los dos casos son diferentes, por
ejemplo para N=2 la probabilidad en el primer caso
es 9/10, mientras que en el segundo caso es 11/12.

Saludos,

jhn