Luis escribió:
> 1) Sea la sucesión {a(n)} dada por su término general
>
> a(n) = 3[1+a(n-1)] / ( 3 + a(n-1) ), con a(1) > 0.
>
> Demostrar que es convergente y calcular su límite.

Por hacerlo aun de otra forma, si escribimos la recurrencia como

a(n)a(n-1) + 3a(n) - 3a(n-1) -3 = 0

y redefinimos a como

a(n) = rq(3) + b(n)

nos queda

rq(3)b(n-1) + rq(3)b(n) + b(n)b(n-1) + 3b(n) - 3b(n-1) = 0

b(n)b(n-1) + (rq(3)+3)b(n) - (3 - rq(3))b(n-1) = 0

Dividiendo por b(n)b(n-1) y por (3-rq(3)) queda

1/b(n) = (2+rq(3))/b(n-1) + (3+rq(3))/6

que es de coeficientes constantes no homogénea en 1/b(n). Su solución es

1/b(n) = -1/(2rq(3)) + (1/b(0) + 1/(2rq(3)) (2+rq(3))^n

con A sacado del valor de b(0). Como 2 + rq(3) > 1, 1/b(n) tiende a
infinito, b(n) a 0 y a(n) a rq(3).


--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6ai29qF377kv2U1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> 1) Sea la sucesión {a(n)} dada por su término general
>>
>> a(n) = 3[1+a(n-1)] / ( 3 + a(n-1) ), con a(1) > 0.
>>
>> Demostrar que es convergente y calcular su límite.
>
> Por hacerlo aun de otra forma, si escribimos la recurrencia como
>
> a(n)a(n-1) + 3a(n) - 3a(n-1) -3 = 0
>
> y redefinimos a como
>
> a(n) = rq(3) + b(n)
>
> nos queda
>
> rq(3)b(n-1) + rq(3)b(n) + b(n)b(n-1) + 3b(n) - 3b(n-1) = 0
>
> b(n)b(n-1) + (rq(3)+3)b(n) - (3 - rq(3))b(n-1) = 0
>
> Dividiendo por b(n)b(n-1) y por (3-rq(3)) queda
>
> 1/b(n) = (2+rq(3))/b(n-1) + (3+rq(3))/6
>
> que es de coeficientes constantes no homogénea en 1/b(n). Su solución es
>
> 1/b(n) = -1/(2rq(3)) + (1/b(0) + 1/(2rq(3)) (2+rq(3))^n
>
> con A sacado del valor de b(0). Como 2 + rq(3) > 1, 1/b(n) tiende a
> infinito, b(n) a 0 y a(n) a rq(3).
>

Yo lo que hice fue lo siguiente :

a(2) - a(1) = (3 - a(1)^2)/(3+a(1))

luego estudiamos tres posibilidades :

(i) a(1) > rq(3)

Se demuestra que, cuando a(1) > 0, es a(2)-rq(3) > 0.
Por inducción sobre n, resulta que a(n) - rq(3) > 0.
Luego rq(3) es una cota inferior de la sucesión.
Como a(n) - a(n-1) < 0 para todo n >= 2, la sucesión
es decreciente.
Por lo tanto, tiene límite ( por ser monótona decreciente
y estar acotada inferiormente ) y el límite es rq(3)

(ii) a(1) < rq(3)

Análogamente, se demuestra que la sucesión está
acotada superiormente por rq(3) y que es monótona
creciente. Luego es convergente a rq(3).

(iii) a(1) = rq(3)

Se tiene la sucesión constante a(n) = { rq(3), rq(3), .... }
que converge, obviamente, a rq(3).

Saludos,