Sea el recinto formado por un cuadrado de lado 2, centrado en el origen
y con sus lados paralelos a los ejes, más sendos semicírculos de radio 1
adosados a cada uno de los lados del cuadrado.

Hallar la intgeral, en el *exterior* de la figura anterior:

I = int dx dy/(x^2+y^2)^2



--

Antonio

Antonio González escribió:
> Sea el recinto formado por un cuadrado de lado 2, centrado en el origen
> y con sus lados paralelos a los ejes, más sendos semicírculos de radio 1
> adosados a cada uno de los lados del cuadrado.
>
> Hallar la intgeral, en el *exterior* de la figura anterior:
>
> I = int dx dy/(x^2+y^2)^2
>
>
>

Pista: Inversión.

--

Antonio

Antonio González escribió:
> Sea el recinto formado por un cuadrado de lado 2, centrado en el origen
> y con sus lados paralelos a los ejes, más sendos semicírculos de radio 1
> adosados a cada uno de los lados del cuadrado.
>
> Hallar la intgeral, en el *exterior* de la figura anterior:
>
> I = int dx dy/(x^2+y^2)^2
>
>
>

Pista: Inversión.

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Antonio

Antonio González wrote:
> Antonio González escribió:
>> Sea el recinto formado por un cuadrado de lado 2, centrado en el
>> origen y con sus lados paralelos a los ejes, más sendos semicírculos
>> de radio 1 adosados a cada uno de los lados del cuadrado.
>>
>> Hallar la intgeral, en el *exterior* de la figura anterior:
>>
>> I = int dx dy/(x^2+y^2)^2
>>
>>
>>
>
> Pista: Inversión.

¡No había caido ...! ";^)

La inversión de centro O y potencia 4 transforma el recinto de integración
en el interior del cuadrado de lado 4 centrado en O.

Como ya sabemos, la transformación es

x = 4u/(u^2 + v^2), y = 4v/(u^2 + v^2) ===>

1/(x^2 + y^2)^2 = (u^2 + v^2)^2/256

La matriz Jacobiana es

M = [4(v^2 - u^2)/(u^2 + v^2)^2, - 8uv/(u^2 + v^2)^2; - 8uv/(u^2 + v^2)^2,
4(u^2 - v^2)/(u^2 + v^2)^2]

Y su determinante,

J = |M| = - 16/(u^2 + v^2)^2

Por tanto, la integreal pedida es equivalente a la terrible

I = Int(Int( ((u^2 + v^2)^2/256)(16/(u^2 + v^2)^2), u, -2, 2), v, -2, 2)

= Int(Int( (1/16), u, -2, 2), v, -2, 2) = 1


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Antonio González escribió:
>> Sea el recinto formado por un cuadrado de lado 2, centrado en el
>> origen y con sus lados paralelos a los ejes, más sendos semicírculos
>> de radio 1 adosados a cada uno de los lados del cuadrado.
>>
>> Hallar la intgeral, en el *exterior* de la figura anterior:
>>
>> I = int dx dy/(x^2+y^2)^2
>>
>>
>>
>
> Pista: Inversión.

¡No había caido ...! ";^)

La inversión de centro O y potencia 4 transforma el recinto de integración
en el interior del cuadrado de lado 4 centrado en O.

Como ya sabemos, la transformación es

x = 4u/(u^2 + v^2), y = 4v/(u^2 + v^2) ===>

1/(x^2 + y^2)^2 = (u^2 + v^2)^2/256

La matriz Jacobiana es

M = [4(v^2 - u^2)/(u^2 + v^2)^2, - 8uv/(u^2 + v^2)^2; - 8uv/(u^2 + v^2)^2,
4(u^2 - v^2)/(u^2 + v^2)^2]

Y su determinante,

J = |M| = - 16/(u^2 + v^2)^2

Por tanto, la integreal pedida es equivalente a la terrible

I = Int(Int( ((u^2 + v^2)^2/256)(16/(u^2 + v^2)^2), u, -2, 2), v, -2, 2)

