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14-05-2008, 10:41:41
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 Re: Trigo Polya León-Sotelo wrote: > Determine el valor de: log_2 [sen(6°) sen(42°) sen(45°) sen(66°) > sen(78°)]. > > (Polya Mathematics Competition, 1994) Sea M = sen(6°)sen(42°)sen(66°)sen(78°) = sen(6º)cos(12º)cos(24º)cos(48º) = (1/4)(sen(30º) - sen(18º))(cos(60º) + cos(36º)) = (1/4)(1/2 - sen(18º))(1/2 + cos(36º)) = (1/4)(1/2 - cos(72º))(1/2 + cos(36º)) = (1/4)(1/2 - (2cos^2(36º) - 1))(1/2 + cos(36º)) = (1/4)(3/2 - 2cos^2(36º))(1/2 + cos(36º)) Teniendo en cuenta, o deduciendo a partir del pentegrama místico, que cos(36º) = fi/2 = (1 + rq(5))/4, queda M = 1/16 = 2^(-4) Como sen(45 º) = 2^(-1/2), nos queda que el vlor pedido es log_2(2^(-9/2)) = -9/2 -- Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com  |
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14-05-2008, 10:41:41
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| Re: Trigo Polya León-Sotelo wrote: > Determine el valor de: log_2 [sen(6°) sen(42°) sen(45°) sen(66°) > sen(78°)]. > > (Polya Mathematics Competition, 1994) Sea M = sen(6°)sen(42°)sen(66°)sen(78°) = sen(6º)cos(12º)cos(24º)cos(48º) = (1/4)(sen(30º) - sen(18º))(cos(60º) + cos(36º)) = (1/4)(1/2 - sen(18º))(1/2 + cos(36º)) = (1/4)(1/2 - cos(72º))(1/2 + cos(36º)) = (1/4)(1/2 - (2cos^2(36º) - 1))(1/2 + cos(36º)) = (1/4)(3/2 - 2cos^2(36º))(1/2 + cos(36º)) Teniendo en cuenta, o deduciendo a partir del pentegrama místico, que cos(36º) = fi/2 = (1 + rq(5))/4, queda M = 1/16 = 2^(-4) Como sen(45 º) = 2^(-1/2), nos queda que el vlor pedido es log_2(2^(-9/2)) = -9/2 -- Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com |
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14-05-2008, 14:31:03
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| Re: Trigo Polya León-Sotelo escribió: > Determine el valor de: log_2 [sen(6°) sen(42°) sen(45°) sen(66°) > sen(78°)]. > Por seguir con el mismo método... Sea w = exp(i pi/30), tal que w^30 = -1 dejando aparte el sen(45º) = 1/rq(2), se trata de calcular sen(6º)sen(42º)sen(66º)sen(78º) = = (1/16)(w - 1/w)(w^7 - 1/w^7)(w^11 - 1/w^11)(w^13 - 1/w^13) = = (1/16)(w + w^29)(w^7 + w^23)(w^11 + w^19)(w^13 + w^17) = = (1/16)w^60(w^-14 + w^14)(w^-8 + w^8)(w^-4 + w^4)(w^-2 + w^2) = =(1/16)(w^-28 + w^-24 + w^-20 + w^-16 + w^-12 + w^-8 + w^-4 + 2 + w^4 + w^8 + w^12 + w^16 + w^20 + w^24 + w^28) Descomponiendo el 2 en 1+1 obtenemos una suma geométrica S = (1/16)(1 + (w^-28 + w^32)/(1+w^2)) = = (1/16)(1 + (1 + w^60)/(w^28(1+w^2)) = 1/16 y por tanto el logaritmo buscado es log_2(1/16 1/rq(2)) = -9/2 -- Antonio |
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14-05-2008, 14:31:03
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| Re: Trigo Polya León-Sotelo escribió: > Determine el valor de: log_2 [sen(6°) sen(42°) sen(45°) sen(66°) > sen(78°)]. > Por seguir con el mismo método... Sea w = exp(i pi/30), tal que w^30 = -1 dejando aparte el sen(45º) = 1/rq(2), se trata de calcular sen(6º)sen(42º)sen(66º)sen(78º) = = (1/16)(w - 1/w)(w^7 - 1/w^7)(w^11 - 1/w^11)(w^13 - 1/w^13) = = (1/16)(w + w^29)(w^7 + w^23)(w^11 + w^19)(w^13 + w^17) = = (1/16)w^60(w^-14 + w^14)(w^-8 + w^8)(w^-4 + w^4)(w^-2 + w^2) = =(1/16)(w^-28 + w^-24 + w^-20 + w^-16 + w^-12 + w^-8 + w^-4 + 2 + w^4 + w^8 + w^12 + w^16 + w^20 + w^24 + w^28) Descomponiendo el 2 en 1+1 obtenemos una suma geométrica S = (1/16)(1 + (w^-28 + w^32)/(1+w^2)) = = (1/16)(1 + (1 + w^60)/(w^28(1+w^2)) = 1/16 y por tanto el logaritmo buscado es log_2(1/16 1/rq(2)) = -9/2 -- Antonio |
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16-05-2008, 01:33:44
