1) En una mesa hay 100 fichas.Por turnos dos jugadores retiran 5, 6,
7, 8, 9 o 10 fichas, a su elección. El jugador que retira la/s última/
s ficha gana. Encuentre la estrategia del primer jugador para ganar
siempre.

2) En un grupo de n personas (n>=2) cada una de ellas elige a otra al
azar y, al grito de ahora! le tira una tarta. Supongamos que todas las
tartas tienen la misma probabilidad p de alcanzar su objetivo, y si
una tarta no logra su objetivo ya no se tira mas.¿Cuál es el número
esperado de personas que no son alcanzadas por alguna tarta?

Saludos
León-Sotelo

Entre otras cosas, León-Sotelo tuvo a bien escribir:

> 1) En una mesa hay 100 fichas.Por turnos dos jugadores retiran 5, 6,
> 7, 8, 9 o 10 fichas, a su elección. El jugador que retira la/s última/
> s ficha gana. Encuentre la estrategia del primer jugador para ganar
> siempre.

- A quita 10.

- A partir de ahí, si B quita n, A quita 15-n.

- Tras 6 turnos de A y 5 de B, han quitado 10+5*15=85, quedan 15.

- Le toca a B. No puede quitar las 15, pero quite las que quite, A puede
quitar el resto.

Si se cambia el juego para que pierda el que se ve forzado a quitar la
última ficha. La estrategia es igual, pero A empieza quitando 5.

.... si no me he equivocado.

--
Ignacio __ Fernández Galván
/ /\
Linux user / / \ PGP Pub Key
#289967 / / /\ \ 0x01A95F99
/ / /\ \ \
http://djelibeibi.unex.es
/________\ \ \
jellby \___________\/ yahoo.com

Entre otras cosas, León-Sotelo tuvo a bien escribir:

> 1) En una mesa hay 100 fichas.Por turnos dos jugadores retiran 5, 6,
> 7, 8, 9 o 10 fichas, a su elección. El jugador que retira la/s última/
> s ficha gana. Encuentre la estrategia del primer jugador para ganar
> siempre.

- A quita 10.

- A partir de ahí, si B quita n, A quita 15-n.

- Tras 6 turnos de A y 5 de B, han quitado 10+5*15=85, quedan 15.

- Le toca a B. No puede quitar las 15, pero quite las que quite, A puede
quitar el resto.

Si se cambia el juego para que pierda el que se ve forzado a quitar la
última ficha. La estrategia es igual, pero A empieza quitando 5.

.... si no me he equivocado.

--
Ignacio __ Fernández Galván
/ /\
Linux user / / \ PGP Pub Key
#289967 / / /\ \ 0x01A95F99
/ / /\ \ \
http://djelibeibi.unex.es
/________\ \ \
jellby \___________\/ yahoo.com

Entre otras cosas, León-Sotelo tuvo a bien escribir:

> 1) En una mesa hay 100 fichas.Por turnos dos jugadores retiran 5, 6,
> 7, 8, 9 o 10 fichas, a su elección. El jugador que retira la/s última/
> s ficha gana. Encuentre la estrategia del primer jugador para ganar
> siempre.

- A quita 10.

- A partir de ahí, si B quita n, A quita 15-n.

- Tras 6 turnos de A y 5 de B, han quitado 10+5*15=85, quedan 15.

- Le toca a B. No puede quitar las 15, pero quite las que quite, A puede
quitar el resto.

Si se cambia el juego para que pierda el que se ve forzado a quitar la
última ficha. La estrategia es igual, pero A empieza quitando 5.

.... si no me he equivocado.

--
Ignacio __ Fernández Galván
/ /\
Linux user / / \ PGP Pub Key
#289967 / / /\ \ 0x01A95F99
/ / /\ \ \
http://djelibeibi.unex.es
/________\ \ \
jellby \___________\/ yahoo.com

Entre otras cosas, León-Sotelo tuvo a bien escribir:

> 1) En una mesa hay 100 fichas.Por turnos dos jugadores retiran 5, 6,
> 7, 8, 9 o 10 fichas, a su elección. El jugador que retira la/s última/
> s ficha gana. Encuentre la estrategia del primer jugador para ganar
> siempre.

- A quita 10.

- A partir de ahí, si B quita n, A quita 15-n.

- Tras 6 turnos de A y 5 de B, han quitado 10+5*15=85, quedan 15.

- Le toca a B. No puede quitar las 15, pero quite las que quite, A puede
quitar el resto.

