Se tiene una circunferencia c(0), de centro C(0) y radio R(0). Interior
a ella se encuentra una circunferencia c(1), de centro C(1) y radio R(1).

Se halla la circunferencia c(2), como la inversa de c(0) respecto a
c(1). Luego se halla c(3) como la inversa de c(1) respecto a c(2) y así
sucesivamente.

¿Cuáles son los radios y centros de las sucesivas circunferencias? ¿A
qué punto tiende la sucesión de circunferencias?

Si no me equivoco, este problema carece de solución analítica general,
así que mejor, planteamos una versión más sencilla:

1) Establecer las relaciones de recurrencia para los sucesivos centros y
radios.

2) Determinar las soluciones analíticas en los siguientes casos:

2.1) C(1) = C(0) R(1) = r R(0)

2.2) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/2,0), R(1) = 1/2

2.3) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/3,0), R(1) = 1/3

2.4) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/m,0), R(1) = 1/m


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Antonio

Antonio González escribió:
> Se tiene una circunferencia c(0), de centro C(0) y radio R(0). Interior
> a ella se encuentra una circunferencia c(1), de centro C(1) y radio R(1).
>
> Se halla la circunferencia c(2), como la inversa de c(0) respecto a
> c(1). Luego se halla c(3) como la inversa de c(1) respecto a c(2) y así
> sucesivamente.
>
> ¿Cuáles son los radios y centros de las sucesivas circunferencias? ¿A
> qué punto tiende la sucesión de circunferencias?
>
> Si no me equivoco, este problema carece de solución analítica general,
> así que mejor, planteamos una versión más sencilla:
>
> 1) Establecer las relaciones de recurrencia para los sucesivos centros y
> radios.
>
> 2) Determinar las soluciones analíticas en los siguientes casos:
>
> 2.1) C(1) = C(0) R(1) = r R(0)
>
> 2.2) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/2,0), R(1) = 1/2
>
> 2.3) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/3,0), R(1) = 1/3
>
> 2.4) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/m,0), R(1) = 1/m
>
>

¿Nadie se atreve? Venga, señores, que aparecen inversiones,
recurrencias, progresiones aritméticas, geométricas ¡y hasta los números
de Fibonacci!

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Antonio

Antonio González escribió:
> Antonio González escribió:
>> Se tiene una circunferencia c(0), de centro C(0) y radio R(0).
>> Interior a ella se encuentra una circunferencia c(1), de centro C(1) y
>> radio R(1).
>>
>> Se halla la circunferencia c(2), como la inversa de c(0) respecto a
>> c(1). Luego se halla c(3) como la inversa de c(1) respecto a c(2) y
>> asÃ*** sucesivamente.
>>
>> ¿Cuáles son los radios y centros de las sucesivas circunferencias? ¿A
>> qué punto tiende la sucesión de circunferencias?
>>
>> Si no me equivoco, este problema carece de solución analÃ***tica general,
>> asÃ*** que mejor, planteamos una versión más sencilla:
>>
>> 1) Establecer las relaciones de recurrencia para los sucesivos centros
>> y radios.
>>
>> 2) Determinar las soluciones analÃ***ticas en los siguientes casos:
>>
>> 2.1) C(1) = C(0) R(1) = r R(0)
>>
>> 2.2) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/2,0), R(1) = 1/2
>>
>> 2.3) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/3,0), R(1) = 1/3
>>
>> 2.4) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/m,0), R(1) = 1/m
>>
>>
>
> ¿Nadie se atreve? Venga, señores, que aparecen inversiones,
> recurrencias, progresiones aritméticas, geométricas ¡y hasta los números
> de Fibonacci!
>

Bueeeno. Empezaré por el primer apartado.

Sean c(n) y c(n+1) dos circunferencias sucesivas. Se trata de invertir
c(n) respecto a c(n+1), para producir c(n+2). Como los centros van a
estar alineados, podemos suponerlos sobre el eje X y tratarlos de forma
escalar. En este caso, las ecuaciones de la inversión nos dan

C(n+2) + R(n+2) = C(n+1) + R(n+1)^2/(C(n) + R(n) - C(n+1))

C(n+2) - R(n+2) = C(n+1) + R(n+1)^2/(C(n) - R(n) - C(n+1))

Sumando y restando

C(n+2) = C(n+1) + R(n+1)^2(C(n+1)-C(n))/(R(n)^2-(C(n)-C(n+1)^2)

R(n+2) = R(n+1)^2R(n)/(R(n)^2 - (C(n)-C(n+1)^2))

y la solución de los casos particulares os la dejo a vosotros.


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Antonio