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| Re: Trigo Polya "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje news:690bd8F2unkqrU1***mid.individual.net... > León-Sotelo escribió: >> Determine el valor de: log_2 [sen(6°) sen(42°) sen(45°) sen(66°) >> sen(78°)]. >> > > Por seguir con el mismo método... > > Sea w = exp(i pi/30), tal que > > w^30 = -1 > > dejando aparte el sen(45º) = 1/rq(2), se trata de calcular > > sen(6º)sen(42º)sen(66º)sen(78º) = > > = (1/16)(w - 1/w)(w^7 - 1/w^7)(w^11 - 1/w^11)(w^13 - 1/w^13) = > > = (1/16)(w + w^29)(w^7 + w^23)(w^11 + w^19)(w^13 + w^17) = > > = (1/16)w^60(w^-14 + w^14)(w^-8 + w^8)(w^-4 + w^4)(w^-2 + w^2) = Una pregunta, Antonio. Para dar este paso, ¿ has desarrollado el producto o ves de algún modo que con esos factores ha de resultar la serie geométrica de abajo ? > =(1/16)(w^-28 + w^-24 + w^-20 + w^-16 + w^-12 + w^-8 + w^-4 + 2 > > + w^4 + w^8 + w^12 + w^16 + w^20 + w^24 + w^28) > > Descomponiendo el 2 en 1+1 obtenemos una suma geométrica > > S = (1/16)(1 + (w^-28 + w^32)/(1+w^2)) = > > = (1/16)(1 + (1 + w^60)/(w^28(1+w^2)) = 1/16 > > y por tanto el logaritmo buscado es > > log_2(1/16 1/rq(2)) = -9/2 > > -- > > Antonio > |
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| Re: Trigo Polya "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje news:690bd8F2unkqrU1***mid.individual.net... > León-Sotelo escribió: >> Determine el valor de: log_2 [sen(6°) sen(42°) sen(45°) sen(66°) >> sen(78°)]. >> > > Por seguir con el mismo método... > > Sea w = exp(i pi/30), tal que > > w^30 = -1 > > dejando aparte el sen(45º) = 1/rq(2), se trata de calcular > > sen(6º)sen(42º)sen(66º)sen(78º) = > > = (1/16)(w - 1/w)(w^7 - 1/w^7)(w^11 - 1/w^11)(w^13 - 1/w^13) = > > = (1/16)(w + w^29)(w^7 + w^23)(w^11 + w^19)(w^13 + w^17) = > > = (1/16)w^60(w^-14 + w^14)(w^-8 + w^8)(w^-4 + w^4)(w^-2 + w^2) = Una pregunta, Antonio. Para dar este paso, ¿ has desarrollado el producto o ves de algún modo que con esos factores ha de resultar la serie geométrica de abajo ? > =(1/16)(w^-28 + w^-24 + w^-20 + w^-16 + w^-12 + w^-8 + w^-4 + 2 > > + w^4 + w^8 + w^12 + w^16 + w^20 + w^24 + w^28) > > Descomponiendo el 2 en 1+1 obtenemos una suma geométrica > > S = (1/16)(1 + (w^-28 + w^32)/(1+w^2)) = > > = (1/16)(1 + (1 + w^60)/(w^28(1+w^2)) = 1/16 > > y por tanto el logaritmo buscado es > > log_2(1/16 1/rq(2)) = -9/2 > > -- > > Antonio > |
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| Re: Trigo Polya Luis escribió: > "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje > news:690bd8F2unkqrU1***mid.individual.net... >> León-Sotelo escribió: >>> Determine el valor de: log_2 [sen(6°) sen(42°) sen(45°) sen(66°) >>> sen(78°)]. >>> >> Por seguir con el mismo método... >> >> Sea w = exp(i pi/30), tal que >> >> w^30 = -1 >> >> dejando aparte el sen(45º) = 1/rq(2), se trata de calcular >> >> sen(6º)sen(42º)sen(66º)sen(78º) = >> >> = (1/16)(w - 1/w)(w^7 - 1/w^7)(w^11 - 1/w^11)(w^13 - 1/w^13) = >> >> = (1/16)(w + w^29)(w^7 + w^23)(w^11 + w^19)(w^13 + w^17) = >> >> = (1/16)w^60(w^-14 + w^14)(w^-8 + w^8)(w^-4 + w^4)(w^-2 + w^2) = > > Una pregunta, Antonio. Para dar este paso, ¿ has desarrollado el producto o > ves de algún modo que con esos factores ha de resultar la serie geométrica > de abajo ? > He desarrollado el producto. Para ser exactos, he escrito la tablilla -7 7 -4 4 -2 2 -1 1 y he calculado las posibles sumas de un elemento de cada fila. -- Antonio |
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| Re: Trigo Polya Luis escribió: > "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje > news:690bd8F2unkqrU1***mid.individual.net... >> León-Sotelo escribió: >>> Determine el valor de: log_2 [sen(6°) sen(42°) sen(45°) sen(66°) >>> sen(78°)]. >>> >> Por seguir con el mismo método... >> >> Sea w = exp(i pi/30), tal que >> >> w^30 = -1 >> >> dejando aparte el sen(45º) = 1/rq(2), se trata de calcular >> >> sen(6º)sen(42º)sen(66º)sen(78º) = >> >> = (1/16)(w - 1/w)(w^7 - 1/w^7)(w^11 - 1/w^11)(w^13 - 1/w^13) = >> >> = (1/16)(w + w^29)(w^7 + w^23)(w^11 + w^19)(w^13 + w^17) = >> >> = (1/16)w^60(w^-14 + w^14)(w^-8 + w^8)(w^-4 + w^4)(w^-2 + w^2) = > > Una pregunta, Antonio. Para dar este paso, ¿ has desarrollado el producto o > ves de algún modo que con esos factores ha de resultar la serie geométrica > de abajo ? > He desarrollado el producto. Para ser exactos, he escrito la tablilla -7 7 -4 4 -2 2 -1 1 y he calculado las posibles sumas de un elemento de cada fila. -- Antonio |
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