Si se cambia el juego para que pierda el que se ve forzado a quitar la
última ficha. La estrategia es igual, pero A empieza quitando 5.

.... si no me he equivocado.

--
Ignacio __ Fernández Galván
/ /\
Linux user / / \ PGP Pub Key
#289967 / / /\ \ 0x01A95F99
/ / /\ \ \
http://djelibeibi.unex.es
/________\ \ \
jellby \___________\/ yahoo.com

León-Sotelo <francisco.lsotelo***gmail.com> writes:

[...]
> 2) En un grupo de n personas (n>=2) cada una de ellas elige a otra al
> azar y, al grito de ahora! le tira una tarta. Supongamos que todas las
> tartas tienen la misma probabilidad p de alcanzar su objetivo, y si
> una tarta no logra su objetivo ya no se tira mas.¿Cuál es el número
> esperado de personas que no son alcanzadas por alguna tarta?
>
> Saludos
> León-Sotelo

Parece que es un problema bastante difícil de analizar, pero la respuesta, si
no me equivoco, es sencilla y muy linda.

El valor esperado es (por fuerza bruta)

(-1)^(n-1) n/(n-1)^(n-1) (p - (n-1))^(n-1).

A ver quien nos presenta una prueba. Sigue el codigo fuente para MAPLE.

sel := proc(n)
local s, k, p;
s := add(x[k], k = 1 .. n);
p := 1;
for k to n do p := p*(s - x[k]) end do;
p/(n - 1)^n
end proc

prob := proc(n)
local sb, k;
sb := {};
for k to n do sb := sb union {x[k] = 1 - p + p*y[k]} end do;
subs(sb, sel(n))
end proc

check := proc(n)
local sb, k;
sb := {};
for k to n do sb := sb union {y[k] = 1} end do;
subs(sb, prob(n))
end proc

xpt := proc(n)
local t, sb, k, y, v, res;
option remember;
res := 0;
for t in expand(prob(n)) do
y := indets(t) minus {p};
sb := {};
for v in y do sb := sb union {v = 1} end do;
res := res + subs(sb, t)*(n - nops(y))
end do;
factor(res)
end proc

2 3 4
3 (p - 2) 4 (p - 3) 5 (p - 4)
[2, 2 - 2 p], [3, ----------], [4, - ----------], [5, ----------],
4 27 256

5 6 7
6 (p - 5) 7 (p - 6) 8 (p - 7)
[6, - ----------], [7, ----------], [8, - ----------],
3125 46656 823543

8 9
9 (p - 8) 10 (p - 9)
[9, ----------], [10, - -----------]
16777216 387420489

Un saludo.

--
+-------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, markoriedelde***yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+-------------------------------------------------------------+

León-Sotelo <francisco.lsotelo***gmail.com> writes:

[...]
> 2) En un grupo de n personas (n>=2) cada una de ellas elige a otra al
> azar y, al grito de ahora! le tira una tarta. Supongamos que todas las
> tartas tienen la misma probabilidad p de alcanzar su objetivo, y si
> una tarta no logra su objetivo ya no se tira mas.¿Cuál es el número
> esperado de personas que no son alcanzadas por alguna tarta?
>
> Saludos
> León-Sotelo

Parece que es un problema bastante difícil de analizar, pero la respuesta, si
no me equivoco, es sencilla y muy linda.

El valor esperado es (por fuerza bruta)

(-1)^(n-1) n/(n-1)^(n-1) (p - (n-1))^(n-1).

A ver quien nos presenta una prueba. Sigue el codigo fuente para MAPLE.

sel := proc(n)
local s, k, p;
s := add(x[k], k = 1 .. n);
p := 1;
for k to n do p := p*(s - x[k]) end do;
p/(n - 1)^n
end proc

prob := proc(n)
local sb, k;
sb := {};
for k to n do sb := sb union {x[k] = 1 - p + p*y[k]} end do;
subs(sb, sel(n))
end proc

check := proc(n)
local sb, k;
sb := {};
for k to n do sb := sb union {y[k] = 1} end do;
subs(sb, prob(n))
end proc

xpt := proc(n)
local t, sb, k, y, v, res;
option remember;
res := 0;
for t in expand(prob(n)) do
y := indets(t) minus {p};
sb := {};
for v in y do sb := sb union {v = 1} end do;
res := res + subs(sb, t)*(n - nops(y))
end do;
factor(res)
end proc

2 3 4
3 (p - 2) 4 (p - 3) 5 (p - 4)
[2, 2 - 2 p], [3, ----------], [4, - ----------], [5, ----------],
4 27 256

5 6 7
6 (p - 5) 7 (p - 6) 8 (p - 7)
[6, - ----------], [7, ----------], [8, - ----------],
3125 46656 823543

8 9
9 (p - 8) 10 (p - 9)
[9, ----------], [10, - -----------]
16777216 387420489

Un saludo.