= Int(Int( (1/16), u, -2, 2), v, -2, 2) = 1


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Antonio González escribió:
>>> Sea el recinto formado por un cuadrado de lado 2, centrado en el
>>> origen y con sus lados paralelos a los ejes, más sendos semicírculos
>>> de radio 1 adosados a cada uno de los lados del cuadrado.
>>>
>>> Hallar la intgeral, en el *exterior* de la figura anterior:
>>>
>>> I = int dx dy/(x^2+y^2)^2
>>>
>>>
>>>
>> Pista: Inversión.
>
> ¡No había caido ...! ";^)
>
> La inversión de centro O y potencia 4 transforma el recinto de integración
> en el interior del cuadrado de lado 4 centrado en O.
>
> Como ya sabemos, la transformación es
>
> x = 4u/(u^2 + v^2), y = 4v/(u^2 + v^2) ===>
>
> 1/(x^2 + y^2)^2 = (u^2 + v^2)^2/256
>
> La matriz Jacobiana es
>
> M = [4(v^2 - u^2)/(u^2 + v^2)^2, - 8uv/(u^2 + v^2)^2; - 8uv/(u^2 + v^2)^2,
> 4(u^2 - v^2)/(u^2 + v^2)^2]
>
> Y su determinante,
>
> J = |M| = - 16/(u^2 + v^2)^2
>
> Por tanto, la integreal pedida es equivalente a la terrible
>
> I = Int(Int( ((u^2 + v^2)^2/256)(16/(u^2 + v^2)^2), u, -2, 2), v, -2, 2)
>
> = Int(Int( (1/16), u, -2, 2), v, -2, 2) = 1
>
>

Se puede hacer un poco más corto pasando por polares. La integral
propuesta equivale a

I = int_D r dr df/r^4 = int_D dr/r^3 df

Si hacemos la inversión en torno al origen

r' = K/r f' = f

dr' = -K/r^2 dr df' = df

queda

I = (1/K^2) int_D' r' dr' df' =

= (1/K^2) int_D' dx' dy'

El dominio con la inversión se convierte en el interior de un cuadrado
de arista

a' = 2(K/2) = K

(invirtiendo uno de los extremos de uno de los arcos semicirculares)

por lo que da

I = (1/K^2) K^2 = 1



--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Antonio González escribió:
>>> Sea el recinto formado por un cuadrado de lado 2, centrado en el
>>> origen y con sus lados paralelos a los ejes, más sendos semicírculos
>>> de radio 1 adosados a cada uno de los lados del cuadrado.
>>>
>>> Hallar la intgeral, en el *exterior* de la figura anterior:
>>>
>>> I = int dx dy/(x^2+y^2)^2
>>>
>>>
>>>
>> Pista: Inversión.
>
> ¡No había caido ...! ";^)
>
> La inversión de centro O y potencia 4 transforma el recinto de integración
> en el interior del cuadrado de lado 4 centrado en O.
>
> Como ya sabemos, la transformación es
>
> x = 4u/(u^2 + v^2), y = 4v/(u^2 + v^2) ===>
>
> 1/(x^2 + y^2)^2 = (u^2 + v^2)^2/256
>
> La matriz Jacobiana es
>
> M = [4(v^2 - u^2)/(u^2 + v^2)^2, - 8uv/(u^2 + v^2)^2; - 8uv/(u^2 + v^2)^2,
> 4(u^2 - v^2)/(u^2 + v^2)^2]
>
> Y su determinante,
>
> J = |M| = - 16/(u^2 + v^2)^2
>
> Por tanto, la integreal pedida es equivalente a la terrible
>
> I = Int(Int( ((u^2 + v^2)^2/256)(16/(u^2 + v^2)^2), u, -2, 2), v, -2, 2)
>
> = Int(Int( (1/16), u, -2, 2), v, -2, 2) = 1
>
>

Se puede hacer un poco más corto pasando por polares. La integral
propuesta equivale a

I = int_D r dr df/r^4 = int_D dr/r^3 df

Si hacemos la inversión en torno al origen

r' = K/r f' = f

dr' = -K/r^2 dr df' = df

queda

I = (1/K^2) int_D' r' dr' df' =

= (1/K^2) int_D' dx' dy'

El dominio con la inversión se convierte en el interior de un cuadrado
de arista

a' = 2(K/2) = K

(invirtiendo uno de los extremos de uno de los arcos semicirculares)

por lo que da

I = (1/K^2) K^2 = 1



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Antonio