--
+-------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, markoriedelde***yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+-------------------------------------------------------------+

León-Sotelo <francisco.lsotelo***gmail.com> writes:

[...]
> 2) En un grupo de n personas (n>=2) cada una de ellas elige a otra al
> azar y, al grito de ahora! le tira una tarta. Supongamos que todas las
> tartas tienen la misma probabilidad p de alcanzar su objetivo, y si
> una tarta no logra su objetivo ya no se tira mas.¿Cuál es el número
> esperado de personas que no son alcanzadas por alguna tarta?
>
> Saludos
> León-Sotelo

Parece que es un problema bastante difícil de analizar, pero la respuesta, si
no me equivoco, es sencilla y muy linda.

El valor esperado es (por fuerza bruta)

(-1)^(n-1) n/(n-1)^(n-1) (p - (n-1))^(n-1).

A ver quien nos presenta una prueba. Sigue el codigo fuente para MAPLE.

sel := proc(n)
local s, k, p;
s := add(x[k], k = 1 .. n);
p := 1;
for k to n do p := p*(s - x[k]) end do;
p/(n - 1)^n
end proc

prob := proc(n)
local sb, k;
sb := {};
for k to n do sb := sb union {x[k] = 1 - p + p*y[k]} end do;
subs(sb, sel(n))
end proc

check := proc(n)
local sb, k;
sb := {};
for k to n do sb := sb union {y[k] = 1} end do;
subs(sb, prob(n))
end proc

xpt := proc(n)
local t, sb, k, y, v, res;
option remember;
res := 0;
for t in expand(prob(n)) do
y := indets(t) minus {p};
sb := {};
for v in y do sb := sb union {v = 1} end do;
res := res + subs(sb, t)*(n - nops(y))
end do;
factor(res)
end proc

2 3 4
3 (p - 2) 4 (p - 3) 5 (p - 4)
[2, 2 - 2 p], [3, ----------], [4, - ----------], [5, ----------],
4 27 256

5 6 7
6 (p - 5) 7 (p - 6) 8 (p - 7)
[6, - ----------], [7, ----------], [8, - ----------],
3125 46656 823543

8 9
9 (p - 8) 10 (p - 9)
[9, ----------], [10, - -----------]
16777216 387420489

Un saludo.

--
+-------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, markoriedelde***yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+-------------------------------------------------------------+

León-Sotelo <francisco.lsotelo***gmail.com> writes:

[...]
> 2) En un grupo de n personas (n>=2) cada una de ellas elige a otra al
> azar y, al grito de ahora! le tira una tarta. Supongamos que todas las
> tartas tienen la misma probabilidad p de alcanzar su objetivo, y si
> una tarta no logra su objetivo ya no se tira mas.¿Cuál es el número
> esperado de personas que no son alcanzadas por alguna tarta?
>
> Saludos
> León-Sotelo

Parece que es un problema bastante difícil de analizar, pero la respuesta, si
no me equivoco, es sencilla y muy linda.

El valor esperado es (por fuerza bruta)

(-1)^(n-1) n/(n-1)^(n-1) (p - (n-1))^(n-1).

A ver quien nos presenta una prueba. Sigue el codigo fuente para MAPLE.

sel := proc(n)
local s, k, p;
s := add(x[k], k = 1 .. n);
p := 1;
for k to n do p := p*(s - x[k]) end do;
p/(n - 1)^n
end proc

prob := proc(n)
local sb, k;
sb := {};
for k to n do sb := sb union {x[k] = 1 - p + p*y[k]} end do;
subs(sb, sel(n))
end proc

check := proc(n)
local sb, k;
sb := {};
for k to n do sb := sb union {y[k] = 1} end do;
subs(sb, prob(n))
end proc

xpt := proc(n)
local t, sb, k, y, v, res;
option remember;
res := 0;
for t in expand(prob(n)) do
y := indets(t) minus {p};
sb := {};
for v in y do sb := sb union {v = 1} end do;
res := res + subs(sb, t)*(n - nops(y))
end do;
factor(res)
end proc

2 3 4
3 (p - 2) 4 (p - 3) 5 (p - 4)
[2, 2 - 2 p], [3, ----------], [4, - ----------], [5, ----------],
4 27 256

5 6 7
6 (p - 5) 7 (p - 6) 8 (p - 7)
[6, - ----------], [7, ----------], [8, - ----------],
3125 46656 823543

8 9
9 (p - 8) 10 (p - 9)
[9, ----------], [10, - -----------]
16777216 387420489

Un saludo.

--
+-------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, markoriedelde***yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+-------------------------------------------------------------+

On 21 mayo, 16:45, Marko Riedel <markoriede...***yahoo.de> wrote:
> León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> writes:
>
> [...]
>
> > 2) En un grupo de n personas (n>=2) cada una de ellas elige a otra al
> > azar y, al grito de ahora! le tira una tarta. Supongamos que todas las
> > tartas tienen la misma probabilidad p de alcanzar su objetivo, y si
> > una tarta no logra su objetivo ya no se tira mas.¿Cuál es el número
> > esperado de personas que no son alcanzadas por alguna tarta?
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Parece que es un problema bastante difícil de analizar, pero la respuesta, si
> no me equivoco, es sencilla y muy linda.
>
> El valor esperado es (por fuerza bruta)
>
> *** *** (-1)^(n-1) n/(n-1)^(n-1) (p - (n-1))^(n-1).
>
> A ver quien nos presenta una prueba. Sigue el codigo fuente para MAPLE.
>
> sel := proc(n)
> local s, k, p;
> *** *** s := add(x[k], k = 1 .. n);
> *** *** p := 1;
> *** *** for k to n do p := p*(s - x[k]) end do;
> *** *** p/(n - 1)^n
> end proc
>
> prob := proc(n)
> local sb, k;
> *** *** sb := {};
> *** *** for k to n do sb := sb union {x[k] = 1 - p + p*y[k]} end do;
> *** *** subs(sb, sel(n))
> end proc
>
> check := proc(n)
> local sb, k;
> *** *** sb := {};
> *** *** for k to n do sb := sb union {y[k] = 1} end do;
> *** *** subs(sb, prob(n))
> end proc
>
> xpt := proc(n)
> local t, sb, k, y, v, res;
> option remember;
> *** *** res := 0;
> *** *** for t in expand(prob(n)) do
> *** *** *** *** y := indets(t) minus {p};
> *** *** *** *** sb := {};
> *** *** *** *** for v in y do sb := sb union {v = 1} end do;
> *** *** *** *** res := res + subs(sb, t)*(n - nops(y))
> *** *** end do;
> *** *** factor(res)
> end proc
>
> *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***2 *** *** *** *** *** *** *** *** ***3 *** *** *** *** *** *** *** ***4
> *** *** *** *** *** *** *** *** *** 3 (p - 2) *** *** *** *** ***4 (p - 3)*** *** *** ***5 (p - 4)
> [2, 2 - 2 p], [3, ----------], [4, - ----------], [5, ----------],
> *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** 4 *** *** *** *** *** *** *** *** ***27 *** *** *** *** *** *** ***256
>
> *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***5 *** *** *** *** *** *** *** ***6 *** *** *** *** *** *** *** *** ***7
> *** *** *** *** *** 6 (p - 5) *** *** *** ***7 (p - 6) *** *** *** *** ***8 (p - 7)
> *** *** [6, - ----------], [7, ----------], [8, - ----------],
> *** *** *** *** *** *** ***3125 *** *** *** *** *** ***46656 *** *** *** *** *** *** ***823543
>
> *** *** *** *** *** *** *** *** ***8 *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***9
> *** *** *** *** 9 (p - 8) *** *** *** *** *** 10 (p - 9)
> *** *** [9, ----------], [10, - -----------]
> *** *** *** *** ***16777216 *** *** *** *** *** ***387420489
>
> Un saludo.
>
> --
> +-------------------------------------------------------------+
> | Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, markoriede...***yahoo.de |
> |http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html*** *** *** *** *** |
> +-------------------------------------------------------------+

Bueno,si una persona no se puede tirar la tarta a si misma entonces
le quedan n-1 posibilidades.Así la probabilidad de escoger una persona
determinada es 1/(n-1) y que ademas le acierte es p/(n-1) y la
probabilidad de que no le de será 1-p/(n-1).La probabilidad de que a
esa determinada persona no le acierte nadie será (1-p/(n-1))^(n-1) por
lo que el numero medio de personas que no reciben el "tartazo" es n*(1-
p/(n-1))^(n-1).
No le veo yo mas misterio

Saludos
León-Sotelo